2022年学高中数学第三章函数的应用..函数模型的应用实例练习新人教A版讲义 .pdf

3.2.2 函数模型的应用实例一、 A组1.甲、乙两人在一次赛跑中, 路程s与时间t的函数关系如图所示, 则下列说法正确的是() A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析 : 由题图知甲所用时间短, 则甲先到达终点.答案 : D 2.用长度为24 m 的材料围成一个矩形场地, 并且中间加两道隔墙, 要使矩形的面积最大, 则隔墙的长度为 () A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m 解析 : 设隔墙长为x m, 则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, 即当x=3 m 时, 矩形面积最大.答案 : A 3.已知镭经过100 年剩留原来质量的95.76%,设质量为 1 的镭经过x年后的剩留量为y, 则x,y之间的函数关系式为() A.y=0.957 B.y=0.957 6100 xC.y=D.y=1-0.04 解析 : 特殊值法 , 取x=100 代入选项 , 只有 A正确.答案 : A 4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比, 变化情况是 () A.升高 7.84% B.降低 7.84% C.降低 9.5% D.不增不减解析 : 设该商品原价为a, 四年后的价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.921 6a.所以 (1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a, 即比原来降低7.84%.答案 : B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小, 刚放进的新丸的体积为a, 经过t天后体积V与天数t的关系式为V=ae-kt.已知新丸经过50 天后, 体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为() A.125 B.100 C.75 D.50 解析 : 由已知得a=ae-50k, 即 e- 50k=.a=a=(e- 50ka=e- 75ka, t=75.答案 : C 6.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度, 假设函数t=-144lg 中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若N=40, 则t.( 已知 lg 20.301,lg 3 0.477). 解析 : 当N=40 时, 则t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3) =-144(1-lg 2-2lg 3) 36.72.答案 : 36.72 7.某汽车在同一时间内速度v( 单位 :km/h) 与耗油量Q( 单位 :L) 之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27, 则车速为 km/h 时, 汽车的耗油量最少. 解析 :Q=0.002 5v2-0.175v+4.27 =0.002 5(v2-70v)+4.27 =0.002 5(v-35)2-352+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h 时, 耗油量最少.答案 : 35 8.导学号 29900137 一个水池有2 个进水口 ,1 个出水口.2 个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示, 出水口的排水速度如图丙所示.某天 0 时到 6时, 该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3 个论断 :0 时到 3 时只进水不出水;3 时到 4 时不进水只出水;4 时到 6 时不进水不出水.其中 ,一定正确的论断序号是. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析 : 从 0时到 3 时,2 个进水口的进水量为9, 故正确 ; 由排水速度知正确 ;4 时到 6 时可以是不进水 , 不出水 , 也可以是开1 个进水口 (速度快的 ) 、1 个排水口 , 故不正确.答案 :9.如图所示 , 已知边长为8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀, 其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板 , 将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM, 使点P在边DE上.(1) 设MP=x m,PN=y m, 将y表示成x的函数 , 求该函数的解析式及定义域; (2) 求矩形BNPM面积的最大值.解: (1) 如图所示 , 延长NP交AF于点Q, 所以PQ=8-y,EQ=x-4.在EDF中, 所以.所以y=-x+10, 定义域为 4,8.(2) 设矩形BNPM的面积为S, 则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x4,8,所以当x=8 时,S取最大值 48.所以当MP=8 m 时, 矩形BNPM的面积取得最大值, 且为 48 m2.10.导学号 29900138(2016河北正定中学高一月考)经市场调查 , 某门市部的一种小商品在过去的20 天内的日销售量(单位 : 件) 与价格 ( 单位: 元) 均为时间t( 单位 : 天) 的函数 ,且日销售量近似满足函数g(t)=80-2t, 而且销售价格近似满足于f(t)=(1) 试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式; (2) 求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解: (1) 由已知得y=f(t) g(t) =(2) 由(1) 知,当 0t10 时, y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225.该函数在区间0,5 上递增 , 在区间 (5,10上递减 , 则ymax=1 225( 当t=5 时取得 ),ymin=1 200( 当t=0 或t=10 时取得 ).当 10t20 时,y=t2-90t+2 000=(t-45)2-25.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 该函数在区间(10,20上递减 , 则y2 000-800=1 200,ymin=600( 当t=20 时取得 ).由知,ymax=1 225( 当t=5 时取得 ),ymin=600( 当t=20 时取得 ).二、 B组1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖, 引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物, 已知该动物的繁殖数量y( 单位: 只) 与引入时间x( 单位 : 年) 的关系为y=alog2(x+1), 若该动物在引入一年后的数量为100 只, 则第 7 年它们发展到 () A.300 只B.400 只C.600 只D.700 只解析 : 将x=1,y=100 代入y=alog2(x+1) 得,100=alog2(1+1), 解得a=100, 所以当x=7 时,y=100log2(7+1)=300.答案 : A 2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元, 而卖出x吨的价格为每吨Q元, 已知P=1 000+5x+x2,Q=a+, 若生产出的产品能全部卖出, 且当产量为150 吨时利润最大,此时每吨的价格为40元, 则有 () A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45 C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30 解析 : 设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元, 则y=xQ-P=x=x2+(a-5)x-1 000, 其中x(0,+).由题意知当x=150 时,y取最大值 , 此时Q=40.整理得解得答案 : A 3.导学号 29900139 如图 ,点P在边长为 1 的正方形边上运动, 设M是CD的中点 , 则当P沿A-B-C-M运动时 , 点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x) 的图象大致是 () 解析 : 依题意 , 当 0 x1 时,SAPM=1x=x; 当 1x2 时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=1-1(x-1)- (2-x)=-x+; 当 28), 解得x=9.答案 : 9 7.在固定压力差( 压力差为常数 )下, 当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.(1) 写出函数解析式; (2) 假设气体在半径为3 cm 的管道中 ,流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm 的管道时 ,其流量速率R的表达式 ; (3) 已知 (2) 中的气体通过的管道半径为5 cm, 计算该气体的流量速率.( 精确到 1) 解: (1) 由题意 , 得R=kr4(k是大于 0 的常数 ).(2) 由r=3 cm,R=400 cm3/s, 得k34=400,k=, 故速率R的表达式为R=r4.(3)R=r4, 当r=5 cm 时,R =543 086(cm3/s).8.导学号 29900140 下表是某款车的车速与刹车后的停车距离, 试分别就y=aekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型, 并探讨最佳模拟, 根据最佳模拟求车速为120 km/h 时的刹车距离.车速/(km/h) 10 15 30 40 50 停车距离/m 4 7 12 18 25 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 车速/(km/h) 60 70 80 90 100 停车距离/m 34 43 54 66 80 解: 若以y=aekx为模拟函数 , 将(10,4),(40,18)代入函数关系式, 得解得y=2.422 8e0.050 136x.以此函数式计算车速度为90 km/h,100 km/h时, 停车距离分别约为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比 ,误差较大.若以y=axn为模拟函数 , 将(10,4),(40,18)代入函数关系式, 得解得y=0.328 9x1.085.以此函数关系计算车速度为90 km/h,100 km/h时, 停车距离分别约为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.若以y=ax2+bx+c为模拟函数 , 将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数式 , 得解得y=x2+x+2.以此函数解析式计算车速为90 km/h,100 km/h时, 停车距离分别为68 m,82 m, 与前两个相比 ,它较符合实际情况.当x=120 时,y=114 m.故当车速为120 km/h 时, 停车距离为114 m. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -