2022年2021年高考理科数学全国2卷2 .pdf

12B-SX-0000020- 1 - - 2 -学校：_年_班姓名：_学号：_-密封线-密封线-绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国 II 卷本试卷共 23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟(适用地区：内蒙古/黑龙江 /辽宁/吉林 /重庆 /陕西 /甘肃 /宁夏/青海 /新疆 /西藏 /海南 )注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合A= x|x2-5x+60 ，B= x|x-1b，则Aln(a- b)0 B3a0 Da b7设 ，为两个平面，则 的充要条件是A内有无数条直线与 平行B内有两条相交直线与平行C ， 平行于同一条直线D ，垂直于同一平面8若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则p= 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 3 - - 4 -A2 B3 C4 D8 9下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是Af(x)= cos 2 x Bf(x)= sin 2 x Cf(x)=cos x Df(x)= sinx10已知 (0，2)，2sin 2 =cos 2 +1，则 sin = A15B55C33D25511设 F 为双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于 P， Q 两点 .若PQOF，则 C 的离心率为A2B3C2 D512设函数()fx的定义域为R，满足(1)2 ( )f xf x ，且当(0,1x时，( )(1)f xx x.若对任意(,xm ，都有8( )9fx，则 m的取值范围是A9,4B7,3C5,2D8,3二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_. 14已知( )fx是奇函数，且当0 x时，( )eaxf x.若(ln 2)8f，则a_. 15ABC的内角,A B C 的对边分别为, ,a b c.若6,2 ,3bac B， 则ABC的面积为 _. 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ” （图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.（本题第一空2分，第二空3分.）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 5 - - 6 -三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1上，BEEC1. （ 1）证明： BE平面 EB1C1；（ 2）若 AE=A1E，求二面角B EC C1的正弦值 . 18（ 12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束 . （ 1）求 P（X=2）；（ 2）求事件 “ X=4 且甲获胜 ” 的概率 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 7 - - 8 -19（ 12 分）已知数列 an和 bn满足 a1=1，b1=0，1434nnnaab，1434nnnbba. （ 1）证明： an+bn是等比数列，an bn 是等差数列；（ 2）求 an和bn的通项公式 . 20（ 12 分）已知函数11lnxfxxx. （1）讨论 f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线exy的切线 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 9 - - 10 -21（ 12 分）已知点 A(- 2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线AM 与 BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C. （1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交C 于点 G. （i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值 . （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中， O 为极点， 点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线 l 过点(4, 0)A且与OM垂直，垂足为P. （1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23选修 4-5：不等式选讲 （10 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 11 - - 12 -已知()|2 | ().fxxaxxxa（ 1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（ 2）若(,1x时，()0fx，求a的取值范围 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 13 - - 14 -2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国 II 卷 参考答案1A 2C 3C 4 D 5A 6C 7B 8D 9 A 10B 11A 12B 130.98 14 3 15631626；2117解：（ 1）由已知得，11BC平面1 1ABB A，BE平面1 1ABBA，故11BCBE又1BEEC，所以BE平面1 1EBC（ 2）由（ 1）知190BEB由题设知1 1RtRtABEABE，所以45AEB，故AEAB，12AAAB以D为坐标原点，DAuuu r的方向为 x轴正方向，|DAuuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 C （0，1，0），B （1，1，0），1C（0，1，2），E （1，0，1），(1, 1,1)CEuuur，1(0,0,2)CCuuu u r设平面 EBC的法向量为 n=（x，y， x），则0,0,CBCEuuu rnn即0,0,xxyz所以可取 n=(0,1,1). 设平面1ECC的法向量为 m=（x，y，z），则10,0,CCCEuuu rmm即20,0.zxyz所以可取 m=（1， 1，0）于是1cos,|2n mn mn m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 15 - - 16 -所以，二面角1B EC C的正弦值为3218解：（1）X=2就是 10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分， 或者均由乙得分因此P（X=2）=0.5 0.4+（1 0.5） （1 04）=05（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5 （1 0.4）+（1 0.5） 0.4 0.5 0.4=0.119解：（ 1）由题设得114()2()nnnnabab，即111()2nnnnabab又因为 a1+b1=l，所以nnab是首项为 1，公比为12的等比数列由题设得114()4() 8nnnnabab，即112nnnnabab又因为 a1 b1=l，所以nnab是首项为 1，公差为 2的等差数列（ 2）由（ 1）知，112nnnab，21nnabn所以111()()222nnnnnnaababn，111()()222nnnnnnbababn20解：（ 1） f（x）的定义域为（0，1），（ 1，+）单调递增因为 f（ e）=e110e1，22222e1e3(e )20e1e1f，所以 f（ x）在（ 1，+）有唯一零点x1，即 f（x1）=0又1101x，1111111()ln()01xfxf xxx，故 f（x）在（ 0，1）有唯一零点11x综上，f（x）有且仅有两个零点（ 2）因为0ln01exx，故点 B（ lnx0，01x）在曲线y=ex上由题设知0()0f x，即0001ln1xxx，故直线 AB 的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx曲线 y=ex在点001( ln,)Bxx处切线的斜率是01x，曲线lnyx 在点00( ,ln)A xx处切线的斜率也是01x，所以曲线lnyx 在点00(,ln)A xx处的切线也是曲线y=ex的切线21解：（ 1）由题设得1222yyxx，化简得221(| | 2)42xyx，所以 C为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点（ 2）（ i）设直线PQ 的斜率为 k，则其方程为(0)ykx k名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 17 - - 18 -由22142ykxxy得221 2xk记221 2uk，则( ,),(,),(,0)P u ukQuukE u于是直线QG的斜率为2k，方程为()2kyxu由22(),2142kyxuxy得22222(2)280k xuk x k u设(,)GGG x y，则u和Gx是方程的解，故22(32)2Gukxk，由此得322Gukyk从而直线PG的斜率为322212(32)2ukukkukkuk所以PQPG，即PQG是直角三角形（ ii）由（ i）得2| 21PQuk，2221|2uk kPGk，所以 PQG 的面积222218()18 (1)|12(12)(2)12()kkkkSPQ PGkkkk设t=k+1k，则由k0得t2，当且仅当k=1时取等号因为2812tSt在2， +） 单调递减， 所以当 t=2， 即 k=1 时，S取得最大值，最大值为169因此， PQG 面积的最大值为16922解：（ 1）因为00,M在 C上，当03时，04sin233. 由已知得| |cos23OPOA. 设(,)Q为l上除 P的任意一点 .在RtOPQ中cos| 23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上 . 所以， l的极坐标方程为cos23. （ 2 ） 设( ,)P， 在RtOAP中 ，| | cos4cos,OPOA即4cos. 因为 P在线段 OM上，且APOM，故的取值范围是,4 2. 所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos ,4 2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000020- 19 - - 20 -23解：（1）当 a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx.当1x时，2( )2(1)0f xx；当1x时，( )0f x.所以，不等式( )0f x的解集为(,1).（ 2）因为( )=0fa，所以1a.当1a，(,1)x时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xxxaaxx所以，a的取值范围是1,).名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -