【数学】1[1]11《变化率问题》13.ppt
1.1.1 1.1.1 变化率问题变化率问题高二数学组：江志宏高二数学组：江志宏问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量随着气球内空气容量的增加的增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如如何描述这种现象呢何描述这种现象呢? 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r (单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是343V(r) r .若将半径若将半径 r 表示为体积表示为体积V的函数的函数, 那么那么33V (V) .4r当空气容量当空气容量V从从0L增加到增加到1L , 气球半径增加了气球半径增加了 (1) (0)0.62(dm),rr气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 (1) (0)0.62(dm/L),1 0rr当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L , 气球半径增加了气球半径增加了 (2) (1)0.16(dm),rr气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 (2) (1)0.16(dm/L),2 1rr 随着随着气球体积气球体积逐渐变大逐渐变大,它的平均它的平均膨胀率逐膨胀率逐渐变小渐变小思考一：l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单单位位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系2( )4.96.510h ttt 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态, 那么那么:v在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,(0.5)(0)4.05(m/s);0.50hhv(2)(1)8.2(m/s);2 1hhv 思考二：思考二： (1) 当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV12(2) tt运动员在 到 这段时间内的平均速度是多少？2121( )( )h th ttt定义定义:平均变化率平均变化率: 式子式子 称为函数称为函数 f (x)从x1到到 x2的的平均变化率平均变化率.2121()()f xf xxx令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则2121()() y f xf xxxx特别提示：特别提示：.xx是一个整体符号，而不是与 相乘例题讲解例题讲解: 001yx , xxx 例题一：求函数在区间上的平均变化率。00000011y()() ,()f xxf xxxxxx xx 解：0001xy1 .()yxxxx xx 在附近的平均变化率为：巩固练习：巩固练习：21.565yx求函数在区间 3，内的平均变化率。222(5)(3)5 56(5 36)80: 405322 563540.yffxyx解函数在区间 ，内的平均变化率为22.( )2.1,2 2f xxx已知函数求函数在区间，内的平均变化率22 2 (2)(2)=2 (2+)1 (2 21) =82()yfxfxxx 解：282()82yxxxxx ( )2,2xf xx故函数在区间内的平均变化率为8+2.归纳：归纳： 1.式子中式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为0 2.若函数若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 3. 变式变式:211121()()( )() f xf xf xxf xxxxx y 思考三:l观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()f xxx2f(x直线直线AB的斜率的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1) 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探探 究究:思考四：思考四： 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在存在函数关系函数关系2( )4.96.510h ttt 例题讲解例题讲解: 26.510. (1)22; (2)0.1,0.01,0.1,0.01.tttttttt 例题二：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t求到的平均速度当时的平均速度22221.4.9(2)6.5 2t) 10( 4.9 26.5 2 10) 13.14.9,t2213.94.9 4.913.1ttttthttvttt 解：因为 h（ 所以从到的平均速度为：20.14.9( 0.1)13.112.61 0.014.9( 0.01)13.113.0510.14.90.113.113.590.014.90.0113.113.149tvtvtvtv （ ）当时，当时， 当时， 当时，巩固练习巩固练习: 2.已知函数已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = , 分别计算在下列区间上分别计算在下列区间上 f (x) 及及 g (x) 的平均变化率的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .223xx203.yxxx求函数在附近的平均变化率21.( ),( ). A 3 , B 3, C 3, D 322f xxxyxxxxxxx 已知函数+ 的图像上的点A(-1,-2)及附近一点B(-1+，-2+则D(1) 2 2 (2) -12 3 02xx课后小结：课后小结：l1.函数的平均变化率函数的平均变化率2121()() y f xf xxxxl2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率2121()() y f xf xxxx课堂作业课堂作业:21.y453 3x.x求函数在区间，内的平均变化率32.y3A(1,41x,4)K.xy求函数经过点）和点（的割线的斜率
