2022年导数的概念及导数的几何意义 .pdf

57 导数的概念及导数的几何意义【考点及要求 】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。【基础知识 】1一般地，函数)(xf在区间,21xx上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2不妨设)(,(),(,(0011xfxQxfxP，则割线PQ 的斜率为，设 x1x0=x，则 x1= xx0，PQk，当点 P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率， 即当 x 无限趋近于0 时，xxfxxfkPQ)()(00无限趋近点Q 处切线。3曲线上任一点(x0，f(x0)切线斜率的求法：xxfxxfk)()(00，当x 无限趋近于0 时， k 值即为 (x0，f(x0)处切线的，记为4 瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：ttstts)()(00， 称为；当无限趋近于0 时，ttstts)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的；速度的平均变化率：ttvttv)()(00，当无限趋近于0 时，ttvttv)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为 t=t0时的【基础练习 】1已知函数2( )f xax在区间 1,2 上的平均变化率为,则( )f x在区间 -2,-1 上的平均变化率为2A、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北 ,B 船向东 , 若 A船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h, 设时间为 t, 则在区间 t1,t2 上,A,B 两船间距离变化的平均速度为_ _ _ 【典型例题讲练】例 1已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在区间-3，-1 ，0，5上函数 f(x)的平均变化率；.探求一次函数y=kx+b 在区间 m，n上的平均变化率的特点；练习： 已知函数f(x)=x2+2x，分别计算f(x) 在下列区间上的平均变化率; 1，2；3，4； 1，1；2，3 【课堂检测 】1求函数1( )yf xx在区间 1,1+x 内的平均变化率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2试比较正弦函数y=sinx 在区间0,6和,32上的平均变化率，并比较大小。 58 导数的概念及导数的几何意义【典型例题讲练 】例 2自由落体运动的物体的位移s（单位 :s）与时间 t（单位： s）之间的关系是：s(t)=12gt2(g是重力加速度)，求该物体在时间段t1， t2内的平均速度；练习：自由落体运动的位移s(m)与时间 t(s)的关系为 s=221gt(1)求 t=t0s 时的瞬时速度；(2)求 t=3s 时的瞬时速度；(3)求 t=3s 时的瞬时加速度；例 3已知 f(x)=x2，求曲线在x=2 处的切线的斜率。练习 :1 曲线 y=x3在点 P 处切线斜率为k,当 k=3 时,P 点的坐标为 _2若曲线4yx的一条切线与直线480 xy垂直，则的方程为3曲线2212xy与2413xy在交点处切线的夹角是_ _ 4已知函数( )32122f xxxm（为常数） 图象上处的切线与30 xy的夹角为， 则点的横坐标为 . 5曲线 y=x3在点 (1，1)处的切线与x 轴、直线x=2 所围成的三角形的面积为_6过曲线13xxy上一点 P 的切线与直线74xy平行，则P 点的坐标为例 4求21( )f xx过点 (1,1)的切线方程练习：过点(, )1 2P且与曲线2342yxx在点( , )11M处的切线平行的直线方程是_ _ _. 【课堂小结 】【课堂检测 】1求曲线1323xxy在点（ 1， 1）处的切线方程2已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0，2） ，且在点M( 1( 1)f，处的切线方程为076yx求函数)(xfy的解析式；3已知曲线3( )f xx上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由【课堂作业 】1与直线14xy平行的曲线23xxy的切线方程是_ _ _. 2设曲线y=21x和曲线 y=x1在它们交点处的两切线的夹角为，则tan 的值为 _ _ _.3若直线y=是曲线axxxy233的切线，则=. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4求曲线)2)(1(xxxy在原点处的切线方程. 59 导数的运算（ 1）【考点及要求 】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数xyxyxycy1,2的导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。【基础知识 】1基本初等函数的求导公式：)(C， ；)(x， （为常数） ；)(xa，)1,0(aa)x(loga=，) 1,0(aa；注： 当 a=e 时，)(ex，)(lnx，)(sinx，)(cosx；2法则 1 两个函数的和 ( 或差 ) 的导数，等于这两个函数的导数的，即)()(xvxu法则 2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即) )()(xvxu法则 4 两个函数的商的导数，等于，即)()(xxvu)0()(xv【基础练习 】1求下列函数导数（1）5xy（2）xy4（3）xxxy（4）xy3log（5）)100()1(log1xaaxayx，（6） y=sin(2+x) (7) y=sin3（8）y=cos(2 x)（9）y=(1)f【典型例题讲练 】例 1求下列函数的导数（1）xxysin3；（2）2(23)(32)yxx；(两种方法 ) （3）9cos2sin510 xxxxy； （4）y=xxsin2；. 练习： (1)求 y=332xx在点 x=3 处的导数 . (2) 求 y=x1cosx 的导数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - （3） 求 y=xxxcos423的导数 . （4） 求xxyxln3的导数 . 【课堂检测 】1设函数( )()(2 )(3 )f xx xkxkxk，且(0)6f，则；2求下列函数的导数：(1) y=xx53(2)y=232xx(3)y= )sin)(cosln34(xxxx(4)y=xcos11 60 导数的运算（2）例 2求满足下列条件的函数( )f x(1)( )f x是三次函数 ,且(0)3,(0)0,(1)3,(2)0ffff(2)( )fx是一次函数 ,2( )(21) ( )1x fxxf x练习：已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点P(0,2)， 且在点 M 处(-1， f(-1) 处的切线方程为6x-y+7=0 ，求函数的解析式例 3已知点P 在函数 y=cosx 的图象上（ 0 x2） ，在点 P 处的切线斜率大于0，求点 P 的横坐标的取值范围练习：已知函数235)3(35)(axaaxxxf，且对0)(,xfRx，求证：63a例 4.若直线yxb为函数1yx图象的切线 ,求 b的值和切点坐标练习： 1求曲线 y=x2在点 (1,1) 处的切线方程；2求曲线y=x2过点 (0,-1)处的切线方程；3已知直线1yx,点 P 为 y=x2上任意一点 ,求 P 在什么位置时到直线距离最短；【课堂小结 】【课堂检测 】1已知函数23)(23xaxxf，f (-1)=4 ，则 a=2过抛物线2xy上的点 M （41,21）的切线的倾斜角是3对正整数n，设曲线)1(xxyn在 x2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为，则数列1nan的前 n 项和的公式是4曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是5已知曲线y=和这条曲线上的一点P(2,),求曲线 y=在点 P 处的切线方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 【课堂作业 】1若曲线y=x21 与 y=1x3在 x=x0处的切线互相垂直,则 x0等于2求下列函数的导数：(1) y=lg(1+cos2x) (2) y=exlnx 3设函数f(x)=ax3+3x2+2,若 f(1)=4,试求 a的值 . 4已知抛物线y=ax2+bx+c 通过点 (1,1),且在点 (2,1)处与直线 y=x3 相切 ,求 a、b、c 的值 . 61 导数在研究函数性质中的应用【考点及要求 】熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。【基础知识 】1用导数的符号判别函数增减性的方法：若0)(xf，则函数)(xf为，若0)(xf，则函数)(xf为；2求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数)(xf的；求)(xf，令0)(xf，解此方程， 求出它在定义域外区间内的一切；把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间；确定)(xf在各个小区间内的符号，根据)(xf的判断函数)(xf在每个相应小区间内的增减性；3函数极值的定义： 设函数)(xf在点附近有定义， 如果对附近的所有点，都有)()(0 xfxf（或)()(0 xfxf） ，就说)(0 xf是函数)(xf的一个极值；和统称为极值；4求可导函数)(xf在,ba上的最大或最小值的一般步骤和方法：求函数)(xf在),(ba上的值；将极值与区间端点的函数值)(),(bfaf比较，确定最值。【基础练习 】1若函数)(xf在区间),(ba内是一个可导函数，则)(xf0 是)(xf在区间),(ba内递增的条件2如果函数f(x)=x48x2+c 在1，3上的最小值是14，那么 =3 已 知0a， 函 数axxxf3)(在), 1是 单 调 递 增 函 数 ， 则 的 最 大值 是_4函数223)(abxaxxxf在1x时, 有极值 10, 那么ba,的值为. 5已知 f(x)=ax36ax2+b 在1，2上的最大值为3，最小值为29，则 a=_【典型例题讲练】例 1已知函数daxbxx)x(f23的图象过点P)2 ,0(, 且在点 M)1(f ,1(处的切线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -22O1-1-11方程为07yx6. (1) 求函数)x(fy的解析式 ; (2) 求函数)x(fy的单调区间 . 练习： 1已知函数1)(35bxaxxxf，仅当 x=1 及 x=1 时取得极值，且极大值比极小值大 4，求 a、b 的值。2设522)(23xxxxf（1）求函数 f(x) 的单调递增、递减区间；（2）当 x1，2时， f(x) m 恒成立，求实数m的取值范围。【课堂检测 】1. 函数1x3x)x(f23是减函数的区间为. 2. 函数9x3axx)x(f23, 已知)x(f在3x时取得极值 , 则. 3.函数x6x3x4y23的单调递减区间为, 极大值为 ,极小值为 . 4 已知 : a(ax6x2)x(f23为常数 )在2,2上有最大值是3, 那么2,2在上的最小值是5 (1)函数)x(fy的图象过原点且它的导函数)x(fy的图象是如图所示的一条直线, 则)x(fy的图象的顶点在第象限(2)如果函数bxx)x(f3(为常数 ) 在区间) 1, 0(内单调递增 , 并且0)x(f的根都在区间2, 2内, 那么的范围是 . 6已知函数,ax9x3x)x(f23(1) 求)x(f的单调递减区间; (2) 若)x(f在区间2,2上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值. 62 导数在研究函数性质中的应用(2) 【典型例题讲练 】例 2已知函数axx2)x(f3与cbx)x(g2的图象都过点P)0,2(且在点 P 处有相同的切线 . (1) 求实数c,b,a的值 ; (2) 设函数)x(g)x(f)x(F, 求)x(F的单调区间 , 并指出)x(F在该区间上的单调性.练习：已知f(x) 是三次函数， g(x)是一次函数，且f(x)21g(x)= x3+2x2+3x+7 ，f(x) 在 x=1 处有极值 2，求 f(x)的解析式和单调区间。例 3设 a为实数 ,函数.axxx)x(f23(1) 求)x(f的极值 . (2) 当 a在什么范围内取值时, 曲线x)x(fy与轴仅有一个交点. 练习：已知向量baba)x(f),t ,x1 (),1x,x(2若函数在区间)1 ,1(上是增函数 ,求t 的取值范围 . 【课堂小结 】【课堂检测 】1函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则=2函数32( )31f xxx是减函数的区间为3函数3( )1f xaxx有极值的充要条件是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4已知函数( )yxfx的图象如右图所示（其中( )fx是函数( )f x的导函数），下面四个图象中( )yf x的图象大致是（）5若函数yx 32x 2mx, 当 x31时, 函数取得极大值, 则 m 的值为6. 函数 yxxx63423的单调递减区间为. 【课外作业 】1已知 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) (x+4)(x+5)，则 f(0)=_ 2函数)(xf5224xx在区间,32上的最大值与最小值分别是3. 已知函数y x 22x3 在区间,2a上的最大值为433, 则 a等于4设函数y=f(x) 是一次函数，已知f(0)=1 ，f(1)=3，则该函数的导数f(x)= 5已知函数y=3x3+2x21 在区间 (m，0)上是减函数，则m 的取值范围是_ 6. 已 知1x是 函 数1nxx)1m(3mx)x(f23的 一 个 极 值 点 , 其 中,0m,Rn,m(1) 求 m 与 n 的关系式 ; (2) 求)x(f的单调区间 ; (3) 当 1 , 1x时, 函数)x(fy的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求 m 的取值范围 . 63 导数在实际生活中的应用【考点及要求 】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有： 与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与实际生活有关的最值问题；【典型例题讲练】1与几何有关的最值问题：例 1在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习： 某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？变式 1：表面积为定值S，如何制造，才能使其容积最大？变式 2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2 倍，如何设计尺寸，使总造价最低？变式 3：有一底半径为r（ cm） ，高为 h（cm）的倒立的圆锥容器，若以n(cm3)/s 的速度向容器里注水，求注水t(s)的水面上长的速度。2与物理学有关的最值问题；例 2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx已知甲乙两地相距 100 千米。（1）当汽车以40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -