各种类型的微分方程及其相应解法(4页).doc

-各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。一、一阶微分方程的解法1.可分离变量的方程 ,或其特点是可以把变量x和y只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。例1.求微分方程的通解.解 先合并及的各项,得设分离变量得 两端积分得 于是 记则得到题设方程的通解 2.齐次方程（1） （2） （a，b均不等于0）例2求解微分方程解 原方程变形为令则方程化为分离变量得两边积分得整理得 所求微分方程的解为 3.一阶线性微分方程例3. ， ；解 将方程改写为 ，这里，故由求解公式得.由初值条件，得.所以初值问题的解为 例4.设非负函数具有一阶导数，且满足，求函数解：设，则，两边对求导，得 ，由已知又 ，则 例5.设，其中满足下列条件：，且， 求满足的一阶方程； 求的表达式 解：(1) 由 ,可见，所满足的一阶微分方程为(2) 由通解公式有将代入上式，得.于是4.伯努利方程二、二阶线性微分方程的解法1.可降阶微分方程（2）（3）例6. 方程的通解为 解：令，原方程变为 所以3.二阶常系数齐次线性方程 例7. 解方程解：的特征方程为则方程的通解为例8.设 其中为连续函数，求解：原方程整理得 ，两边求导 ，再两边求导得 ，整理得 （初始条件到原方程中找）解得 有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以举一反三，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。-第 4 页-