2022年一元二次方程专题复习 .pdf

学习必备欢迎下载一元二次方程知识盘点1方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式( a、b、c、为常数， a )。2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为项和项，右边为项；配方，即方程两边都加上的平方；化原方程为2()xmn的形式，如果 n是非负数，即0n，就可以用法求出方程的解。如果 n0，则原方程。（3）公式法 : 方程20(0)axbxca，当24bac_ 0时，x = _ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：将方程的右边化为；将方程的左边化成两个的乘积；令每个因式都等于，得到两个方程；解这两个方程，它们的解就是原方程的解。3.一元二次方程的根的判别式. （1）acb420一元二次方程002acbxax有两个的实数根 , 即2,1xx（2）acb42=0一元二次方程有两个的实数根，即21xx, （3）acb420一元二次方程002acbxax实数根。4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20axbxc(0)a的两根为12,x x，则12xx，12x x提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。考点呈现考点一一元二次方程的基本概念及解法例 1、（2011山东济宁）已知关于x 的方程 x 2bxa0 有一个根是 a(a0) ，则ab 的值为AB0 C1 D2 【分析】 ：依据方程根的定义，把已知根代入原方程从而获得一个关a 方程，利用因式分解法即可求得a的值【解答】 ：把 x= -a 代入原方程得：20aaba(1 )0a aba0, a-b+1=0 1ab【点评】 ：本题是一元二次方程根的定义，解法，及整体思想的综合应用。中考题对基础知识的考查都具有一定的综合性，基础扎实才可灵活应用。例 2、 （2011安徽）一元二次方程x（x2）=2x 的根是（）A1 B2 C1 和 2 D1 和 2 【分析】 ：移项后，用因式分解法解方程。【解答】 ： x（x2）+x2=0 （x2）(x+1)=0 x2=0 或 x+1=0 x1=2 x2= -1 答案 D 【点评】 ：解一元一次方程时， 要注意根据方程的特点， 选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开平方法；若能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。考点二一元二次方程根的判别式例 3、 （2011山东潍坊）关于 x 的方程2210 xkxk的根的情况描述正确的是( )Ak 为任何实数方程都没有实数根B，k 为任何实数方程都有两个不相等的实数根Ck为任何实数方程都有两个相等的实数根D根据 k 的取值不同方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【分析】本题需先求出方程的根的判别式的值，通过配方，将结果与0 作比较，从而得出答案【解答】关于 x 的方程2210 xkxk中名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载=（2k）2-4 （k-1）=4k2-4k+4 =（2k-1）2+30 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题主要考查了根的判别式、配方法，在解题时要能对根的判别式进行整理变形是本题的关键例 4、 （2011重庆江津区）已知关于x 的一元二次方程（ al）x22x+l0 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a2 B、a2 C、a2 且 alD、a2 【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式确定a的取值范围【解答】 ：44（a1）84a0 a2又 a10a2 且 a1 故选 C【点评】 ：只有一元二次方程才具有根的判别式，因此在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于0。对于根的判别式的考查一般有两个命题角度：判别一元二次方程根的情况；求一元二次方程字母系数的取值范围。考点三一元二次方程根与系数的关系例 5、 （2011四川南充）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2。（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值。【分析】 (1)一元二次方程有两个实根的条件是0，二次项系数不等于零(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x22，x1x2k1. 【解答】 ：(1)方程有实数根，224(k1)0，k0，所以 k 的取值范围是 k0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1x22，x1x2k1. x1x2x1x22(k1)由已知，得 2(k1)1，解得 k2. 又由(1)得 k0 ，2k0. k 为整数，k 的值为 1 和 0. 【点评】 ：此题是对根与系数的关系、根的判别式、一元一次不等式等基础知识的综合考查，一元二次方程根与系数的关系常用于求有关两根的代数式的值和求方程中未知系数的值，体现了整体、转化等数学思想，用根与系数的关系求字母的值时，不要忽视0 的前提条件。【对应训练】 （2011四川乐山）已知关于x的方程222(1)740 xaxaa的两根为1x、2x，且满足12123320 x xxx.求242(1)4aaa的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点四列一元二次方程解应用题例 6（2011? 日照）为落实国务院房地产调控政策，使“ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建设力度2010年市政府共投资2 亿元人民币建设了廉租房8 万平方米，预计到 2012 年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到 2012年底共建设了多少万平方米廉租房【分析】 ： （1）设每年市政府投资的增长率为x根据到 2012年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资 单位面积所需钱数可得结果【解答】 ：解： （1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得： 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得： x2+3x1.75=0，解之，得：275.1493xx1=0.5，x2=3.5（舍去）答：每年市政府投资的增长率为50% （2）到 2012 年底共建廉租房面积 =9.5（万平方米）【点评】 ：增（降）率问题应用题是列一元二次方程解应用题中的最基本题型，此类问题关键是掌握增（降）率问题中的一般形式为a（1+x）n=b，其中 n 为增(降)次数， x 是增（降）率 a为基础量， b 为增降后的目标量。列一元二次方程解决实际问题时，要认真审题，依据题中信息，找出等量关系。特别需要注意的是求出方程两根后，一定要检验是否符合题意。【对应训练】 （2011 广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860 元的均价开盘销售(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘价均价购买一套100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80 元，试问哪种方案更优惠？误区点拨一、忽视等式的基本性质，造成失根例1、解方程：2 (1)3(1)x xx. 错解：两边同除以(1)x，得23,1.5xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0. 正解：移项，得2 (1)3(1)0 x xx，所以(23)(1)0 xx，所以121.5,1xx. 二、忽视二次项系数 a0 ，导致字母系数取值范围扩大例2、如果关于 x的一元二次方程22(2)340mxxm有一个解是 0，求m的值错解：将 x0代入方程中，得22(2) 03 040mm，24m，2m. 剖析：由一元二次方程的定义知：20m，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解: 将0 x代入方程中，得22(2) 03 040,2mmm24,2mm. 又因为20m，所以2m. 三、忽视一元二次方程有实根的条件0，导致错解例3、已知：1x、2x是方程22(2)350 xkxkk的两实根，求2212xx的最大值 . 错解：由根与系数的关系得：122xxk，21235x xkk，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19xxxxx xkkkkkk所以当5k时，2212xx有最大值 19. 剖析：当5k时，原方程变为27150 xx，此时 0，方程无实根！错因是忽略了 0这一重要前提，由于方程有两实根，故0，正解：由根与系数的关系得：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载122xxk，21235x xkk，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19xxxxx xkkkkkk又因为方程有实数根， 0，所以22(2)4(35)0kkk解得443k. 所以当4k时，2212xx有最大值 18. 四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解例4、若2222(1)(3)5xyxy,则22xy=_. 错解：22 2222222()2()80(4)(2)0 xyxyxyxy解得22xy=4或22xy=2 剖析：忽视了22xy的非负性，所以应舍去22xy=-2 正解：22xy=4. 五、忽视 “ 方程有实根 ” 的含义，导致字母系数取值范围缩小例5、.已知关于 x的方程22(1)10kxkxk，当k为何值时，方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以0即22(1)4 (1)0kk k，解得13k，又因为0k，所以13k且0k. 剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有两个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论: （1）当k0时，原方程变为一元一次方程-2x=1，其实根为 x=-1/2，故k可取0. （2）当k0 时，原方程为一元二次方程，须满足0，即13k且0k，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载综合（ 1）、（2）知：13k. 六、忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解例6.有一块长 80cm，宽60cm的薄铁片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为 1500cm2 的没有盖子的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。错解：设截去的小正方形的边长为xcm，由题意，得(802 )(602 )1500 xx整理，得2708250 xx解得1255,15xx所以截去的小正方形的边长为55cm或15cm. 剖析：忽略了所截小正方形的边长和长方形盒子的长、宽都应为正数的实际限制条件，即080206020 xxx解得 030 x. 正解：设截去的小正方形的边长为xcm. 由题意，得(802 )(602 )1500 xx. 整理，得2708250 xx解得1255,15xx. 当55x时，8020,6020 xx，不符合题意，应舍去；当15x时，8020,6020 xx，符合题意，所以15x；所以截去的小正方形的边长为15cm. 通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论、整体、转化、等数学思想在解题中的合理运用。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载中 考 体 验一、选择题1下列方程中是关于 x的一元二次方程的是A2210 xxB20axbxcC(1)(2)1xxD223250 xxyy2. 若关于 x的一元二次方程0235) 1(22mmxxm有一根为 0，则m的值等于（）A1 B2 C1或2 D0 3. 关于 x 的一元二次方程240 xxc中，0c， 该方程的解的情况是 : ( ) A没有实数根B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D不能确定4. 已知3是关于 x的方程 x25xc0的一个根， 则这个方程的另一个根是 （）A.2 B. 2 C. 5 D. 6 5.用配方法解方程23610 xx，则方程可变形为（）A21(3)3xB213(1)3x6.设 ab，是方程220090 xx的两个实数根，则22aab的值为（）A2006 B2007 C2008 D2009 7. 方程29180 xx的两根分别是是等腰三角形的底和腰， 则这个三角形的周长为（）A12 B12或15 C15 D不能确定8已知关于 x的一元二次方程 (a1)x22x+1=0有两个不相等的实数根 ,则a的取值范围是 ( ) A.a2 C.a2且a1 D.a2 9.某商品原售价 289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A. 2289 1256xB. 2256 1289xC. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 10. 已知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根 x1，x2满足x1+x2=4和x1?x2=3，那么二次函数 ax2+bx+c（a0）的图象有可能是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A、B、C、D、二、填空11.若1x，2x是方程210 xx的两个根，则2212xx=_12.已知1O和2O的半径分别是一元二次方程120 xx的两根，且122O O，则1O和2O的位置关系是13.已知a、b是一元二次方程 x22x1=0的两个实数根，则代数式（ab）（ab2）ab的值等于 _. 14. 设关于 x 的方程03)1(222kxkx的两根 x1、x2满足42)(21221xxxx，则 k 的值是. . 15 .如右图，已知线段 AB的长为a，以AB为边在 AB 的下方作正方形 ACDB取AB边上一点 E，以AE为边在AB的上方作正方形 AENM 过E作EF丄CD，垂足为 F点若正方形 AENM 与四边形 EFDB的面积相等，则AE的长为三、解答题16. 解方程（1）x24x1=0 （2）2(34)34xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载17、已知关于x的方程x22（k1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.（1）求k的取值范围；（2）若12121xxx x，求k的值. 18.已知双曲线xy3和直线2kxy相交于点 A（1x，1y）和点 B（2x，2y），且102221xx,求k 的值. 19. 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为 15万辆，而截止到 2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。求2008年底至 2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到 2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计， 该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同， 请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。20.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且65x时，55y；75x时，45y（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价x之间的关系式； 销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -