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    2022年完整word版,年九年级数学圆与相似综合专题 .pdf

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    2022年完整word版,年九年级数学圆与相似综合专题 .pdf

    圆与相似综合专题1、 如图,在 O中,弦 AB、CD相交于 AB的中点 E,连 AD并延长至点F,使 DF=AD ,连 BC 、BF 。 (1)求证: CDE AFB ;(2)当BEFB=58时,求CBAD的值。CEB=AED, AE=EB,AD=DF, AB=2AE,AF=2AD, AE:AB=AD:AF, EAD= DAF, EADBAF, AED=ABF= CED, BCE=BAF,( 同弧所对圆周角相等 ), 故CBE=AFB, 因此 CBEAFB(AAA) ;BE/FB=CB/AF=CB/(2AD), CB/AD=2BE/FB=2*5/8=5/4. 2、 平行四边形ABCD 中,以 AB 为直径的 O 交 CD 于 M, 交 AD 于 E, 且 AM 平分 BAD ,连接 BE 交 AM 于 F。(1)求证: DM=CM ;(2)若 AD=5 ,AM=8 ,求 MF 的长。DM=CM AO=BO 则: AD/OM/BC AD=OM=5 o 内, AB=2OM=2*5=10 三角形 ABM 是 Rt AMB=90 三角形 ABM 中,AM=8 则: BM2=AB2-AM2 =102-82 则: BM=6 因为: AM 平分 BAD 和 AD/OM MCBOAEDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 所以: DAM= OAM= AMO 而: o 内 AEB=90 则: OMBE MFB 内:FMB=90 由于直角三角形非直角和为90则: AMO= MBF=t (设为 t)ABM 中: tant=MB/AM=6/8=3/4 MFB 中: tant=MF/MB=MF/6 则: MF/6=3/4 MF=9/2.3.如图,O是ABC外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是弧上一动点,过点P 作 BC 的平行线交AB延长线与点D. (1)当点 P 在什么位置时, DP 是 O 的切线?说明理由;(2)当 DP 是 O 的切线时,求DP 的长 .( 1)当P 是 BC 中点时, DP 是 O 的切线 .理由如下: .1分AB=AC,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - 又PA 是 O 的直径 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 19 页 - - - - - - - - - 又 AB=AC , PA BC.DP/BC , PDAP.DP 是 O 的切线 .(2)连接 OB,设 PA 交 BC 于点 E.由垂径定理得,BE=. 在 RtABE 中,据勾股定理,. 设 O 的半径为r,则 OE=8-r.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 19 页 - - - - - - - - - HFEDCBAOP在 RtOBE 中,. 解得 r=. 4.如图,P 是 O 直径 AB 延长线上的一点, 过 P作直线分别交O 于 C、 D 两点,弦 DFAB于 H 点, CF 交 AB 于点 E. (1)求证: DEEF;(2)若 DECF, P15, O 半径为 4,求 CF 的长 . 解: (1)EA 垂直平分 DF,故 DEEF. (2)DEF 是等腰直角三角形, DCF P+450600,连 OF,则 HOF600,OH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 19 页 - - - - - - - - - 12OF2, DH HF2 3, DEEF2 6,在 RTCDE 中,CE3DE2 2,CF2 2+2 65.如图, ABC内接于 O,AB=AC ,CD 平分 ACB 交 O 于点 D,交 AB 于点 F,连接AO 并延长交 CD 于点 E(1)求证: AD=DE ;(2)若 DF=CE=2 ,求BFAF的值 (1)证明OA平分 BAC ; (2)设 EF=x DCA DAF ,AFACADCDDFAD,即AFACxxx2422 解 之 得15x, 15EF 215DFADAFAC,215AFAB,512BFAF. 6、如图, AB 为半圆 O 的直径,点C 在半圆 O 上,过点O 作 BC 的平行线交AC 于点 E,交过点 A 的直线于眯D,且 D= BAC 。(1)求证: AD 是半圆 O 的切线;(2)若 BC=2,CE=2,求 AD 的长。解 析 (1)要证 AD 是半圆 O 的切线只要证明 DAO=90即可;(2)由两组角对应相等的两个三角形相似可得到DOA ABC,据相似三角形的对应边成比例可得到AD 的长解 答 (1)证明: AB 为半圆 O 的直径, BCA=90 AEBODCABCDEFO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 19 页 - - - - - - - - - 又BCOD, OEAC D+ DAE=90 D= BAC, BAC+ DAE=90 AD 是半圆 O 的切线(2)解:BC OD , AOE ABC, BA=2AO ,AO BA =AE AC =1 2 ,又 CE=2 , AC=2CE=2 2 在 Rt ABC 中,AB=AC2+BC2=(2 2 )2+22=2 3 , D= BAC,ACB= DAO=90,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 19 页 - - - - - - - - - DOA ABCAD AC = OA BC 即AD 2 2 = 3 2 AD= 6 7、如图,已知AB 为O 的直径,弦CDAB ,垂足为H。(1)求证: AH ?AB=AC2;(2)若过 A 的直线与弦CD(不含端点)相交于点E,与 O 相交于点F,求证: AE?AF=AC2;(3)若过 A 的直线与直线CD 相交于点 P,与O 相交于点Q,若 AH=1 ,AB=4 ,请直接写出AP?AQ 的值(不必写过程)(1)连接 CB,证明 CAH BAC 即可;(2)连接 CF,证 AEC ACF ,根据射影定理即可证得;(3)由( 1)( 2)的结论可知,AP?AQ=AC2成立EDAHOFBC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 19 页 - - - - - - - - - 解答:证明:( 1)连接 CB,AB 是 O 的直径, ACB=90 ,而 CAH= BAC , CAH BAC ,ACABAHAC,即 AH?AB=AC2;(2)连接 FB,易证 AHE AFB ,AE?AF=AH?AB ,AE?AF=AC2;(也可连接 CF ,证 AEC ACF )(3)结论 AP?AQ=AC2成立(同理)8、如图,点A、B、C、D 在 O 上,AB=AC ,AD 与 BC 相交于点E,AE=12ED,延长DB 到点 F,使 FB=12BD ,连接 AF。(1)证明: BDE FDA ;(2)试判断直线AF与 O的位置关系,并给出证明。(1)根据题意可得出ACEDOBF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 19 页 - - - - - - - - - BDFD=EDAD, ADB= ADF ,根据一个角相等,夹这个角的两边对应成比例从而得出BDE FDA ;(2)连接 OA,OB ,OC,由 AB=AC ,得出 OAB= OAC ,又 OB=OC ,从而得出AOBC 即可;(3)直线 AF 与O 相切由 BDE FDA ,得出 EBD= AFD ,可得出 BEFA ,根据 AOBE,可得出 AO FA,即直线 FA 与 O 相切解答:证明:( 1)在 BDE 和 FDA 中,FB1 2 BD, AE1 2 ED,BDFDEDAD2 3 (2 分)又 BDE= FDA BDE FDA (5 分)(2)连接 OA,并连接 OB 和 OC,如下图所示,AB=AC ,OA=OA ,OB=OC ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 19 页 - - - - - - - - - OAB OAC , OAB= OAC (6 分)又 OB=OC AOBC (7 分)(3)直线 AF 与O 相切(8 分)由 BDE FDA ,那么 EBD= AFD BE FA (9 分)由 AO BE 知, AOFA,直线 FA 与 O 相切 (11 分9、如图,四边形ABCD 内接于 O,AC为直径, BD平分 ADC ,BD与 OC相交于 E。(1)求证: BC2=BE?BD ;(2)若直径AC=62,BEED=3 1,求 OE的值。1.证明:BCE=ADB=CDB;CBE=DBC. CBEDBC,BC/BE=BD/BC,BC2 =BExBD 。2.解: ADB=CDB. 弧 AB=弧 BC,连接 OB,则 OB 垂直 AC. OC=OB=AC/2=3 2, 则 BC2=OC2+OB2=36. BE:ED=3:1, 设 BE=3X,则 BD=4X. BC2=BExBD( 已证),即 36=3X*4X=12X2 . X=3,BE=3X=3 3.故 OE= (BE2-OB2)=3. 10.已知:如图,在ABC 中, A=45,以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D,且 AD=DC ,CO 的延长线交O 于点 E,过点 E 作弦 EFAB,垂足为点GABOECD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 19 页 - - - - - - - - - (1)求证: BC 是 O 的切线;(2)若 AB=2 ,求 EF 的长(1)证明:连接BD,AB 为 O 的直径, ADB=90 ,BD AC,AD=CD ,AB=BC , A=ACB=45 , ABC=90 ,BC 是 O 的切线;(2)解: AB=2 ,BO=1 ,AB=BC=2 ,CO=BO2+BC2=5 ,EFAB,BCAB ,EFBC, EGO CBO ,EGBCEOCO,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 19 页 - - - - - - - - - EG2 1 5 ,EG=2 5 5 ,EF=2EG=4 5 5 11、如图,已知,已知ABC ,以边 BC为直径的圆与边AB交于点 D,点 E为弧 BD的中点,AF为 ABC的角平分线,且AF EC 。(1)求证: AC与O相切;(2)若 AC=6 ,BC=8 ,求 EC的长。证明:( 1)如图,连接BE, AF 是BAC 的角平分线, AFEC, ACH= AHC BHE= AHC, ACH= BHE E 是BD 的中点, EBD= BCE BC 是O 的直径, BEC=90 ( 3 分) EBH+ BHE=90 BCE+ ACE=90 AC 是 O 的切线( 4 分)DEBOFCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 19 页 - - - - - - - - - 解:( 2)在 Rt ABC 中, AC=6 ,BC=8 , AB=10 又 ACH= AHC , AH=AC=6 BH=AB-AH=10-6=4( 6 分) EBH= ECB, EBH ECBEB EC =HB BC =1 2 在 Rt EBC 中, EC=2EB ,BC=8 , EC2+EB2=BC2 EC=16 5 5 12、如图, O与 A相交于 C 、D两点, A、O分别是两圆的圆心,ABC内接于 O,弦 CD交 AB于点 G ,交 O的直径 AE于点 F,连接 BD 。 、(1)求证: ACG DBG ;(2)求证: AC2=AG ?AB 。(3)若 A、 O的直径分别为65、15,且 CGCD=1 4,求 AB 和 BD 的长。GBCFDEOA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 19 页 - - - - - - - - - 解:( 1)在和中,。(2)连结 AD ,则在和中又即。(3)连结 CE,则与相交于 C,D 两点圆心 O, A 在弦 CD 的垂直平分线上,即AO 垂直平分弦CD 的直径分别为,15 在和中,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页,共 19 页 - - - - - - - - - 即在中,由勾股定理,得即解得(舍去负值)在中,由勾股定理,得(舍去负值)由( 2),有即解得由( 1),有,得。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页,共 19 页 - - - - - - - - - 13、如图,在RtABC中,BC=9 ,CA=12 ,ABC的平分线BD交 AC于点 D,DE DB交 AB于点 E。(1)设 O是 BDE的外接圆,求证:AC是 O的切线;(2)设 O交 BC于点 F,连接 EF,求EFAC的值。证明:(1)DEDB,O 是 RtBDE 的外接圆BE 是O 的直径,点 O 是 BE 的中点,连接OD C=90 DBC+BDC=90 又BD 为ABC 的平分线ABD=DBC OB=OD ABD=ODB ODB+BDC=90 ODC=90 又OD 是O 的半径AC 是O 的切线(2)设 O 的半径为 r,在 RtABC 中,AB2=BC2+CA2=92+122=225 AB=15(7 分)A=A,ADO= C=90 ADOACBAO/AB=OD/BC (15-r)/15=r/9 r=45/8 BE=45/4 又BE 是O 的直径BFE=90 BEFBAC EF/AC=BE/BA=45/4/15=3/4 AEDCFBO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页,共 19 页 - - - - - - - - - 14、如图, A 是以 BC 为直径的 O上一点, AD BC于点 D,过点 BO的切线,与CA的延长线相交于点E,G是 AD的中点,连接CG并延长与 BE相交于点F,延长 AF与 CB的延长线相交于点P。(1)求证: BF=EF ;(2)求证: PA是O的切线;(3)若 FG=BF ,且 O的半径长为32,求 BD 和 FG 的长度。证明:(1)BC 是O 的直径, BE 是O 的切线EBBC 又ADBC ADBE BFCDGC, FECGAC G 是 AD 的中点DG=AG BF=EF (2)证明:连接 AO,AB BC 是O 的直径BAC=90 在 RtBAE 中,由( 1),知 F 是斜边 BE 的中点AF=FB=EF FBA=FAB 又OA=OB ABO=BAO BE 是O 的切线EBO=90 EBO=FBA+ABO=FAB+ BAO=FAO=90 PA 是O 的切线(3)解:过点 F 作 FHAD 于点 H BDAD,FHAD GAEFPBDOC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页,共 19 页 - - - - - - - - - FHBC 由(1),知 FBA=BAF BF=AF 由已知,有 BF=FG AF=FG,即 AFG 是等腰三角形FHAD AH=GH DG=AG DG=2HG 即FHBD,BFAD,FBD=90 四边形 BDHF 是矩形, BD=FH FHBC,易证 HFGDCG 即O 的半径长为 3 BC=6 解得 BD=2 BD=FH=2 CF=3FG 在 RtFBC 中,CF=3FG ,BF=FG CF2=BF2+BC2 (3FG)2=FG2+ (6 )2 解得 FG=3 (负值舍去)FG=3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页,共 19 页 - - - - - - - - -

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