传递函数模型表述.ppt
关于传递函数模型表述现在学习的是第1页，共25页主要内容 传递函数模型表述; 利用传递函数模型的预测;扰动模型; 4.广义预测控制模型(GPC); 5.多变量系统.现在学习的是第2页，共25页1.传递函数模型表述以输入输出差分方程来描述系统的行为如下：11() ( )() ( )dA zy kzB zu k在SISO系统的情况下， 和 可分别表示为以下多项式：1()A z1()B z11212()1nnA za za za z 112012()nnB zbb zb zb z（1）（2）（3）因此，可以把（1）式写成差分方程：1( )(1)()ny ka y ka y kn01()(1)()nb u kdbu kdb u kdn（4）现在学习的是第3页，共25页还可以定义多项式:111( )()nnnnA zz A zza za1101( )()nnnnB zz B zb zb zb对输入输出时间序列采用Z变换以后，得到脉冲传递函数表达式为：（5）（6）11()( )( ) ( )( )()dB zy zP z u zzu zA z11()( )()dB zzu zA z（7）（8）式中， 及 分别为时间序列 和 的Z变换( )y z( )u z( )y k( )u k现在学习的是第4页，共25页对于MIMO系统， 和 是多项式矩阵：1()A z1()B z11212()npnA zIAzA zA z112012()nnB zBB zB zB z（10）（9）式中 是 矩阵， 是 矩阵iAppiBpm1( )()nA zz A z1( )()nB zz B z多项式 和 可以定义成：( )A z( )B z（12）（11）于是多变量系统的传递函数描述为：111( )( ) ( )()() ( )dy zP z u zzA zB zu z111()() ( )dzA zB zu z（14）（13）现在学习的是第5页，共25页 虽然原理上几乎任何方法多可以在多变量的情况下实现，但这些多项式矩阵和传递函数矩阵方法与SISO情况相比更不方便也更少使用，所以本节仅讨论SISO的情况。传递函数矩阵（13）式中当d=1时相应的多变量差分方程为：12(1)( )(1)()ny kA y kA y kA y kn 01( )(1)()nB u kBu kB u kn（15）下面来导出传递函数模型和状态空间模型描述方式之间的转换，假设标准的状态空间模型为：(1)( )( )x kAx kBu k( )( )( )y kCx kDu k（17）（16）现在学习的是第6页，共25页做Z变换得( )(0)( )( )zx zxAx zBu z( )( )( )y zCx zDu z（19）（18）由此，在假定x（0）=0的情况下有：1( ) () ( )y zC zIABD u z（21）（20）所以有1( )()P zC zIABD这就是传递函数矩阵Z变换的表达式，它对于SISO及MIMO（d=1）系统两者都适用。现在学习的是第7页，共25页我们还可以导出传递函数模型和阶跃响应或脉冲传递函数之间的转换关系，事实上传递函数被定义为脉冲响应的Z变换，所以有0( )( )kkP zzH k1(0)(1)Hz H12Dz CBz CAB（24）（23）（22）上式表明，在SISO情况下，可以由传递函数得到系统的脉冲响应。现在学习的是第8页，共25页2.利用传递函数模型的预测对SISO系统，将（4）式改写成如下形式：12(1)( )(1)(1)ny ka y ka y ka y kn 01()(1)()nb u kdbu kdb u kdn（25）注意到上式中d仅表示纯滞后，属于离散化模型固有的特性d0=1已从d中减去，并列入表达式中了，可以利用这个表达式作为预测的基础，其中d=1.现在学习的是第9页，共25页预测控制的显示表达如下：10(1| )(1)()nnjjjjy kka y kjb u kdj 120(2| )(1| )(2)(1)nnjjjjy kka y kka y kjb u kdj 11(| )(| )()injjjj iy ki ka y kij ka y kij 10(1| )(1)injjjj ib u kdij kb u kdij （26）（27）（28）. . .现在学习的是第10页，共25页或者，一般地10(| )()(1)nnjjjjy ki ka y kijb u kdij 还可以表达成：11() ()() (1)dA zy kizB zu ki 式中( ),1( )( | ),1u l lku lu l k lk( ),( )( | ),y l lky ly l k lk（29）（30）（31）（32）现在学习的是第11页，共25页 假设有多项式 ，其阶次不大于i-1，（i 为正整数），并有阶次等于n-1的多项式 ，可将1/A分解为一个恒等式11111()1()()()iiF zE zzA zA z111() () 1()iiiE zA zz F z 1111() ()() () (1)idiiz F zy kizE zB zu ki 通过比较同幂项系数，能够解出 两个多项式，而且 。用 乘以（30），并利用（34）式子给出111()() ()() () (1)idiiy kiz F zy kizE zB zu ki 或或1()iE z1()iF ziiEF，(0)1iE1()iE z（33）（34）（35）（36）现在学习的是第12页，共25页注意到 恰好就是 ，因此 仅包含过去输出的可测值。所以可以写出预测输出如下1111111() ()()() ()=()()iIiF zB zB zE zB zzA zA z( )y k1()iE z()izy ki1() ()iiz F zy ki111(| )() ( )() () (1)diiy ki kF zy kzE zB zu ki 至此，方程右边已经不包含任何预测输出，这全都取决于（34）对多 项式 和 有解。1()iF z可用上式导出一个有趣的表达式。用 乘以（33）式两边将它代入（37）得：1()B z（37）（38）现在学习的是第13页，共25页111111() ()()(| )() ( ) (1)()()diIiF zB zB zy kikF zy kzzu kiA zA z 11111()()(1)+ () ( ) (1)()()ddiB zB zzu k iF zy kzu kA zA z 11()(1)()dB zzu kA z这就表明了预测具有“预估-校正”结构。在这里的预测 和 是长区间预测，它仅由输入信号构成，在任何时候都不用输出测量值来校正。11()(1)()dB zzu k iA z （40）（39）现在学习的是第14页，共25页3.扰动模型如图，系统有一个未知扰动 ，令它等于测量值与预测输出值之差： ( )d k ( | )( )( |1)d k ky ky k k 则输出y的预测方程为：11(| )()()()(| )(| )jNi jiyk j kSi uk j iSi uk j i kd k j k 装置( /1)y k k ( )d k( )y k（42）（41）现在学习的是第15页，共25页扰动的一般性模型 不失一般性，设系统有不可测得输出扰动，则可用 的滤波器来描述输出扰动模型： 11()/()C zD z111()( )(1)( )()B zy kzu kd kA z11()()()()CzdkvkDz从上式可得，v(k)在白噪声的情况下，d(k)为平稳随机过程。上述模型对于确定性和白色随机扰动建模方式以及混合建模通常已经足够了。（44）（43）现在学习的是第16页，共25页 例1 正弦曲线扰动 为建立一个正弦曲线输出扰动的模型，其中频率 已知幅值和相位未知，可以取 ，并且0w1()1C z00111120()(1)(1)12cos()ssjw Tjw TD zz ez ew T s zz 式中，Ts是采样周期，而01(0), (1)vv vv于是d(k)的Z变换由下式给出：101120()12 c o s ()vv zdzw T szz反变化后得到的离散形式的信号：0( )cos()d kAw T sk现在学习的是第17页，共25页可以取22 ( ) E v k0l ( ) ()0E v k v klV(k)的概率分布对所有的k都是相同的。若1()/( )C zD z是一个渐进稳定的传递函数，d(k)将是一个具有如下谱密度的平稳随机过程：222|()|( )|()|ssjwTddjwTC ewD e注意到 ，所以总可以选择 2| ()|() ()sssjwTjwTjwTC eC eC e1()C z使得它的全部根位于单位圆内。现在学习的是第18页，共25页利用扰动模型的预测利用(43),(44)式作为扰动模型，可以得到预测输出。设有两个求解下述方程的多项式1()iEz 和 （45）1()iF z11111()()()()()iiiF zC zEzzD zD z能从下述的方程1111()()()()iiiEzD zC zz F z解出 和1()iEz1()iF z从（44）和（45）可以得到111()(| )() (| )()iiiF zd ki kE zzv ki kD z=111()() (|)(|)()iiFzEzv kikv kkD z（46）（48）（47）现在学习的是第19页，共25页1111()()( )(1)( )()dB zC zy kzu kv kA zD z接着可由（49）来估计v(k)1111()()( | ) ( )(1)()()dD zB zv k ky kzu kC zA z=11() ( )( )()D zy ky kC z11()()D zC z( / )v k k(1)u k ( )y k11()()dB zzA z（49）（51）（50）现在学习的是第20页，共25页由（48），（49）可列出向前i步的预测输出11111()()(| )(1)() (| )( | )()()diiF zB zy ki kzu kiEzv ki kv k kA zD z =1111111()()()(1)() (| ) ( )(1)()()()ddiIF zB zB zzu kiEzv ki ky kzu kA zC zA z （53）（52）现在学习的是第21页，共25页4.广义预测控制模型广义预测控制模型在广义预测控制模型中，扰动通常假设是随机的，并在（44）中分母多项式总是取 111() (1) ()D zzA z 若扰动为随机过程，即意味着使 为白噪声，加在输出上的扰动 将是一个平稳随机过程，不再是白噪声，这将给基于统计特性的计算带来一定的困难。 ( )v k( )d k（54）现在学习的是第22页，共25页 将是（44）代入到（46）中，从每一项中消去 得到11111() ( | )()(1) ( )()(1) (1)dC zv k kA zzy kz B zzu k1()A z利用11( )(1) ( )(1)(1) (1)y kzy ku kzu k及可以得到111() ( | )()( )()(1)dC zv k kA zy kzB zu k（57）（56）（55）现在学习的是第23页，共25页由上式可计算出由上式可计算出 ，从而可以得到，从而可以得到“最小方差最小方差”输出预测为：输出预测为：( | )v k k11111()()(| )(1)( | )()() 1diF zB zy k i kzu k iv k kA zA zz 将将(55)得到的得到的 代入以后就得到了方程代入以后就得到了方程:( | )0v k k（58）111111()()()(| )(1) ( )(1)()()()ddiFzB zB zy ki kzu kiy kzu kA zC zA z （59）现在学习的是第24页，共25页感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页
