2022年一元二次方程根的判别式 .pdf

精品资料欢迎下载知识点A要求B要求要求一 元 二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数； 了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围； 会由方程的根求方程中待定系数的值一 元 二次 方 程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开平方得：22424bbacxaa也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、 c 满足条件240bac时才有实数根这里24bac 叫做一元二次方程根的判别式二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a 、b、 c 确定，它的根的情况（ 是否有实数根 ）由24bac 确定设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac 则0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa0方程20(0)axbxca没有实数根若 a，b， c 为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac 是2a的整数倍，则方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有知识点睛中考要求一元二次方程根的判别式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac 判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根） 当240bac时，方程有两个相等的实数根（二重根） ，不能说方程只有一个根当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题一、一元二次方程实数根个数的判定【例 1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：22340 xx；20axbx（0a）【例 2】 不解方程，判别一元二次方程2261xx的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B没有实数根C有两个相等的实数根D无法确定【例 3】 已知 a，b，c 是不全为0 的 3 个实数，那么关于 x 的一元二次方程2222()()0 xabc xabc的根的情况（） A有 2 个负根B有 2 个正根C有 2个异号的实根D无实根【例 4】 已知 a ，b， c 为正数，若二次方程20axbxc有两个实数根，那么方程22220a xb xc的根的情况是（）A有两个不相等的正实数根B有两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根D不一定有实数根【例 5】 若方程2(2)2(1)0mxmxm只有一个实数根，那么方程2(1)220mxmxm（） A没有实数根B有 2 个不同的实数根C有 2 个相等的实数根D实数根的个数不能确定例题精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【例 6】 已知： 方程22250mxmxm没有实数根， 且5m，求证：25220mxmxm有两个实数根【例 7】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240mxmxm无实数根【例 8】 求证：关于x 的一元二次方程2(2)10 xm xm有两个实数根【例 9】 设方程24xax只有 3 个不相等的实数根，求a的取值和相应的3 个根【例 10】已知实数 a 、b、 c 、 r 、p满足2pr，20pcbra，求证：一元二次方程220axbcc必有实根【例 11】已知关于 x 的方程2(1)10nxmx有两个相等的实数根求证：关于y的一元二次方程222440m ymymn必有两个相等的实数根【例 12】已知关于 x 的二次方程2110 xp xq与2220 xp xq，求证：当12122()p pqq时，这两个方程中至少有一个方程有实数【例 13】设 a、b、 c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程220axbxc，220bxcxa，220cxaxb，不可能都有2 个相等的实数根【例 14】当 m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10mxmx有实根【例 15】k为何值时，方程2(1)(23)(3)0kxkxk有实数根【例 16】当 a、b为何值时，方程2222(1)34420 xa xaabb有实根？【例 17】已知0a，bac，判断关于x 的方程20axbxc的根的情况，并给出必要的说明【例 18】如果方程22210mxmxm，只有一个实数根，那么方程21220mxmxm（）A没有实数根B有2个不同的实数根C有2个相等的实数根D实数根的个数不能确定【例 19】若二次方程2220 xpxq有实根，其中p，q为奇数，证明：此方程的两个根都是无理数【例 20】是否存在质数pq，使得关于x 的一元二次方程20pxqxp有有理数根？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载二、一元二次方程中字母参数的确定【例 21】k的何值时？关于x的一元二次方程2450 xxk：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根【例 22】 m 为给定的有理数，k为何值时，方程224 13240 xm xmmk的根为有理数？【例 23】已知方程22(21)10m xmx有实数根，求m 的范围【例 24】关于 x 的方程26860axx有实数根，则整数a的最大值是【例 25】若方程222(1)450 xaxaa有实数根，求：正整数a 【例 26】当 a b、 为何值时，方程2222 134420 xa xaabb有实根？【例 27】k为何值时，方程2(1)(23)(3)0kxkxk有实数根【例 28】已知关于 x 的方程2212102xab xbb有两个相等的实数根，且a 、b为实数，则32ab_【例 29】关于 x 的一元二次方程2(12 )2110k xkx有两个不相等的实数根，求k的取值范围【例 30】如果关于 x 的一元二次方程2690kxx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A1kB0kC10kk且D1k【例 31】关于 x 的方程2210 xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_【例 32】已知关于 x 的一元二次方程210 xmxm有两个不相等的实数根，求m 的取值范围【例 33】若关于x的一元二次方程2210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范是【例 34】如果关于 x 的一元二次方程22(21)10k xkx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【例 35】已知关于 x 的方程222(1)50 xmxm有两个不相等的实数根，化简：2|1|44mmm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【例 36】当 a在什么范围内取值，方程25xxa有且只有两相异实根？【例 37】已知一元二次方程22(42)40 xkxk有两个不相等的实数根则k的最大整数值为【例 38】已知关于 x 的方程22(21)10k xkx有两个不相等的实数根12xx，求k的取值范围；是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值； 如果不存在，请说明理由【例 39】已知关于 x 的方程22()210mm xmx有两个不相等的实数根求 m 的取值范围；若 m 为整数，且3m， a 是上述方程的一个根，求代数式22212334aaa的值【例 40】使得关于 x 的一元二次方程22 (4)60 x kxx无实数根的最小整数k（）A-1 B2 C3 D 4 【例 41】已 知 ： m 、 n 为 整 数 ， 关 于 x 的 二 次 方 程2(7)30 xm xn有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 ，2(4)60 xm xn有两个相等的实数根，2(4)10 xmxn没有实数根，求m 、 n 的值【例 42】若关于 x 的方程220 xpxq和220 xqxp都没有实数根 （p、q是实数），问式子qppq是否总有意义， 说明理由 问pq是否可以是整数，若可以， 当pq为整数时， 求ppqqpqqp的值；若pq不可以为整数，说明理由【例 43】已知24bac 是一元二次方程200axbxca的一个实数根，则ab的取值范围为（）A18ab B18abC14abD14ab三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例 44】三角形两边的长是3和4， 第三边的长是方程212350 xx的根，则该三角形的周长为【例 45】方程29180 xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为【例 46】已知 a，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200 xx，则 a 的值为这样的直角三角形有个【例 47】已知ABC的三边, ,a b c 满足：8bc，21252bcaa，试确定ABC的形状【例 48】如果一直角三角形的三边长分别为a、b、 c ，90B，那么，关于x的方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载22(1)2(1)0a xcxb x的根的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定【例 49】已知 a、b、 c 分别是三角形的三边，则方程220ab xcxab的根的情况是（）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根【例 50】已知：a、b、c分别是ABC的三边长，求证：方程222222()0b xbcaxc没有实数根【例 51】在 等腰ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、 c ，已知3a，b和 c 是关于 x 的方程21202xmxm的两个实数根，求ABC的周长【例 52】已 知 ： a 、b、 c 分 别 是ABC的 三 边 长 ， 当0m时 ， 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程22()()20c xmb xma mx有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形【例 53】关于 x 的一元二次方程204acac xbx有两个相等的实数根，则以a ，b， c 为三边的三角形的形状是 _【例 54】已知 a 、b、 c 是ABC的三边的长，且方程22()()()0 xbc xabca有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状【例 55】已知 a 、b、 c 是ABC的三边，其中1a，4c，且关于 x 的方程240 xxb有两个相等的实数根，试判断ABC的形状【例 56】如果关于 x 的方程0 xaxbxbxcxcxa（其中 a，b， c 均为正数）有两个相等的实数根证明：以a ，b， c 为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征【例57】已知关于方程21(21)4()02xkxk求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；若等腰ABC的一边长为4，另两边长b、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长【例 58】已知关于 x 的方程2(2)20 xkxk求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；若等腰三角形ABC 的一边长1a，另两边长b， c 恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -