2321双曲线的简单几何性质1.ppt
上一节上一节,认识了双曲线的标准方程认识了双曲线的标准方程:形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（- -c，0）、）、 （c，0）) 0, 0( 12222babyax1F2F 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，- -c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 12222babxay1F2F222bac 双曲线的图象特双曲线的图象特点与几何性质到现点与几何性质到现在仍是一个谜在仍是一个谜? 现在就用方现在就用方程来探究一下程来探究一下!类似于椭圆几何性质的研究类似于椭圆几何性质的研究. 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质1、范围、范围22221,xxaaxa xa 即即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称.x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心.xyo- -aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab 3、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长.2A1A2B1B（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线等轴双曲线.22(0)xym m 4、渐近线、渐近线1A2A1B2Bxyobyxa byxa ab利用渐近线可以较准确的画出利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响渐近线对双曲线的开口的影响(3)动画演示点在双曲线上情况动画演示点在双曲线上情况 双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢?(动画演示情况动画演示情况)如何记忆双曲线的渐近线方程？如何记忆双曲线的渐近线方程？5、离心率、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量, ,e 越大开口越大越大开口越大(动画演示动画演示)ca0e 12222( )11bcaceaaa （4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2 ,关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1 (0)xyabab22222222A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐近线渐近线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c) x axa y R ，或或 (1)ceea byxa 例例1 求双曲线求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程焦点坐标、离心率、渐近线方程.可得实半轴长可得实半轴长a=4，虚半轴长，虚半轴长b=3焦点坐标为（焦点坐标为（0，-5）、（）、（0，5）45 ace离离心心率率xy34 线线方方程程为为渐渐近解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程221169yx例例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径下口半径为为25m,高高55m.选择适当的坐标系，求出此选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程双曲线的方程(精确到精确到1m). AA0 xCCBBy131225关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0, 0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质(2)(2)双曲线的第二定义双曲线的第二定义xyOlF引例：引例：点点M(x, y)与定点与定点F(c, 0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线 的距离比是常数的距离比是常数 (ca0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.cx2aacM解：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则|MFcda 即即222()xcycaaxc 化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2，22221xyab (a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双曲线的左支曲线的左支.双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率.对于双曲线对于双曲线22221xyab 是相应于右焦点是相应于右焦点F(c, 0)的的右准线右准线类似于椭圆类似于椭圆2axc 是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c, 0)的的左准线左准线2axc xyoFlMF2axc l2axc 点点M到左焦点与左准线的距到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义.想一想：想一想：中心在原中心在原点，焦点在点，焦点在y轴上轴上的双曲线的准线的双曲线的准线方程是怎样的？方程是怎样的？xyoF相应于上焦点相应于上焦点F(c, 0)的是的是上准线上准线2yac 2yac 相应于下焦点相应于下焦点F(-c, 0)的是的是下准线下准线2yac 2yac F，求证：是双曲线右支上任意点）（的焦点：已知双曲线例),(),0 ,(0 ,)0, 0( 11000212222yxPcFcFbabyax证明：证明：，01|exaPFP注：注：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径，此公式称为焦半径公式称为双曲线的焦半径，此公式称为焦半径公式cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得accaxPF201|10:|PFexa整理得：由双曲线的第一定义得210| | 2PFPFaexamin1| PFac为双曲线的离心率。其中eyl l.F2F1O.02|exaPFxacPFmin2|当当P在左支上时，在左支上时， PF1 ex0a， PF2 ex0a当当P在右支上时，在右支上时， PF1 ex0a， PF2 ex0a双曲线的第二定义之焦半径公式双曲线的第二定义之焦半径公式当当P P在上支上在上支上1211eyaPFeyaPF 当当P P在下支上在下支上1211eyaPFeyaPF 基础练习基础练习1.双曲线的中心在原点双曲线的中心在原点,离心率为离心率为4, 一条准线方一条准线方 程是程是 ,求双曲线的方程求双曲线的方程.12x 22y1460 x 2. 双曲线双曲线4y2-x2=16的准线方程是的准线方程是；两准线间；两准线间 的距离是的距离是; 焦点到相应准线的距离是焦点到相应准线的距离是 .2 5y5 4 558 55 点评：点评：双曲线的焦点到相应准线的距离是双曲线的焦点到相应准线的距离是 2bc3.双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 一条准线方程一条准线方程 是是 , 则双曲线的方程是则双曲线的方程是 . A. B. C. D.513x 12y,5x 22125 144xy 221144 25xy 22251144xy 22251144yx D4.双曲线双曲线 上的一点上的一点P到它的右焦点的到它的右焦点的 距离为距离为8, 那么那么P到它的左准线的距离到它的左准线的距离 .22164 36xy 965例例3、 已知双曲线已知双曲线221,169xy F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点. 设点设点A(9,2), 在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 24|5MAMF 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值.xyoF2MA165x 由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5,双曲线的右准线为双曲线的右准线为l:54e 作作MNl, AA1l, 垂足分别是垂足分别是N, A1,N2|5|4MFMN 24| |5MFMN A124| |5MAMFMAMN 1|AA 当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号,令令y=2, 解得解得:4 132x 4 13,2 ,3M 即即 29.5最最小小值值是是四、归纳总结四、归纳总结1. 双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率。2. 双曲线的准线方程双曲线的准线方程对于双曲线对于双曲线22221,xyab 准线为准线为2axc 对于双曲线对于双曲线22221yxab 准线为准线为2ayc 注意注意: :把双曲线和椭圆的知识相类比把双曲线和椭圆的知识相类比.
