2022年导数知识点学案 .pdf

切线问题1、求曲线31yfxx在点1,2P处的切线方程 . 2、过原点的直线l与曲线xye相切，求直线l的方程 . 3.过点（ 0,1）的直线 l 与两曲线 y=lnx ，x2=2py 均相切，求p的值。函数单调性和求极值、最值例. 曲线xxyln22的单调减区间是( ) A. 1 ,0(; B.), 1; C. 1 ,(及1 ,0( ; D. )0 ,1及 1 ,0(; 例. 若函数2( )1xafxx在1x处取极值，则a例若1)2( 33)(23xaaxxxf有极值，则a的取值范围是 . 例已知函数3( )128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm. 例. 设函数3( )3(0)f xxaxb a. （）若曲线( )yf x在点(2,( )f x处与直线8y相切，求,a b的值；（）求函数( )fx的单调区间与极值点. （）若1b且( )f x在1x处取得极值 , 直线 y=m与( )yf x的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。思考: 若是有 1 个不同的交点呢? 2 个不同的交点呢? 例. 已知函数12)(23xxxf(1) 求函数( )f x在区间2, 1上的最大值和最小值. (2) 若在区间2, 1上，恒有0)(axf，求a的取值范围 . (3) 若在区间12, 1,2x x上，恒有12()()f xf xa，求a的取值范围 . ( 三) 练习1设( )lnf xxx，若0()2fx，则0 x（）A. 2e B. e C. ln 22D. ln 22已知对任意实数x有()( )fxf x，()( )gxg x，且0 x时，( )0fx，( )0g x则0 x时（）A( )0fx，( )0gx B( )0fx，( )0gxC( )0fx，( )0gx D( )0fx，( )0gx3已知函数 （x) 的图象如右， 则 （ x) 的图象（如下）可能为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - (A) (B) (C) (D) 4设Ra，若函数axeyx，Rx有大于零的极值点，则（）A1a B. 1a C. ea1 D. ea15函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（）（A）(2，23) （B）(，2) （C）(23，25) （D）(2，3) 6函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是( ) A0a B 0a； C0a； D 0a7函数( )lnf xxx的单调递减区间是8. 已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5，其导函数( )yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示 . 求： （）0 x的值；（）, ,a b c的值 .导数中参数范围问题一、课前练习：. 若1)2(33)(23xaaxxxf在R上单调递增，则a的取值范围是. 若1)2(33)(23xaaxxxf有极值，则a的取值范围是二、典型例题例 . 已知32( )39f xxxx在区间( ,21)aa上单调递减，求则a的取值范围例 . 已知321( )53fxxxax，（）若( )f x的单调递减区间是( 3,1)， 求a的取值范围（）若( )f x在区间1,)上单调递增，求a的取值范围小结：若函数( )f x（不含参数）在区间是( , )a b（含参数）上单调递增（递减），则可解出函数( )f x的单调区间是( ,)c d，则( , )( ,)a bc d一个重要结论：设函数( )f x在( , )a b内可导 . 若函数( )fx在( , )a b内单调递增（减） ，则有( )0( )0)fxfx. 方法 1：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数构造函数( )g x（可将有意义的端点改为闭）求( )g x的最值得参数的范围。方法2：如参数不方便分离，而( )fx是二次函数，用根的分布：若( )0fx的两根容易求，则求根，考虑根的位置若( )0fx不确定有根或两根不容易求，一定要考虑和( )fa( )fb有时还要考虑对称轴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 变式 . 若函数32( )31,f xxaxx在0,上单调递增，求a的取值范围 . 例 2若函数3223( )(0)f xxtxt xtt在 2,2上单调递减，求t的取值范围 . 例 3已知函数bxaxxxf233，其中ba,为实数 . 若xf在区间2, 1上为减函数，且ab9，求a的取值范围 . （）aaxxbaxxxf9636322，又xf在2, 1上为减函数，xf0对2, 1x恒成立，即09632aaxx对2, 1x恒成立 . 01f且f02，即17310912120963aaaaaaa，a的取值范围是.1a课后作业：1. 已知函数32( )1f xxaxx，aR设函数( )f x在区间2133，内是减函数，求a的取值范围2. 已知函数322( )3(0)f xxaxa xa，若函数( )f x在区间21，内是增函数，求a的取值范围3. 设函数aaxxaxxf其中,86) 1(32)(23R. （1）若3)(xxf在处取得极值，求常数a的值；（2）若)0 ,()(在xf上为增函数，求a的取值范围 . 4. (1) 求证0 x时，ln1xx (2) 证明不等式：21 20 xxex. 5. 已知函数bxaxxf2)(在1x处取得极值2. (1) 求函数)(xf的表达式； (2) 当m满足什么条件时, 函数)(xf在区间)12,(mm上单调递增？解： 因为222/)()2()()(bxxaxbxaxf, 而函数bxaxxf2)(在1x处取得极值2, 所以2)1 (0) 1(/ff，即2102)1(baaba，解得14ba, 所以214)(xxxf即为所求 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - （2）由（ 1）知222222/)1()1)(1(4) 1(8)1(4)(xxxxxxxf可知，)(xf的单调增区间是1,1, 所以，121121mmmm01m. 所以当1,1(m时，函数)(xf在区间)12,(mm上单调递增 . 导数中的分类讨论问题一、参数引起的分类讨论例：已知函数1) 1(ln)(2xpxpxf, 当0p时，讨论函数)(xf的单调性。例：已知函数( )ln(1)(1)1f xxk x，求函数( )f x的单调区间；二、判别式引起的分类讨论例：已知函数2( )lnf xxxax，()aR，讨论( )f x在定义域上的单调性。三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例：已知函数322( )233f xxaxx= -+，令( )ln(1)3( )g xxfx=+-?，若( )g x在1(,)2上单调递增，求实数a的取值范围 .四、二项系数引起的分类讨论4. 已知函数2( )(1)ln1f xaxax. (1) 讨论函数( )f x的单调性； (2) 设a 2，求证：对任意x1，x2(0 ， ) ，|f(x1) f(x2)| 4|x1x2|. 三、针对性练习 1.已知函数)0(3ln)(aRaaxxaxf且（）求函数)(xf的单调区间；（）当2a时，设函数32)2()(xepxpxh，若在区间, 1e上至少存在一个0 x，使得)()(00 xfxh成立，试求实数p的取值范围 2. 已知函数)(1ln()(2Raxaaxxxf, 求函数)(xf的单调区间；例：已知函数1) 1(ln)(2xpxpxf, 当0p时，讨论函数)(xf的单调性。解：( )f x的定义域为（ 0，+） ，xpxpxpxpxf21212，当1p时，( )fx0，故( )f x在（ 0，+）单调递增；当 0p1 时，令( )fx=0，解得12 ppx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 则当12,0ppx时，( )fx0；,12 ppx时，( )fx0. 故( )f x在12,0pp单调递增，在,12 pp单调递减 . 例：已知函数( )ln(1)(1)1f xxk x，求函数( )f x的单调区间；解:（1）1( ),(1)1fxkxx, 所以 ,0k当时,( )0;fx0k当时,由( )0fx得:11,xk所以 ,0k当时( )1,f x 在上为增函数；0k当时1( )1,1f xk在上为增函数；在11,k上为减函数；二、判别式引起的分类讨论例：已知函数2( )lnf xxxax，()aR，讨论( )f x在定义域上的单调性。