功动能定理保守力的功.ppt

关于功动能定理保守力的功1现在学习的是第1页，共51页4.1 4.1 功功 动能定理动能定理1 1、恒力直线运动的功、恒力直线运动的功在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 力对空间积累效应用功来表示。力对空间积累效应用功来表示。FFS|cosrFArFr位移无限小时：位移无限小时：dA dA 称为称为元功元功元功元功质点发生微小的位移过质点发生微小的位移过程中，力所作的功程中，力所作的功rdFdA2现在学习的是第2页，共51页解决方法：由微积分的方法解决方法：由微积分的方法1）把路径无限分割成许多小段，把路径无限分割成许多小段，任取一小段位移（元位移）；任取一小段位移（元位移）；2）在这段位移上质点受的力可以看成是在这段位移上质点受的力可以看成是恒力，在该微过程中的元功为：恒力，在该微过程中的元功为：ab1F1dr）总功等于各段上元功总功等于各段上元功的代数和，即：的代数和，即：|cosrdFrdFdAbabadsFrdFdAAcos2.变力曲线运动的功变力曲线运动的功rdF cosarbrdrro3现在学习的是第3页，共51页 力的功就是质点所受的力沿质点运动路径的线力的功就是质点所受的力沿质点运动路径的线积分积分babadsFrdFdAAcos0900dA,dsFrdFrdFdAcoscos018090dA,090dArdF说明：说明：1 1）功是标量，没有方向，但有大小正负。功是标量，没有方向，但有大小正负。Fdr ab4现在学习的是第4页，共51页4）在直角坐标系中功的解析式：在直角坐标系中功的解析式：b ba az zy yx xd dz z) )F Fd dy yF Fd dx x( (F FA AbardF3）合力的功合力的功 = 分力的功的代数和分力的功的代数和AA12baAF dr()baFFdr12bbaaF drFdr122）功是过程量，与路径有关。功是过程量，与路径有关。5现在学习的是第5页，共51页5）作功与参照系有关。作功与参照系有关。例如：传送带将箱子从低例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人处运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在看摩擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没传送带上的人看摩擦力没有作功。有作功。静静f2. 功率功率定义：定义：力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功 表征作功快慢的物理量。表征作功快慢的物理量。FvFdtrdFdtdAtAPtcoslim06现在学习的是第6页，共51页例题例题某质点沿某质点沿x轴作直线运动，受力为轴作直线运动，受力为 ，试求质点从移动到，试求质点从移动到 的过程中该力的功。的过程中该力的功。NixF)(5400 xmx10 解：解：1002905454JdxxidxixrdFA)()(7现在学习的是第7页，共51页解：解：（一维运动可以用标量）（一维运动可以用标量） rdFAtadtvv00JtdttdtttA7299363124303302vdtFtdtmF00203212tdtttdtdtdxFFdx例题例题 质量为质量为2kg的质点在力的质点在力 (SI) 的作的作用下，从静止出发，沿用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。前三秒内该力所作的功。i tF128现在学习的是第8页，共51页例题例题一抛体质量一抛体质量 m ，计算从计算从 a 到到 b 这段路程中这段路程中重力的功。重力的功。解：解：drmgab yx抛体在重力场中运动，抛体在重力场中运动，mg是一恒量，是一恒量，但但m 的轨迹是一抛物线，的轨迹是一抛物线，取一元位移取一元位移dr在这一元段内写出元功在这一元段内写出元功 与位移的夹角与位移的夹角时时在变时时在变 mgmg drmg dy cosmg ds dAF dr()bamg yy bamgdy cosbaFds baAF dr9现在学习的是第9页，共51页建立坐标系；建立坐标系；在过程区间任选一元位移；在过程区间任选一元位移；写出元功写出元功,分析变量关系；分析变量关系；积分计算功；积分计算功；分析结果的物理意义。分析结果的物理意义。计算功的基本步骤计算功的基本步骤 由此例我们看到，功的计算主要在把握对元功由此例我们看到，功的计算主要在把握对元功的分析，不论力是在变还是位移的方向在变，我们的分析，不论力是在变还是位移的方向在变，我们都只抓住任一元位移中，都可视它们是不变的，因都只抓住任一元位移中，都可视它们是不变的，因而可写出元功，这叫做而可写出元功，这叫做微元法微元法。 10现在学习的是第10页，共51页 在计算变力的功时，必须知道力随位移的函数关在计算变力的功时，必须知道力随位移的函数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂，难于找出这系，但在有些情况下力的变化比较复杂，难于找出这种固定的函数关系，使变力功的计算变得复杂。种固定的函数关系，使变力功的计算变得复杂。作功和物体状态变化有什么关系？作功和物体状态变化有什么关系？ 力对物体作功，其效果是使质点的运动状态发力对物体作功，其效果是使质点的运动状态发生变化。生变化。11现在学习的是第11页，共51页合力对质点所做的功等于质点动能的增量。合力对质点所做的功等于质点动能的增量。1、质点的动能定理、质点的动能定理kkkEEEA 12是描写物体运动状态的物是描写物体运动状态的物理量，称为理量，称为动能动能 。 221mEk质点的动能定理为：质点的动能定理为：，sdFrdFrdFAttdtdmF t212221212121mmdmdsdtdmAvvvv 功和动能都与功和动能都与 参考系参考系有关；动能有关；动能定理仅适用于定理仅适用于惯性系惯性系 .注意注意Fdr ab12现在学习的是第12页，共51页1）动能定理的实质，说明了力的空间积累效应是动能定理的实质，说明了力的空间积累效应是改变了物体的动能。改变了物体的动能。明确几点：明确几点：2） 功是功是过程量过程量，动能是，动能是状态量状态量，动能定理建立，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的动能变化，即杂的外力作功时只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。求出该过程的功。bkaEF dr13现在学习的是第13页，共51页3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某一个力为合外力作功的代数和，不是合外力中某一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。4）通过作功，质点与外界进行能量交换。通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，即物外力对物体做负功，质点的动能减少，即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为代价。体克服外力作功，是以减少自身的动能为代价。如果如果 外力对物体做正功，质点动能增加；外力对物体做正功，质点动能增加；所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。14现在学习的是第14页，共51页1. 一对作用力与反作用力的功一对作用力与反作用力的功)(2112221112rrdfrdfrdfdA 1212rdf 2112ff 这一对相互作用力作功之和为：这一对相互作用力作功之和为：1221rrr 令令：设设 与与 是质点是质点m1、m2的一对作用力反作用力的一对作用力反作用力12f21fdt时间内，时间内， m1和和m2相对于相对于某参照系有位移某参照系有位移 和和1rd2rd 为为m1相对于相对于m2的位移。的位移。12rd1m2m1r12f21f1rd2rdxyzO2r二二 、质点系的动能定理、质点系的动能定理15现在学习的是第15页，共51页1212rdfdA 同理：同理：2121rdfdA 一对相互作用力的总功等于其一对相互作用力的总功等于其中一个质点受的力点乘其相对另一中一个质点受的力点乘其相对另一个质点的位移。个质点的位移。 为为m1相对于相对于m2的位移。的位移。12rd 由于一对作用力的功只取决于两质点间的由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因而与参照系的选择无关相对位移，因而与参照系的选择无关。1m2m1r12f21f1rd2rdxyzO2r16现在学习的是第16页，共51页 对其中第对其中第i个质点，动能定理可写为：个质点，动能定理可写为： 2022121iiiiivmvmA Ai是作用在第是作用在第i个质点上的所有力对质点个质点上的所有力对质点i所作的功，所作的功，它既包括质点系以外其它物体所施的作用力它既包括质点系以外其它物体所施的作用力外力的外力的功功Ai外外，又包括质点系内其它质点所施的作用力，又包括质点系内其它质点所施的作用力内内力的功力的功Ai内内。 2022121iiiiiivmvmAA内内外外2.质点系的动能定理质点系的动能定理17现在学习的是第17页，共51页对所有质点求和：对所有质点求和： 2022121iiiiiivmvmAA内内外外221iivm为质点系的动能，用为质点系的动能，用 表示表示质点系的动能定理质点系的动能定理 外力作功与内力作功代数和，等于质点系总动外力作功与内力作功代数和，等于质点系总动能的增量。能的增量。式中：式中：kkkiiEEEAA0内内外外有：有：kEAA内内外外kE18现在学习的是第18页，共51页注意：注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。总动量。 因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。比如比如: 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，而子子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，而子弹对墙的摩擦力不作功，所以弹对墙的摩擦力不作功，所以 但是由于质点系内各质点间可以有相对位移，但是由于质点系内各质点间可以有相对位移，一般情况下，一般情况下，内力的功不一定为零内力的功不一定为零，所以内力作功所以内力作功可以改变质点系的总动能。可以改变质点系的总动能。0内内A19现在学习的是第19页，共51页例题例题 质量为质量为m的小球系在线的一端，线的另一端固的小球系在线的一端，线的另一端固定在墙壁钉子上，线长为定在墙壁钉子上，线长为l。拉动小球使线保持水平静。拉动小球使线保持水平静止后松手，求线摆下止后松手，求线摆下 角时小球的速率。角时小球的速率。lgmTvdds解：解：m以以 为研究对象，受两力为研究对象，受两力mTmg和和0TAdsmgrdgmAmgcosmglldmg0sincos0212 mAAAmgTglvsin2 20现在学习的是第20页，共51页例题例题 一链条总长为一链条总长为l，质量为质量为m。放在桌面上并使其。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数设链条与桌面的滑动摩擦系数为为 ，令链条从静止开始运动，则：，令链条从静止开始运动，则：1）到链条离开桌）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2）链条离开）链条离开桌面时的速率是多少？桌面时的速率是多少？al-a xO解：解：(1)(1)建坐标系如图建坐标系如图 lalafdxxllmgrdfA)(注意：摩擦力作负功！注意：摩擦力作负功！lxlmgf/)( 22)(2)(2allmgxllmgla 21现在学习的是第21页，共51页(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：21222)()(alallgv得得20210mvAAvfP lalmgxdxlmgrdpAlalaP2)(22 lalmgAf2)(2 前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmg 2022121mvmvAAAfPxl-x xO22现在学习的是第22页，共51页0dzmgAkdzjdyidxrd )(abmgzmgz kmgP zmgrPAbazzbadd 一、一、重力的功重力的功4.2 保守力的功保守力的功 势能势能xyOabr Prd23现在学习的是第23页，共51页0kxdxAikxFbabaxxxxkxdxFdxA)2121(22abkxkxAaxbxFxo二、二、弹性力的功弹性力的功24现在学习的是第24页，共51页rrMmGF3bardrrMmGrdFA3三、三、 万有引力的功万有引力的功以以 为参考系为参考系， 的位置矢量为的位置矢量为 . rmM)(tr)(dttr rdmOMab对对 的万有引力为的万有引力为Mmm由由 点移动到点移动到 点时点时 作功为作功为 Fab25现在学习的是第25页，共51页)(tr)d(ttr rdmOMab)()(abrMmGrMmGAbarrdrrMmGA2)(tr)d(ttrrdbardrrMmGrdFA3rdrrdrrdrcosrdrrdzyxdzdzydyxdxr dr)(21)(21222226现在学习的是第26页，共51页保守力保守力: : 力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于，仅决定于 相互作用质点的相互作用质点的始末始末位置位置 . .二二 保守力和非保守力保守力和非保守力aDbaCbrdFrdF abCD)()(abrMmGrMmGA引力功引力功重力功重力功)(abmgzmgzA弹力功弹力功)2121(22abkxkxA27现在学习的是第27页，共51页非保守力非保守力: : 力所作的功与路径有关。力所作的功与路径有关。 （例如（例如摩擦摩擦力、爆炸力等）力、爆炸力等） 物体沿物体沿闭合闭合路径运动路径运动 一周时一周时, , 保守力对它所作的功等于零保守力对它所作的功等于零 . .abCD0lrdF28现在学习的是第28页，共51页 保守力做功改变的能量仅由系统内各物体保守力做功改变的能量仅由系统内各物体之间的相互作用和相对位置所决定。之间的相互作用和相对位置所决定。这种能这种能量称为量称为系统的势能系统的势能。用。用Ep表示。表示。作功的结果是使系统的能量改变作功的结果是使系统的能量改变三、势能三、势能)()(abrmMGrmMGA)(abmghmghA)2121(22abkxkxA重力的功：重力的功：弹力的功：弹力的功：万有引力的功：万有引力的功：通式：通式：( )()baAE rE r 保29现在学习的是第29页，共51页保守力的功与势能增量的关系：保守力的功与势能增量的关系：定义：定义： 势能势能是与物体间相互作用及相对位置有是与物体间相互作用及相对位置有关的能量关的能量，pE 保守力做功等于相关势能增量的负值保守力做功等于相关势能增量的负值用用表示表示pEcrmMGrEp)(cmghhEp)(ckxxEp221)(重力势能：重力势能：弹性势能：弹性势能：万有引力势能：万有引力势能：)()(abrErEA保保30现在学习的是第30页，共51页2.2.势能的性质势能的性质 势能属于相互作用的系统共有势能属于相互作用的系统共有 ( (动能则属于质点自身动能则属于质点自身) ) 势能是相对的，势能差是绝对的势能是相对的，势能差是绝对的 势能是由系统中物体之间相对位置确定势能是由系统中物体之间相对位置确定的能量的能量 势能的值与势能零点的选择有关势能的值与势能零点的选择有关 势能是系统状态的函数势能是系统状态的函数 只有保守力才能引入相关势能的概念只有保守力才能引入相关势能的概念31现在学习的是第31页，共51页 对于对于弹性势能弹性势能，通常规定弹簧处于自然状态，通常规定弹簧处于自然状态（x=0）时为势能零点。）时为势能零点。 对于对于重力势能重力势能，通常规定某一参考平面（，通常规定某一参考平面（h=0）为势能零点。为势能零点。 对于对于万有引力势能万有引力势能，通常规定两物体相距无限，通常规定两物体相距无限远时为势能零点。远时为势能零点。rMmGrEp)(mghhEp)(221)(kxxEp势能零点的选择势能零点的选择32现在学习的是第32页，共51页势能的完整定义势能的完整定义 例例引力势能引力势能例例弹性势能弹性势能( )( )pb EbpaEaFdr0保保mMGr pGrmMEGdrr 2kx212pkxEkxdx 0例例重力势能重力势能pghEmgdy 0mgh33现在学习的是第33页，共51页pEzOmgzEp四、势能曲线四、势能曲线弹性弹性势能曲线势能曲线0, 0pEx重力重力势能曲线势能曲线0, 0pEz引力引力势能曲线势能曲线0,pErxOpE221kxEpxOpErMmGEp34现在学习的是第34页，共51页一、功能原理一、功能原理kEAA 内内外外利用质点系的动能定理：利用质点系的动能定理：系统内部系统内部保守力的功保守力的功和内部和内部非保守力的功非保守力的功，pEA 保保保保内内非非保保内内外外内内外外AAAAA 保守力作功等于势能增量的负值保守力作功等于势能增量的负值pEAA 非非保保内内外外kE pkEEAA 非非保保内内外外)(pkEE 其中内力作功的代数和项其中内力作功的代数和项 可分为：可分为：内内内内iniAA 135现在学习的是第35页，共51页EEEAApk)( 非非保保内内外外注意：注意：1）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，只须计算保守内力之外的其它力的功。只须计算保守内力之外的其它力的功。2）功能定理也只适用于惯性系。）功能定理也只适用于惯性系。pkEEAA 非非保保内内外外)(pkEE 定义：机械能定义：机械能为物体系的动能与势能之和。为物体系的动能与势能之和。pkEEE 质点系的功能原理：质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和外力和非保守内力作功之和 . . 而而动能定理给出的是动能的改变与功的关系，动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的功；应计算包括保守力在内的所有力的功；36现在学习的是第36页，共51页由质点系的功能原理：由质点系的功能原理：0E则：则：，00 EE恒量恒量 EE0 对于一个系统，当合外力的功与内部非保守力的对于一个系统，当合外力的功与内部非保守力的功都为功都为0时，系统的机械能守恒。时，系统的机械能守恒。即即二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律EAA 非非保保内内外外注意：注意：1.机械能守恒定律的条件是：机械能守恒定律的条件是： A外外=0且且A非保内非保内=0若若 且且 0外外A，非保内非保内0A机械能守恒定律机械能守恒定律37现在学习的是第37页，共51页 3 3. 质点系的机械能和机械能守恒定律也适用质点系的机械能和机械能守恒定律也适用于包含有定轴转动刚体的系统。于包含有定轴转动刚体的系统。 4. 机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守恒定机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守恒定律的特殊形式。律的特殊形式。 2. 只有保守力作功时，系统的动能与势能可只有保守力作功时，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。少的量。pkEE 38现在学习的是第38页，共51页能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律 在一个孤立系统内，有非保守力做功时，机械能不在一个孤立系统内，有非保守力做功时，机械能不守恒。但能量的形式可能变化，也可能在物体之间转守恒。但能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。移。不论发生何种变化过程，各种形式能量之间无不论发生何种变化过程，各种形式能量之间无论怎样转换，总的能量将保持不变。这就是能量守论怎样转换，总的能量将保持不变。这就是能量守恒定律。恒定律。 能量守恒定律是能量守恒定律是自然界中的普遍规律。自然界中的普遍规律。其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只是前其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只是前者的一个特例，者的一个特例，它体现了运动的守恒。它体现了运动的守恒。39现在学习的是第39页，共51页 应用机械能守恒定律解题的思路和方法应用机械能守恒定律解题的思路和方法： 明确物理过程后，首先确定研究对象，研明确物理过程后，首先确定研究对象，研究对象必须是质点系；然后进行受力分析，究对象必须是质点系；然后进行受力分析，只分析外力和非保守内力，判断它们作功是只分析外力和非保守内力，判断它们作功是否为零；若满足机械能守恒条件，则用机械否为零；若满足机械能守恒条件，则用机械能守恒定律，否则只能运用功能原理；最后能守恒定律，否则只能运用功能原理；最后规定势能零点，写出初末状态的机械能，列规定势能零点，写出初末状态的机械能，列出方程，求解。出方程，求解。40现在学习的是第40页，共51页例题例题 已知已知k，m，M，初始弹簧自由，系统静止。，初始弹簧自由，系统静止。写出释放写出释放 m 后，系统的功能关系。后，系统的功能关系。 解：解：m建立坐标系建立坐标系y0k M选系统：选系统： 要用系统功能原理就看怎要用系统功能原理就看怎样选系统，对这个例子，系统样选系统，对这个例子，系统的选取是多种多样的。的选取是多种多样的。 系统选取后，作功能分析，区分哪些是内力功，系统选取后，作功能分析，区分哪些是内力功，哪些是外力功，内力功是否保守力功。哪些是外力功，内力功是否保守力功。认清这些问题后才能正确应用功能原理认清这些问题后才能正确应用功能原理坐标原点即势能零点坐标原点即势能零点41现在学习的是第41页，共51页 m M 系统系统 系统系统无内保守力，因而写出的方程应该与无内保守力，因而写出的方程应该与用质点系动能定理得到的形式完全一样。用质点系动能定理得到的形式完全一样。kgAAAA 外外 0A內內非非y0k M()()()222211100 0222k dmgdMgdmvMv m M k 系统系统gAAA 外外 0A內內非非()()2221110 0222mgdMgdmvMvkd 现在，弹性力是内保守力，其功用弹性势能表达。现在，弹性力是内保守力，其功用弹性势能表达。42现在学习的是第42页，共51页y0k M m M k 系统系统gAA外外AA 內內非非()()2221110 0222mgdMgdmvMvkd 现在，方程形式未变，但左边第二项的意义与前次不同了，现在，方程形式未变，但左边第二项的意义与前次不同了，在这个系统中，它是内部的非保守力的功。在这个系统中，它是内部的非保守力的功。43现在学习的是第43页，共51页 m M k g对于系统对于系统，若无耗散力做功，即，若无耗散力做功，即= 0，则机械能守恒则机械能守恒 0A外外AA 內內非非()222111 0222MgdmvMvkdmgd 2221110222mvMvkdmgdy0k M44现在学习的是第44页，共51页运动定律与力学中的守恒定律运动定律与力学中的守恒定律一一. .牛顿定律：牛顿定律：注意：牛顿定律只适用于质点模型、只在惯性系中成立、适用于低速宏观物体二二. .动量定理、动量守恒定律动量定理、动量守恒定律dvFmdtpmv1.1.动量：动量：0210ttIFdtPPmvmv2.2.单个质点的动量定理单个质点的动量定理平均力：平均力：212121211()()ttm vvFFdttttt3.3.质点系的动量定理：质点系的动量定理：00()tiiiiitiiiF dtm vm v4.4.动量守恒定律动量守恒定律0F ip 恒恒量量条件：条件：45现在学习的是第45页，共51页三三. .动能定理、功能原理、机械能守恒动能定理、功能原理、机械能守恒1.1.功功2.2.保守力保守力3.3.动能动能4.4.单个质点的动能定理单个质点的动能定理baAF drFdr0保保papbpAEEE保pGmMEGr 212pkEkxpgEmgh212kEmv2201122baAF drmvmv46现在学习的是第46页，共51页5.5.质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的功能原理质点系的功能原理机械能守恒机械能守恒0kkAAAEE保保內內外外非非內內21AAEE外外非非內內00pkpkEEEE当当A A外外=0=0，A A内非内非=0=0则则47现在学习的是第47页，共51页N 一桶水，随桶绕竖直中心轴匀角速一桶水，随桶绕竖直中心轴匀角速旋转，旋转，请证明：此时水面形状为抛物面。请证明：此时水面形状为抛物面。解：普通物理学教案例题6 ：在水面附近取质量元在水面附近取质量元 dm建坐标建坐标 z- -r受力分析：受力分析：dm gN为表面张力对为表面张力对dm的合力，沿法向。的合力，沿法向。由法向支撑力由法向支撑力 N 的水平投影提供向心力的水平投影提供向心力建牛顿方程：建牛顿方程：2sinNrdm cos0Ndm g zr 2dm r 48现在学习的是第48页，共51页2sinNrdm cos0Ndm g 2tan/rg 2tanrg dzdr则则这是水面投影曲线上这是水面投影曲线上dm所在点的切线所在点的切线分离变量分离变量2rdrdzg 积分积分020rzzrdrdzg 2202zzrg 这正是旋转抛物面方程。这正是旋转抛物面方程。49现在学习的是第49页，共51页 若已知不旋转时水深为若已知不旋转时水深为h，桶半径为，桶半径为R ,则由旋转前后水则由旋转前后水的体积不变，有：的体积不变，有： d202Rz rrR h RhRrrzrg02022d2)2( gRhz4220 50现在学习的是第50页，共51页感谢大家观看8/23/2022现在学习的是第51页，共51页