2022年上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题 .pdf

HGDCABEFABCDE上海市 2015 年重点中学自主招生数学模拟试题答题时注意 : 1、试卷满分150 分;考试时间： 120 分钟 . 2、试卷共三大题，计1道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。一、 选择题 （共 5 小题， 每题 6 分， 共 30 分. 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）1、 如果关于x 的方程2230 xaxa至少有一个正根， 则实数 a 的取值范围是 （）A、22aB、23aC、23aD、23a2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边BCAB、的中点，DFBD、分别交CE于 点HG、， 若 正 方 形ABCD的 面 积 是240， 则 四 边 形BFHG的 面 积 等于（）A、 26 B、28C、 24 D、30 3 、设zyx、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(zxxyxzxxyx，则代数式xyzzyx3333的值是（）A、 0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的A，已知：30,53cos,10BCEBCDBC，则线段DE的长是（）A、89B、73C、 4+33D、 3+435、某学校共有3125 名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）A、 296 B、221 C、225 D、641 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 二、填空题：（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）6、已知：实常数dcba、同时满足下列两个等式：0cossincba；0sincosdba（其中为任意锐角） ，则dcba、之间的关系式是：。7、函数4433221xxxxy的最小值是。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是。9、已知：253x，则2可用含x的有理系数三次多项式来表示为：2= 。10、设 p、q、r 为素数，则方程2223rqpp的所有可能的解p、q、r组成的三元数组 ( p, q, r ) 是。三、解答题（共6 题，共 90 分）11、 （本题满分12 分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告. 报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26abcz， ， ，个字母（不论大小写）依次用1 2 326， ， ，这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(132126( 12xxxxy； 已知对于任意的实数x，记号 x表示不超过x的最大整数；将英文字母转化成密码，如17132188，即qh变成，再如6121111，即fk变成。他们给出下列一组密码：etwcvcjwejncjwwcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12、 （本题满分15 分）如果有理数m可以表示成22562yxyx（其中yx、是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。个“世博数”ba、之积也是“世博数”吗？为什么？证明：两个“世博数”ba、（0b）之商也是“世博数” 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - GABCDEH13、 （本题满分15 分）如图，在四边形ABCD中，已知ABC、BCD、ACD的面积之比是314，点E在边AD上，CE交BD于G，设kEADEGDBG。求32207k的值；若点H分线段BE成2HEBH的两段， 且2222pDHBHAH，试用含p的代数式表示ABD三边长的平方和。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 14、 （本题满分16 分）观察下列各个等式：,304321 ,14321 ,521 , 112222222222。你能从中推导出计算222224321n的公式吗？请写出你的推导过程；请你用中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线322xxy与x、y轴的正半轴分别交于点BA、，将线段OAn等分，分点从左到右依次为1654321nAAAAAAA、，分别过这1n个点作x轴的垂线依次交抛物线于点1654321nBBBBBBB、，设1OBA、211ABA、 322ABA、 433ABA、 、 ABAnn11的 面 积 依 次 为nSSSSS、4321。当2010n时，求123452010SSSSSS的值；试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - ABJKLMNOPQRSWXYZC15、 （本题满分16 分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、4 的直角三角形ABC；腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL；腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN；两对角线和一边长都是4 且另三边长相等的凸四边形PQRS；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7 的铁圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作” ；否则，便称为“不可操作” 。证明：第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - IADCBEF16、 （本题满分16 分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：I是ABC的BC边上的旁切圆，FE、分别是切点，ICAD于点D。试探究：FED、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。设,6,5 BCACAB如果DIE和AEF的面积之比等于m，nEFDE，试作出分别以mnnm、为两根且二次项系数为6 的一个一元二次方程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - HGDCABEFABCDE2015年重点中学自主招生数学模拟试题参考答案与评分标准一、 选择题 （共 5 小题， 每题 6 分， 共 30 分. 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）1、 如果关于x 的方程2230 xaxa至少有一个正根， 则实数 a 的取值范围是 （C ）A、22aB、23aC、23aD、23a2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边BCAB、的中点，DFBD、分别交CE于 点HG、， 若 正 方 形ABCD的 面 积 是240， 则 四 边 形BFHG的 面 积 等于（B）A、 26 B、28C、 24 D、30 3 、设zyx、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(zxxyxzxxyx，则代数式xyzzyx3333的值是（A ）A、 0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的A，已知：30,53cos,10BCEBCDBC，则线段DE的长是（D ）A、89B、73C、 4+33D、 3+435、某学校共有3125 名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（B ）A、 296 B、221 C、225 D、641 二、填空题：（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分。不设中间分）6、已知：实常数dcba、同时满足下列两个等式：0cossincba；0sincosdba（其中为任意锐角） ，则dcba、之间的关系式是：2222dcba。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7、函数4433221xxxxy的最小值是8 。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84。9、已知：253x，则2可用含x的有理系数三次多项式来表示为：2= xx611613。10、设 p、q、r 为素数，则方程2223rqpp的所有可能的解p、q、r组成的三元数组 ( p, q, r ) 是)3 ,3 ,3(。三、解答题（共6 题，共 90 分。学生若有其它解法，也按标准给分）11、 （本题满分12 分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26abcz， ， ，个字母（不论大小写）依次用1 2 326， ， ，这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(132126( 12xxxxy； 已知对于任意的实数x，记号 x表示不超过x的最大整数。将英文字母转化成密码，如17132188，即qh变成，再如6121111，即fk变成。他们给出下列一组密码：etwcvcjwejncjwwcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。略解：由题意，密码etwcvcjw对应的英语单词是interest,ej对应的英语单词是is,ncjw对名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 应的英语单词是best,wcabqcv对应的英语单词是teacher. (9 分) 所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。（3 分）12、 （本题满分15 分）如果有理数m可以表示成22562yxyx（其中yx、是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。个“世博数”ba、之积也是“世博数”吗？为什么？证明：两个“世博数”ba、（0b）之商也是“世博数” 。略解：m22562yxyx=22)()2(yxyx，其中yx、是有理数，“世博数”22qpm（其中qp、是任意有理数） ，只须yxqyxp,2即可。（ 3分）对于任意的两个两个“世博数”ba、，不妨设,2222srbkja其中 j、k、r、 s 为任意给定的有理数，（3 分）则222222)()()(krjsksjrsrkjab是“世博数” ； （3 分）2222222222222222)()()(3()()(srkrjsksjrsrsrkjsrkjba分）=222222)()(srkrjssrksjr也是“世博数” 。（3 分）13、 （本题满分15 分）如图，在四边形ABCD中，已知ABC、BCD、ACD的面积之比是314，点E在边AD上，CE交BD于G，设kEADEGDBG。求32207k的值；若点H分线段BE成2HEBH的两段， 且2222pDHBHAH，试用含p的代数式表示ABD三边长的平方和。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 略 解 ： 不 妨 设 ABC、 BCD、ACD的面积分别为3、1、4，kEADEGDBG，ABD的面积是6，BDE的面积是16kk，CDG的面积是11k， CDE的面积为14kk，DEG的面积是2)1(6kk。（3 分）由此可得：11k+2)1(6kk=14kk，即01342kk，1k（3分）32207k=3 （1 分）由知：GE、分别为BDAD、的中点，又点H分线段BE成2HEBH的两段，点H是ABD的重心。（2 分）而当延长BE到K，使得EKBE，连结DKAK、后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：22224)(2BEADBDAB，类似地有222222224)(24)(2AGBDADABDMABADBD，其中点M为边AB的中点。)(4)(3222222AGDMBEADBDAB。（3 分）DMDHBEBHAGAH32,32,32，2222pDHBHAH，222249pAGDMBE，22223pADBDAB。 （3 分）14、 （本题满分16 分）观察下列各个等式：,304321 ,14321 ,521 , 112222222222。你能从中推导出计算222224321n的公式吗？请写出你的推导过程；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 请你用中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线322xxy与x、y轴的正半轴分别交于点BA、，将线段OAn 等分， 分点从左到右依次为1654321nAAAAAAA、， 分别过这1n个点作x轴的垂线依次交抛物线于点1654321nBBBBBBB、，设1OBA、211ABA、 322ABA、 433ABA、 、 ABAnn11的 面 积 依 次 为nSSSSS、4321。当2010n时，求123452010SSSSSS的值；试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？略解： 133) 1(233nnnn，当式中的n从 1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：（2 分）, 1333323, 1232312 , 1330123323333133) 1(233nnnn，将这n个等式的左右两边分别相加得：nnnn)321 (3)321(322223（2 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 即222224321n=6)12)(1(3)321 (33nnnnnn。 （3 分）先求得BA、两点的坐标分别为)3,0()0, 3(、， 点1654321nAAAAAAA、的横坐标分别为nnnnn) 1(3963、，点1654321nBBBBBBB、的纵坐标分别为3)1(32)1(33)6(2)6(3)3(2)3(222nnnnnnnn、。（3 分）322232332212)1(3)(29,2)124(9,2)32(9,29nnnnnSnnnSnnnSnSn3222233212) 1(321 3) 1321 (2 9nnnnnSSSSn=22334) 12(926)12)(1(32) 1(2 9nnnnnnnnnnn。（3 分）当2010n时，200854321SSSSSS=229(220102009)727398811616040042010；2223214949294)12(9nnnnnSSSSn当n取到无穷无尽时，上式的值等于29，即所有三角形的面积和等于29。 （ 3 分）15、 （本题满分16 分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、4 的直角三角形ABC；腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL；腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN；两对角线和一边长都是4 且另三边长相等的凸四边形PQRS；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、 2.7 的铁圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作” ；否则，便称为“不可操作” 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 证明：第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。略解： 由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形， （2 分）不妨设RSPSPQQRPRQS,4=x，分别过点QS、作RSQR、的垂线，垂足为FI、，则由QRFRSI得到QRRSRFRI，即4224xxx，解得252x。5210)24(2222xxIRRSSI2.4, 第种塑料板“可操作”。（5 分）如上图所示， 分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、 等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，易求得：AH=2.4, MG=2.5. (2 分) 又由可得等腰梯形PQRS的锐角底角是72，JKLPQR，KE=SI. 而黄金矩形WXYZ的宽等于25221542.4，（4 分）第三种塑料板“可操作”；而第两种塑料板“不可操作” 。从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率107P。 （3 分）16、 （本题满分16 分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：I是ABC的BC边上的旁切圆，FE、分别是切点，ICAD于名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 点D。试探究：FED、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。设,6,5 BCACAB如果DIE和AEF的面积之比等于m，nEFDE，试作出分别以mnnm、为两根且二次项系数为6 的一个一元二次方程。略解： 结论：FED、三点是同在一条直线上。（1 分）证明：分别延长BCAD、交于点K，由旁切圆的定义及题中已知条件得：DKAD，CKAC，再由切线长定理得：BFBEAFCEAC,， （3 分）AFKE。1EKBEFBAFDAKD，由梅涅劳斯定理的逆定理可证FED、三点共线。（ 3 分）,6,5 BCACABIEA、三点共线，4,3 AEBECE，连结IF，则ABEAIF，ADICEI，DIFA、四点共圆。（2 分）设I的半径为r，则：, 6,843rr,63,10IDADAI即52AD，54ID， 由 AEF DEI得 ：52,25854,45)854(2DEAEDEm，5512,25EFEFIE，65n。（4 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1613mnnmmnnm，因此，由韦达定理可知：分别以mnnm、为两根且二次项系数为6 的一个一元二次方程是061362xx。（3 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -