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关于函数极限概念现在学习的是第1页，共52页第二章 极 限 本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。现在学习的是第2页，共52页第二章 极 限第二节 函数的极限与性质的极限时一 )( , .xfx的极限时二 )( , .0 xfxx 三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的基本性质现在学习的是第3页，共52页的极限时一 )( , .xfx 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形. 1 : nxxnn从数列 ), 0( 1 xxy与函数的图形可以看出: . 01lim , 01limxnxnOxy123n nxn1xy1现在学习的是第4页，共52页 1 : 极限的定义：回忆数列nxxnn有时使当若 , , 0 , 0NnN | |axn记为为极限以时当则称数列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :Znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,XNxnxfxn替换为替换为替换为将推广现在学习的是第5页，共52页有时使当若 , , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a想想：如何从几何的角度来表示该定义？ )( |)(|axfaaxf现在学习的是第6页，共52页的几何意义 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy , )( , 即函数的图时当axfaXx . 之间和形夹在两条平行线ayay现在学习的是第7页，共52页Oxyay ay ayXX)(xfy . , 函数的极限时我们将得到x现在学习的是第8页，共52页有时使当若 , , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a . )(lim )(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxx现在学习的是第9页，共52页Oxyay ay ayXX)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或现在学习的是第10页，共52页Oxyay ay ayXX)(xfy 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 0 |XxXxXx或 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?现在学习的是第11页，共52页有时使当若 , | , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a现在学习的是第12页，共52页由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,现在学习的是第13页，共52页 . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明该定理. 0)( | XXxXxXx或由绝对值关系式:现在学习的是第14页，共52页. 2121lim 33xxx证明：证证 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有时则当故取XxX 2121 33xx成立. 由极限的定义可知:. 2121lim 33xxx例例1 1现在学习的是第15页，共52页 . 11)( 2时的极限当讨论函数xxxf解2211 , 1 , | xxx此时也无限增大无限增大时当无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有 . 011lim2xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11 , 0 , 1 2显然成立则时当xx . 11 , 11 | , 1 2成立时时当xx证明过程怎么写？例例2 2现在学习的是第16页，共52页则当取不妨设 , 11 , ) 10 ( 0X有时 , |Xx ,11 11 011 222xxx . 011lim :2xx故由极限的定义可知 这里想得通吗？ , )( 0 的接近程度的与是用来描述由于axf . , 某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意现在学习的是第17页，共52页 . arctan lim 不存在证明xx22yxyarctanx由图容易看出：分析 , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要证明之处 请同学们 自己证一下.例例3 3现在学习的是第18页，共52页 . lim 不存在证明xxxxxeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee由于 . lim 不存在故xxxxxeeee例例4 4证证现在学习的是第19页，共52页的极限时二 )( , .0 xfxx x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.现在学习的是第20页，共52页 . 112)( , 0 xxfx时当 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.11)( , 1 3xxxfx时当 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义. . 312 xx例例5 5现在学习的是第21页，共52页的极限函数时 )( , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00时当若xx |)(|axf , )( , 0时的极限当为函数则称成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或记为 : , 需要考察的是就是说 , , 0去心邻域时的落在点当轴上在xxx ) )( ( , 是否落在点对应点轴上在xfyyy . 邻域内的a现在学习的是第22页，共52页Oxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(U0 xx) ,U(ay0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxxP现在学习的是第23页，共52页 . lim 00 xxxx证明证证 , | 0 , , 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例6 6现在学习的是第24页，共52页 . 82)4(2lim 22xxx证明证 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有时则当故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7现在学习的是第25页，共52页证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何处理它例例8 8现在学习的是第26页，共52页 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 1 4|2|x1 1取分析分析结论1 | 1| 0 x现在学习的是第27页，共52页证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有时则当取x . 311 3xx证毕 , 110此时不妨设 x , 4 |2| x例例8 8现在学习的是第28页，共52页1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.现在学习的是第29页，共52页y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + )(xfy 曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )( , . 20 xfxx 现在学习的是第30页，共52页3.函数的左、右极限, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为右极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或现在学习的是第31页，共52页, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为左极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或现在学习的是第32页，共52页(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：现在学习的是第33页，共52页111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 处的左、右极限.1lim21xx0) 1(lim1xx解例例9 9现在学习的是第34页，共52页axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用 | x x0 | x x0 和极限的定义, 即可证得.现在学习的是第35页，共52页。求设 )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例1010现在学习的是第36页，共52页 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例1111现在学习的是第37页，共52页例例1212 . | | )(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx则若证明证证, 0 , 0 , ,)(lim 0所以因为axfxx , | 0 0有时当xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由极限的定义 . | | )(|lim 0axfxx ?立该命题的逆命题是否成. 情也成立的对x现在学习的是第38页，共52页三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结现在学习的是第39页，共52页 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0NnN时当 | , 0XxX时当 , 0XxX时当 , 0XxX时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf现在学习的是第40页，共52页 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0NnN时当 | , 0XxX时当 , 0XxX时当 , 0XxX时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|axf现在学习的是第41页，共52页axfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(lim现在学习的是第42页，共52页在以后的叙述中, 如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立 , 则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号)(limxf极限. 函数极限的性质与数列极限的性质类似, 我们只列举出来, 其证明过程请同学们自己看书.现在学习的是第43页，共52页1.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系现在学习的是第44页，共52页 极限值的正负与函数值正负的关系 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X则 ,D | 0时且当fxXx。有)0)( 0)( xfxf 该定理也称为第一保号性定理 , )(U 0 x则 , )(U 0时当fDxx现在学习的是第45页，共52页极限值正负与函数值正负关系的推论 ),( ,)(lim 0cacaaxfxx若 , )(U 0 x则 , )(U 0时当fDxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cacaaxfx若,0 0X则 ,D | 0时且当fxXx。有)( )( cxfcxf 作辅助函数 F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证.现在学习的是第46页，共52页 函数值的正负与极限值正负的关系 ),(U ),0)( , 0)( 0 xxxfxf若 , )(lim 0axfxx且。则必有)0( 0 aa 该定理也称为第二保号性定理 , 0| ),0)( , 0)( rxxfxf若。则必有)0( 0 aa , )(lim axfx且现在学习的是第47页，共52页第二保号性定理成立.运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 则由第一保号性定理将推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了现在学习的是第48页，共52页注意:当 f ( x ) 0 ( f ( x ) g( x ) , 则有 a b, 在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号. 令 F (x) = f (x) g (x) 0 , 即可进行证明.现在学习的是第51页，共52页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第52页，共52页