2022年《两角和与差的余弦》教学设计 .pdf

两角和与差的余弦教学设计（一）教学目标知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质（二）教学重点，难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式难点是两角差的余弦公式的推导与证明（三）学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体（四）教学过程教 学 环节教学内容师生互动设计意图探究提出问题并引入新课师：探究coscos)cos(生：反例：3cos2cos)32cos(6cos问题：cos,cos),cos(的关系？创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动复习复 习 有 关 知识，寻求解决问题的思路复习： 1。余弦的定义在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P,cos等于角与单位圆交点的横坐标终边yxOP 2 能否用向量的方法求角的余弦？师： M 、N是两边上任一点，ONOMONOMcos（显然为了简化计算，取M 、N为两边与单位圆的交点，此时有ONOMcos）通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 公 式 的推导公式的推导证明公式理解和基本掌握。如图构造角，终边与单位圆交于Q, , 终边Q终边yxOP师：指出角与OQOP,关系：生：ZkkOQOP,2,则OQOP,cos)cos(师：写出点P、Q坐标生: )sin,(cos),sin,(cosPQ带领学生推导公式：sinsincoscos)cos(（板书）因为：OQOPOQOPOQOP,cos)cos()sin,(cos)sin,(cosOQOPsinsincoscos1OQOP所以：sinsincoscos)cos(公式记号)(C通过定义的复习，在坐标系中找到差角的几何表示，利用以上的铺垫引导学生试探采用向量方法去解决问题，同时也体会到向量的工具性作用。公 式 的深化对公式进行更深层次的认识思考并讨论：（投影）1） 问题解决的思路与方法2） 体现了 与的任意性吗？对推导过程进行回顾，彻底理清解决问题的思路，体会名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3）探究 cos() 的公式由学生回答上述问题，教师点评：结论如下1）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利之处. 。回归到余弦的定义，数形结合，利用单位圆简化了计算。2）与有任意性， 有ZkkOQOP,2,说一该公式具有一般性。3）把公式C -中的 换成 - ，则有板书：cos- （- ） =cos cos（- ）sin sin （- ） coscos-sin sin ，即cos（ +） =coscos-sin sin （，R） 公式记号)(C师：公式有何特点？如何记忆生：公式的结构和特点：“同名异和差”主要是公式右端中间的“、- ”号与公式左端与间的“- 、”号正好相反用到的数学思想及方法。同时通过对问题的讨论，让学生对公式对有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，进一步培养学生探索的能力。对 公 式 进 行 深 挖掘，显示其“辐射”的作用培养学生的分析、联想能力、优化思维品质。公 式 的应用例 1、利用和、差角余弦公式求0105cos及cos15的值学生练习、板演，教师讲评注意将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值让学生初步掌握公式的应用， 并进一步 熟 悉 公 式 的 特征，为以后灵活应用作铺垫。归 纳 小结从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结公式推导中向量的应用公式的结构特征在三角变换时，本公式应用中，首先应考虑根据题目的条件与结论来进行角的变换使学生对本节知识有一个清晰完整地认识，并点出问题解决的基本思路与方法。布 置 作业教材习题 3.1.1 练习A 1,2,3 练习 B 1 思考题：cos,1411)cos(,71cos求均为锐角，且已知巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，给学有余力的学生留出自由发展的空间.1( ) （一）教学目标 知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值 能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力 情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质（二）教学重点，难点重点是公式的结构特点，会用公式求值难点是公式的逆向和变形运用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - （三）教学方法教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导， 指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习公式coscoscossinsincoscoscossinsin先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角,的余弦函数间的关系，且此关系对任意角,均成立，并且要注意coscoscos是错误的coscoscos以旧引新，注 意 创 设情境，通过设疑，引导学 生 开 展积 极 的 思维活动公式的运用例，已知4cos()5 2，求cos(),cos()66例学生练习，板演，教师讲评注意几个问题：（）特殊角不需要查表，直接求出三角函数值（）再求sin时，要注意角的取值范围，三角函数值的正负（）代入时，从左至右依次代入（）注意coscossinsincos()coscossinsincos()可以象上面这样逆用例 是 使学 生 掌 握公 式 的 正向应用，并进 一 步 熟悉 公 式 的特征，为后面 的 灵 活运 用 奠 定基础名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 变式：已知111coscos()7,14,且,均为锐角，求cos .变式教师讲评注意几个问题：（）将看作一个整体，角由()得到（）应用公式coscos ()cos()cossin()sin（）由002,2得到0，再进一步参考11cos()14 确 定sin()的值变 式 是一 个 典 型例题，在变式 中 注 意配凑公式，对 它 的 解法 深 入 讨论， 有益于启发学生思维，提高学 生 的 解题能力，且在 解 题 过程 中 提 炼思想方法，有 利 于 培养 学 生 良好 的 思 维品质公 式 的运用例利用C证明：cos(21)cosk()kZ例学生练习， 教师讲评注意两个问题：（）方法可以按和差角的余弦公式直接展开，将(21)k看作一个整体角（）方法也可以(21)2kk，再按诱导公式进行运算例要求学生用两种方法来做， 培养学生良好的思维品质名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 公 式 的运用练习，已知sinsin0.4,xycoscos1.2xy求cos()xy练习使用平方法将两个等式平方，然后相加，利用2222sincos1sincos1xxyy只 剩 下cos cossinsinxyxy问 题 得解 思 维 过 程 可 以 逆 向 ，（ 考 虑 由cos()xy入手，寻找cos cos ,sinsinxyxy想到平方）通 过 这 个练习，培养学 生 良 好的 发 现 问题 解 决 问题的能力归 纳 小结从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结对公式做到一掌握，二会想，三会用使 学 生 对所 学 内 容有 一 个 清晰 完 整 的认识，并点出 三 角 公式 的 基 本方法，体现了 授 之以鱼，不如授之以渔 的 教育思想布 置 作业教材练习B 2 ,3 教材 p154 页思考题：1已知 cos()=31求 (sin+sin)2+(cos+cos )2的值。2sinsin=21，coscos =21，(0, 2),(0, 2), 求 cos() 的值巩 固 本 节课 所 学 知识， 培养学生 自 觉 学习的习惯，同 时 给 学有 余 力 的学 生 留 出自 由 发 展的空间名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -