北师大五年级数学下册长方体和正方体的总棱长表面积和体积公式及应用题专练教师.doc

长方体和正方体的总棱长、表面积和体积公式专练长方体和正方体都有：12条棱、6个面、8个顶点长方体的总棱长= （长+宽+高）× 4 （单位：长度单位）正方体的总棱长= 棱长 × 12 （单位：长度单位）长方体的表面积=（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2 （单位：平方单位） 长方体的体积= 长 × 宽 × 高 字母表示：V = abh （单位：立方单位）正方体的表面积=（棱长 × 棱长）×6 （单位：平方单位）正方体的体积= 棱长 × 棱长 × 棱长 字母表示：V= a3（单位：立方单位）长方体（或正方体）的体积= 底面积×高 字母表示：V=sh（单位：平方单位）无盖的盒子的表面积=长× 宽 +（长×高 + 宽×高）×2 （只算一个底面）面积单位的换算 ：  1平方厘米100平方毫米; 1平方分米=100平方厘米;1平方米100平方分米;  1公倾10000平方米；1平方公里100公顷体积单位 ：  1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米   容积单位 ：  1升=1000毫升； 1升=1立方米； 1毫升=1立方厘米 1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1立方米=1000升； 应用题类型：（1）教室粉刷墙面，求总面积，应用以上公式计算。（要除去一个底面）（2）测量不规则物体的体积用排水法：水面上升的高度×容器底面积 = 物体的体积（3）表面积的变化要会分析：长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之，两个相同，体或 长方体拼在一起，一次会减少两个面。1、把一个长方体的小木块截成两段， 就成了两个完全相等的正方体，于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米，原来那个长方体的面积是多少平方厘米？解：截成各正方体的棱长为：40÷8=5（厘米）原长方体的长为：5×2=10（厘米）原长方体的表面积为：10×5×4+5×5×2=250（平方厘米）2、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？解：（7×67×56×5）×27×6×2 =（42+35+30）×27×6×2 =107×284 =298（平方厘米）3、在棱长为10厘米的正方体玻璃缸内装满水，然后将这些水倒入长20厘米、宽10厘米的长方体玻璃缸内，这个玻璃缸内水深多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）解：10×10×10=1000（立方厘米）1000÷20÷10=5（厘米）4、将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有5块。求原来长方体的体积。5、把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为20平方厘米的长方体容器中，水面高度为10厘米，如果把铁块捞出后，水面高多少？解答：10-80÷20=10-4=6（厘米）6、 要制作12节长方体的铁皮烟囱，每节长2米，宽4分米，高3分米，至少要用多少平方米的铁皮？分析：首先要搞清楚是长方体表面积的应用，求烟囱铁皮表面积就是求长方体的上下前后四个面的面积，缺少左右两个面，先求出一节烟囱的面积再求12节。 7、一种无盖的长方体形铁皮水桶，底面是边长4分米的正方形，高1米。做一只这样的水桶至少要多少铁皮？这只水桶能装水多少升？ 8、一个长方体形状的儿童游泳池，长40米、宽14米，深1.2米。现在要在四壁和池底贴上面积为16平方分米的正方形瓷砖，需要多少块？ 9、一个长方体的容器，底面积是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是24立方分米的铁块。这时的水面高多少？分析：先求出体积是24立方分米的铁块使长方体的容器升高的高度，再加上原来装的水高，即可求解点评：考查了长方体的体积，本题的关键是求出放入的铁块使长方体的容器升高的高度解：24÷16+6=1.5+6=7.5（分米）答：这时的水面高7.5分米10、一块长方形铁皮，长32厘米，在它四个顶角分别剪去边长4厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是768立方厘米。原来这块铁皮的面积是多少？分析：如图所示，铁皮盒的长是（32-4-4）厘米，高是4厘米，体积是768立方厘米，利用长方体的体积公式即可求得铁盒的宽；原来铁皮的长是32厘米，宽就是：铁盒的宽+4厘米+4厘米，再利用长方形的面积公式即可求出原来铁皮的面积 解：768÷（32-4×2）×4， =768÷96， =8（厘米）； 32×（8+4+4）=512（平方厘米）； 答：原来这块铁皮的面积是512平方厘米 长方体与正方体必须掌握的几种题型一、高的变化引起表面积的变化。1、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？分析：根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的56平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（56÷4）÷2=7厘米，由于长比高多2厘米，那么高=7-2=5厘米，由此解答 解答：增加的1个面的面积：56÷4=14（平方厘米）；长方体的长（宽）：14÷2=7（厘米）；长方体的高：7-2=5（厘米）；体积：7×7×5=245（立方厘米）；答：原来这个长方体的体积是245立方厘米故答案为：245立方厘米二、段的变化1、将一个长2米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.24平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？ 三、切1、将一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？分析：把一个长方体截成两个长方体，只截一次，增加两个横截面，要使增加面积最大，则平行于8×6面切割，这样就是增加2个8×6面；要使增加的面积最小，则平行于6×4面切割，这样就增加2个6×4面，由此即可解答解：8×6×2=96（平方厘米），6×4×2=48（平方厘米），答：两个长方体的表面积之和比原来最多可多96平方厘米，最小可增加48平方厘米四、拼。（拼表面积发生变化，体积不变）1、用8个棱长是2cm的小正方体拼成一个较大的正方体，大正方体的体积是_，拼成一个长方体，表面积最大是_分析：（1）用8个棱长是2cm的小正方体拼成一个较大的正方体，大正方体的体积就是这8个小正方体的体积之和；（2）用8个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，有3种不同的拼组方法：1×8排列：长宽高分别是：16厘米、2厘米、2厘米；2×4排列：长宽高分别是：8厘米、4厘米、2厘米；2×2×2排列：棱长为4厘米；由此利用长方体的表面积公式计算出它们的表面积即可解答：（2）1×8排列：长宽高分别是：16厘米、2厘米、2厘米； 表面积是：（16×2+16×2+2×2）×2=（32+32+4）×2=68×2=136（平方厘米）； 2×4排列：长宽高分别是：8厘米、4厘米、2厘米； 表面积是：（8×4+8×2+4×2）×2=（32+16+8）×2=56×2=112（平方厘米）； 2×2×2排列：棱长为4厘米； 表面积为：4×4×6=96（平方厘米）； 答：拼成的大正方体的体积是64立方厘米；拼成的长方体的表面积最大是136平方厘米五 、扩大和增加倍数。1、一个正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍.分析：根据正方体表面积扩大的倍数是棱长扩大倍数的平方，体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方求解即可解答：一个正方体棱长扩大2倍，则表面积扩大2×2=4倍，体积扩大2×2×2=8倍2、一个大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍，已知大正方体的体积比小正方体多21立方厘米，大小正方体的体积分别是多少？六、将一个长方体或正方体切成若干个小正方体或小长方体。1、把一个长8 厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体木块，锯成若干个棱长2厘米的小正方体，一共可锯成多少个这样的小正方体？首先算出来长方体的体积8×6×4192cm3在算出小正方体体积2×2×28cm3最后一步拿长方体体积除以小正方体体积192÷824 七、挖1、在棱长4分米的正方体的顶点处挖去一个棱长2分米的小正方体所剩下的立体图形共有_个顶点，表面积是_平方分米，体积是_立方分米 分析：（1）在棱长4分米的正方体的顶点处挖去一个棱长2分米的小正方体所剩下的立体图形比原来多出了3-1=2个顶点;（2）表面积在减少了3个面的同时又增加了3个面，所以表面积的大小与原来没有变化;（3）体积比原来减少了一个棱长为2分米的正方体的体积解答：观察图形可知：剩下的立体图形比原来多出了3-1=2个顶点，所以一共有顶点8+2=10（个），表面积为：4×4×6=96（平方分米），体积为：4×4×4-2×2×2=64-8=56（立方分米），答：所剩下的立体图形共有10个顶点，表面积是96平方分米，体积是56立方分米八、熔铸沉浮1、把一块棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成高2分米、宽4分米的长方体钢材，锻成的长方体钢材有多少长？分析：先利用正方体的体积V=a3，求出这块钢坯的体积，因为这块钢坯的体积是不变的，于是可以利用长方体的体积V=Sh求出锻成的钢材的长度 2、把两个棱长都是1分米的正方体的方钢，熔铸成一根横截面是长5厘米、宽4厘米的长方体的钢材，这根钢材的长是多少分米？解：1×1×1×2=2（ 立方分米）5厘米=0.5分米4厘米=0.4分米2÷（0.5×0.4）=10（分米）答：这块钢材的长是10分米。9 / 9