解：由已知得22( )21,(0)axxafxxxxx，（1）当180a，18a时，( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上为增函数（2）当180a，18a时，1)108a时，118118022aa，( )f x在118118,22aa上为减函数，( )f x在11811 8(0,)22aa上为增函数， 2）当0a时，11802a，故( )f x在1180,2a上为减函数，( )f x在1182a，）上为增函数综上，当18a时，( )f x在(0,)上为增函数 ; 当)108a时，( )f x在118118,22aa上为减函数，( )f x在11 811 8(0,)22aa上为增函数，当a0 时，( )f x在（0，1182a 上为减函数，( )f x在1182a）上为增函数五、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 例：已知函数322( )233f xxaxx= -+，令( )ln(1)3( )g xxfx=+-?，若( )g x在1(,)2上单调递增，求实数a的取值范围 .解：由已知得22( )ln(1)3( 243)ln(1)24g xxxaxxxax，2144(1)14( )4411xa xag xxaxx，又当1(,)2x时，恒有10 x，设2( )44(1)14h xxa xa，其对称轴为44182aax，(i) 当1122a,即0a时，应有216(1)16(14 )0aa解得 :20a，所以0a时成立，(ii) 当1122a,即0a时，应有1()02h即:114(1)1402aa解得0a，综上： 实数a的取 值范围是0a。六、二项系数引起的分类讨论4. 已知函数2( )(1)ln1f xaxax. (1) 讨论函数( )f x的单调性；(2) 设a 2，求证：对任意x1，x2(0 ， ) ，|f(x1) f(x2)| 4|x1x2|. 解析： (1)f(x) 的定义域为 (0 ， ) ，f(x) a1x2ax2ax2a1x. 当a0 时，f(x) 0，故f(x) 在(0， ) 上单调递增当a 1 时，f(x) 0，故f(x) 在(0， ) 上单调递减当 1a0 时，令f(x) 0，解得xa12a，则当1(0,2axa时，f(x) 0；当1(,)2axa时，( )0fx；故( )f x在1(0,2aa上单调递增，在1(,)2aa上单调递减(2) 不妨设x1x2. 由于a 2，故f(x) 在(0， ) 上单调减少，所以 |f(x1)f(x2)| 4|x1x2| 等价于f(x2) f(x1) 4x14x2，即f(x2) 4x2f(x1) 4x1. 令g(x) f(x) 4x，则g(x) a1x 2ax42ax24xa1x. 于是g(x) 4x24x1x2x12x0. 从而g(x) 在(0 ， ) 上单调减少，故g(x1) g(x2) ，即f(x1) 4x1f(x2) 4x2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 故对任意x1，x2(0， ) ，|f(x1) f(x2)| 4|x1x2|.三、针对性练习 1.已知函数)0(3ln)(aRaaxxaxf且（）求函数)(xf的单调区间；（） 当2a时，设函数32)2()(xepxpxh，若在区间, 1e上至少存在一个0 x，使得)()(00 xfxh成立，试求实数p的取值范围解： （）由xxaxf)1 ()(知：当0a时，函数)(xf的单调增区间是)1 ,0(，单调减区间是), 1(；当0a时，函数)(xf的单调增区间是), 1(，单调减区间是)1 , 0(；（）.32ln2)(,2xxxfa令)()()(xfxhxF，则xxexppxxxxepxpxFln2232ln232)2()(. 1. 当0p时，由, 1ex得0ln22, 0 xxexppx，从而0)(xF, 所以，在, 1 e上不存在0 x使得)()(00 xfxh； 2. 当0p时，022, 1 ,22)(22xeexxepxpxxF,0)(,02xFppx在, 1e上恒成立，故)(xF在, 1e上单调递增。4)()(maxeppeeFxF故只要04eppe，解得142eep综上所述，p的取值范围是),14(2ee。2. 已知函数)(1ln()(2Raxaaxxxf, 求函数)(xf的单调区间；解：1)22(212)( xaxxxaaxxf, 若0a时，则1)22(2)(, 122xaxxxfa0 在（1，）恒成立，所以)(xf的增区间（ 1，）. 若122, 0aa则，故当22, 1(ax，01)22(2)( xaxxxf，当),22ax时，01)22(2)(xaxxxf，所以 a0 时)(xf的减区间为（22, 1a） ，)(xf的增区间为),22a. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -