2022年《量子力学》练习题 .pdf

优秀学习资料欢迎下载量子力学练习题一一、基本概念及简答1. 简述2| ( , )|x t的物理意义及其实验基础。2简述迭加原理。若nnnc，nnnfF，nc的物理意义是什么？3三维空间中运动的粒子 , 其波函数的方位角 () 部分=3cos, 求zL?的平均值。4设FF，GGA.若0,F G，是否F的本征态一定是G的本征态，举例说明。B.若0,F G，,GF是否就一定无共同本征态，举例。C.若,iCFG， C 是常数，,GF是否能有共同本征态，证明你的结论。5、判定xpx及xpi是否厄迷算符。6、,0GCF，FF，GG，试问F，G是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，?,B C为厄米算符，?AiBC也为厄米算符的条件是什么？8、能否把,xyz看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？10、 对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。12. 如果?AA，?BB且?,CiA BC，?,A aa aB bb bab和都是束缚态，则?0.a C ab C b13 什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载是什么？14已知?,1，求证1?nnnn15已知 ，?,B C为厄米算符，则?AiBC也为厄米算符的条件是什么？16若一个算符与角动量算符J?的两个分量对易，则其必与J?的另一个分量对易；17. 设22,0,1,0,2xVmxx当当且已知以一维线性谐振子的能量本征值nE，本征函数nx ，及nx 的宇称为1n。试写出能量本征值及本征函数。18,xyJJ 在jjm上的平均值为零，即0jxjjyjjmJjmjmJjm19.(1).全同粒子交换算符,ijklP P是否对易 ?有无共同本征函数 ? (2) . 不考虑粒子间的相互作用。有5 个单粒子态， 4 个全同粒子。下列情况下，体系有多少可能的状态？A.粒子是全同玻色子 ; B. 粒子是全同费米子 ; C. 不考虑粒子的全同性 . 二、解决问题题1、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，若0t时，体系处于123123(,0)()()()xxxxccc态上，式中222()nnmnHa，1,2n，已经归一化，求：（1）0t时，2228/()m aE的几率（2）0t时的波函数( , )x t，能量的可能值与取值几率，证明你的结论（3）粒子处于基态12( )sinxxaa，A求粒子动量分布 (只写出表达式即可 )。B当势阱突然变为 2a时， 求粒子仍处于基态的几率 （只列公式，不必计算）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2、考虑在无限深势阱（ax0）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出这两个态的简并度。3、在zl本征态lmY下，求证：（1） 0 xyll（2） (12)计算2()xl，2()yl4计算2()xl，2()yl设(0)1(0)2*(0)30000cEHEcE（1） 求 H 的准确本征值。（2） 若(0)| |ijcE，,1,2,3i j，求 H 的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。5.（20）设(0)1(0)2*(0)30000cEHEcE (1) （10）求 H 的准确本征值。(2) （10）若(0)|ijcE，,1,2,3i j，求 H 的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。6、设固定于0r的电子处于沿x方向的均匀电磁场B中（不考虑空间运动），电子的内禀磁矩与磁场B作用为,2.2xxeBHceBc初始电子处于2zs态10,0zsx求t时刻电子状态。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载7. (10)求cossinsincosiinee的本征值和本证征函数。8粒子在谐振子势场中运动，在能量表象中，0t时，其状态波函数为010200，13152H求 （1）能量平均值，可能值及相应的几率（2）求t时刻的波函数( )t. 9粒子在位势)(rV的有心力场中作定态运动，证明在任何一具有一定轨道角动量的定态里，粒子的平均位置在原点。 （提示，利用?rr）10*(0)1(0)2HcEcE，(0)(0)12| |cEE求：A H 的准确本征值（10 分）B求H的近似到二级的本征值（用微扰法）11一维无限深的、宽为A1的势阱中含有三个电子，势其它,10,0)(AxxV，在温度)( KT，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量eVE4 .12。问在同样近似下，在阱中若有四个电子时，其平均能量是多少？12、两个算符H?和B?的矩阵形式如下010100001;100010001bBH其中，,b为实常数。 证明算符H?和B?相互对易，进而求出它们共同归一化的本征函数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载13、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，当0t时，粒子处于状态xxxx3212121210 ,其中，xn为粒子的第n个能量本征态。（1）求0t时能量的取值几率；（2）求0t时的波函数tx,；（3）求0t时能量的取值几率。14、在2?J与zJ?的共同本征态JM下，xJ?与yJ?的平均值为零，且当JM时，测量xJ?与yJ?的 不 确 定 性 之 积 为 最 小 。（ 提 示 ： 用 升 降 算 符 ，?(1 ) ()1J MJJ MJMJMJ M）15、 设(0)1(0)2*(0)30000cEHEcE（1）求 H 的准确本征值。（2）若(0)| |ijcE，,1,2,3i j，求 H 的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。16、线谐振子受到一个x方向均匀电场xE0的作用，求其能级。设该线谐振子的质量为m、电荷为q、角频率为。17、求算符xL?在动量表象中的矩阵表示。18、设粒子在宽为a的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态xaxaax2cossin4)(求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。19、耦合谐振子的哈密顿算符为xyyxppHyx2222221?21?名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1. （1）求其零级定态波函数的简并度。（2） 试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。已知,1,111,22mnm nm nnnxm x n。20、对于一维运动，求算符?xpx的本征值和本征函数。21、设氢原子在0t时处于状态),(Y)(21),(Y)(21),(Y)(21)0,(112110311021rRrRrRr求其能量、角动量平方及角动量z分量的取值几率和平均值；写出在0t时体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量z分量的取值几率与平均值。已知氢原子的本征解为, 3 , 2 , 1,12202nnaeEn( , , )( )Y ( , )nlmnlmrR r22、已知算符BA?,?满足AABAAAAA?, 1?,0?2，证明BB?2，并在B表象中写出?B的矩阵表示。23、类氢原子中，电子与核的库仑相互作用能为rZerV)(，当核电荷由eZZe)1(时（衰变） ，相互作用能增加了reH。(a)试用微扰论讨论体系的基态能量的一级修正； (b)计算结果与严格解比较。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载量子力学练习题二一、基本概念及简答1、在一个状态之中某一个量的平均值和它的本征值出现的几率都不随时间发生变化，这样的物理量是否是守恒量？2. 指出下列体系中力学量的完全集合：A. 氢原子 (不考虑电子自旋 )；B. 二维谐振子 C. 自由粒子。3. 什么是束缚态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。4下列波函数()1234,2,2,ixixixxiieeee哪些描述与ixe相同的状态。5计算对易关系 ?,2sinpx。6. 设FF?，GG?，A 若?,0FG，是否F?的本征态一定是G?的本征态，举例说明。B 若?,FGiC，GF?,?是否一定无共同本征态，举例说明。C. 若?,0FGiC，C是常数，GF?,?是否一定无共同本征态？举例说明你的结论。7指出下列使用的Dirac 符号那些是不正确的。为什么？A.)(t B. )(x C.)(t D. ( )rr E. 10 F. ) (xxx8 . 图 a 中的定态波函数对应于图b、c、d 中哪个势函数？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载图 a 图 b 图 c 图 d 9. 下列哪些是定态，哪些不是? A 自由粒子处于11cospx，21,B 氢原子处于2103101324A，3213111()2B10. p和p是否相等？为什么？11 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？；)()(tt；wvu；wFu?。12. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。13 为什么既不能把波理解为粒子的某种实际结构， 即把波包看作粒子，也不把波理解为由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的？14. 设?AA，?BB，?0AB，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。(1)1?()2FABBAi ; (2)?GAB ; (3)?CAiB ; (4)?DAB。15指出下列使用的 Dirac 符号那些是不正确的。为什么？A.)(t; B. )(x; C.)(t; D. ( )rr; E. 10; F. ) (xxx. 16简述态迭加原理。若nnnc， 且nnnfF?， 那么nncc的物理意义是什么？17在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零， 这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载18. 确定dxdi，22dxd，22dxdi哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。19指出下列使用的 Dirac 符号那些是不正确的。为什么？A.)(t; B. )(x; C.)(t; D. ( )rr; E. 10; F. ) (xxx. 20. p和p是否相等？为什么？二、解决问题题1、在0H表象中，,0, 0,)0(3)0(2)0(1EbabEaEH)0(3)0(2)0(2)0(1,EEEEba,. 试用微扰论求能量的二级修正。2、指出下列体系中，能量E、动量（zyxppp,） 、角动量（ZyxLLLL,2） 、宇称哪些是守恒量。A. 一维谐振子； B. 在 Z方向均匀不变电场中的带电粒子；C. 在 Z 方向均匀、但随时间变化的电场中的带电粒子； D. 中心力场中的粒子。3、 质量为m的粒子处于能量为E 的本征态，波函数为2221)(xAxex，问粒子在什么样的位势中运动？4、,YR21,YR21,YR21,112110311021rrrr的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。5、设体系的哈密顿算符为22221?21?21?zyxLILLIH求体系的能量本征值与相应的本征函数。6、设在0H表象中，,)0(2)0(1aEbbaEHaa, 用微扰论求能级修正（到二级近似） 。再严格求解，与微扰论的结果比较。7一个电荷为q、质量为和角频率为的线谐振子， 受到沿x方向恒定弱电场的作用，即xqW?，用微扰法求基态能量，近似到二级修正、波函数到一级修正。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载已知：1111( )( )( )22nnnnnxxxx8求自旋角动量在任意方向n（方向余弦为cos,cos,cos）的投影算符cos?cos?cos?zyxnssss的本征值和相应的本征矢。9氢原子在0t时刻处于状态rrrCr3212131210 ,式中，rn为氢原子的第n个能量本征态。计算归一化常数?C；（1）计算0t时能量的取值及相应的几率与平均值；（3）写出任意时刻t的波函数tr ,，能量的取值及相应的几率与平均值。10作一维运动的粒子，当哈密顿算符为xVpH2?20时，能级是0nE，如果哈密顿算符变成pHH?0（为实参数）， 求变化后的能级nE。（提示，用动量表象求解） 。11、质量为m的粒子处于一维谐振子势场0,2121kkxxV的基态，若弹性系数k突然变成k2，即势场变成22kxxV，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场xV2基态的几率； ( 只列出详细的计算公式即可 ) 12、已知二维谐振子的哈密顿算符为22220212?yxpH，在对其施加微扰xyW?后， 利用微扰论求WHH?0第一激发态能量至一级修正。提示：1,1,2121nmnmnmnnx， 其中，而n为线谐振子的第n个本征矢。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载13、 已知?,1，求证1?nnnn14、一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。15、 质量为m的粒子作一维自由运动， 如果粒子处于kxAx2sin的状态 上，求其动量p ?与动能T?的几率分布及平均值。16、质量为 m的粒子，在阱宽为 a 的一维无限深势阱中运动，若t=0 时，体系处于)()()()0,(332211xcxcxcx态，式中21()2nnnHma，n=1，2，31232221ccc求： （1）t=0 时， E 及22222maE的几率（2）t0 时的波函数),(tx，能量的可能取值及相应几率。（3）若粒子处于基态axasin21，求A粒子的动量分布（只列公式，不必计算）B 当阱宽突然变为2a 时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算） 。17、对于一维运动，求算符?Px的本征值和本征函数，。18、用狄拉客符号导出由F 表象到 G表象的表象的波函数及其算符的变换公式，写出么正变换矩阵。19、在能量表象中，一维谐振子在t 0 时的状态为.2010)0(求（1）能量的可能值及相应几率; （2）能量平均值 ; （3）t 时刻粒子的波函数 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载20、2330322021H，=*1，求：（1）H的近似到2的能量本征值；（2）和近似到 的波函数（用微扰法）21、计算对易关系pL?,?，其中，zyx,。22、质量为m的粒子处于能量为E 的本征态，波函数为2221)(xAxex，问粒子在什么样的位势中运动？23、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。提示：偶极近似的情况下，He x。1111( )( )( )22nnnnnxxxx。24、在能量表象中，一维谐振子在t 0 时的状态为.2010)0(求（1）能量的可能值及相应几率（2）能量平均值（3）t 时刻粒子的波函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -