2022年一轮复习任意角弧度制及任意角的三角函数 .pdf

学习必备欢迎下载第 1 讲任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念； 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S | k 360 ，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角 的弧度数公式| |lr(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算1 180rad；1 rad180弧长公式弧长 l| |r扇形面积公式S12lr12| |r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos yx叫做 的正切，记作tan 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载各象限符号三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线诊 断 自 测1判断正误 (在括号内打“”或“”)精彩 PPT展示(1)小于 90 的角是锐角 () (2)锐角是第一象限角，反之亦然() (3)将表的分针拨快5 分钟，则分针转过的角度是30 .() (4)若 0，2，则 tan sin .() (5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等() 2下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是() A2k 45 (kZ)Bk 360 94(kZ) Ck 360 315 (kZ)Dk 54(kZ) 解析与94的终边相同的角可以写成2k 94(k Z)， 但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确答案C 3(2014 新课标全国卷 )若 tan 0，则() Asin 2 0Bcos 0 Csin 0Dcos 2 0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析由 tan 0 可得 的终边在第一象限或第三象限， 此时 sin 与 cos 同号，故 sin 2 2sin cos 0，故选 A答案A 4(2014 大纲全国卷 )已知角 的终边经过点 (4,3)，则 cos () A45B35C35D45解析由三角函数的定义知cos 4423245. 故选 D答案D 5(人教 A 必修 4P10A6 改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 _弧度答案3考点一象限角与三角函数值的符号【例 1】 (1)若角 是第二象限角，则2是() A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是() A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析(1) 是第二象限角，深度思考象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角2的判断结论为：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载22k 2k ，k Z，4k 22k ，k Z. 当 k为偶数时，2是第一象限角；当 k为奇数时，2是第三象限角(2)由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，从而 为第二或第三象限的角，由cos tan 0，可知 cos ，tan 异号从而 为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案(1)C(2)C 规律方法(1)已知 所在的象限，求n或 n (n N*)所在的象限的方法是：将 的范围用不等式 (含有 k)表示，然后两边同除以n 或乘以 n，再对 k 进行讨论，得到n或 n (n N*)所在的象限 (2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k 360 (0 360 ，k Z)的形式，即找出与此角终边相同的角 ，再由角 终边所在的象限来判断此角是第几象限角 (3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据 “同号得正，异号得负 ”求解【训练 1】 (1)设 是第三象限角，且cos 2cos 2，则2是() A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)sin 2cos 3 tan 4的值() A小于 0B大于 0C等于 0D不存在解析(1)由 是第三象限角，知2为第二或第四象限角，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载cos 2cos 2， cos 20，综上知2为第二象限角(2) sin 20，cos 30，tan 40， sin 2 cos 3 tan 40. 答案(1)B(2)A 考点二三角函数的定义【例 2】 已知角 的终边经过点 P(3，m)(m0)且 sin 24m，试判断角 所在的象限，并求cos 和 tan 的值解由题意得， r3m2，sin m3m224m. m0，m 5.故角 是第二或第三象限角当 m5时，r2 2，点 P 的坐标为 (3，5)，cos xr32 264，tan yx53153. 当 m5时，r2 2，点 P 的坐标为 (3，5)cos xr32 264，tan yx53153. 综上可知， cos 64，tan 153或 cos 64，tan 153. 规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标 y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同 )【训练 2】 已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值解角 的终边在直线 3x4y0 上，在角 的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载rx2y24t2 3t25|t|，当 t0 时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34；当 t0)，所在圆的半径为R. (1)若 60 ，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)， 当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为 l，弓形面积为 S弓，则 60 3，R10，l310103(cm)，S弓S扇S121031012102sin 3503 50 3250332(cm2)(2)扇形周长 C2Rl2RR ，RC2，S扇12 R212 C22C22 144 2C2214 4C216. 当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值C216. 规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时， 可用的公式有角度表示和弧度表名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式：l| |R，S12| |R212lR. 【训练 3】 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为 _ cm 和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_ cm2. 解析设扇形圆心角为 ，半径为 r，则2r| |r4， | |4r2. S扇形12| | r22rr2(r1)21，当r1 时，(S扇形)max1，此时| |2. 答案121 微型专题三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义， 考生在平时的备考中总认为它是概念性内容， 事实并不然， 其应用十分广泛， 除了用来比较三角函数值的大小， 解三角不等式外， 还是数形结合的有效工具， 借助它不但可以准确画出三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质【例 4】 函数 ylg(2sin x1)12cos x的定义域为 _. 点拨依据题意列出不等式组， 通过画图作出三角函数线， 找到边界角， 从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可解析要使原函数有意义，必须有：2sin x10，12cos x0，即sin x12，cos x12.如图 ， 在 单 位 圆 中 作出 相 应 三 角 函 数 线 ， 由 图 可 知 ， 原函 数 的 定 义 域 为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2k 3，2k 56(k Z)答案2k 3，2k 56(kZ) 点评利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握0 到 2范围内的特殊角的三角函数值，注意边界角的取舍， 一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在思想方法 1任意角的三角函数值仅与角 的终边位置有关，而与角 终边上点 P 的位置无关若角已经给出，则无论点P 选择在 终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的如有可能则取终边与单位圆的交点其中|OP|r 一定是正值2三角函数符号是重点， 也是难点， 在理解的基础上可借助口诀： 一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范 1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90 的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一、选择题1若 sin 0 且 tan 0，则 是() A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析 sin 0，则 的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan 0， 在第一象限或第三象限，故在第三象限答案C 2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 (0，)的弧度数为 () A3B2C3D2 解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r r， 3. 答案C 3已知点 P sin 34，cos 34落在角 的终边上，且 0,2 )，则 的值为() A4B34C54D74解析由 sin 340，cos 340 知角 是第四象限的角， tan cos 34sin 341， 0,2 )， 74. 答案D 4若 是第三象限角，则下列各式中不成立的是() Asin cos 0Btan sin 0 Ccos tan 0Dtan sin 0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析 是第三象限角， sin 0，cos 0，tan 0，则可排除 A，C，D，故选 B答案B 5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若 sin sin ，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是 () A1B2 C3D4 解析由于第一象限角370 不小于第二象限角100 ，故错；当三角形的内角为 90 时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于 sin 6sin 56，但6与56的终边不相同，故错；当cos 1， 时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确答案A 二、填空题6已知 是第二象限的角，则180 是第_象限的角解析由 是第二象限的角可得90 k 360 180 k 360 (k Z)，则180 (180 k 360 )180 180 (90 k 360 )，即 k 360 180 90 k 360 (k Z)，所以 180 是第一象限的角答案一7已知角 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析因为 sin y42y22 55，所以 y0，且 y264，所以 y8. 答案8 8函数 y2cos x1的定义域为 _. 解析 2cos x10， cos x12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围 (如图阴影所示 ) x2k 3，2k 3(k Z)答案2k 3，2k 3(kZ) 三、解答题9已知角 的终边上有一点的坐标是P(3a,4a)，其中 a0，求 sin ，cos ，tan . 解r3a2 4a25|a|. 当 a0 时，r5a，sin yr4a5a45，cos xr3a5a35，tan yx4a3a43；当 a0 时，r5a，sin 45，cos 35，tan 43. 10一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB解设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载则12lr1，l2r4，解得r1，l2.圆心角 lr2 弧度如图，过 O 作 OHAB 于 H，则 AOH1 弧度AH1 sin 1sin 1 (cm)，AB2sin 1 (cm)能力提升题组(建议用时： 25 分钟) 11已知角 的终边经过点 (3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数a 的取值范围是 () A(2,3B(2,3) C2,3)D2,3 解析由 cos 0，sin 0 可知，角 的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有3a90，a20，解得 2a3. 答案A 12已知圆 O：x2y24 与 y 轴正半轴的交点为M，点 M 沿圆 O 顺时针运动2弧长到达点 N，以 ON 为终边的角记为 ，则 tan () A1B1C2D2 解析圆的半径为2，2的弧长对应的圆心角为4，故以 ON 为终边的角为 2k 4，k Z ，故 tan 1. 答案B 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载13如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P的位置在 (0,0)， 圆在 x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于 (2,1)时，OP的坐标为 _. 解析如图，作 CQ x 轴，PQ CQ, Q为垂足根据题意得劣弧DP 2，故 DCP2，则在PCQ 中， PCQ22，|CQ|cos 22sin 2，|PQ|sin 22cos 2，所以 P点的横坐标为 2|CQ|2sin 2， P点的纵坐标为 1|PQ|1cos 2，所以 P 点的坐标为 (2sin 2,1cos 2)，故OP(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2) 14已知 sin 0，tan 0. (1)求 角的集合；(2)求2终边所在的象限；(3)试判断 tan 2sin 2cos2的符号解(1)由 sin 0，知 的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由 tan 0，知 在第一、三象限，故 角在第三象限，其集合为 2k1 2k 32，kZ . (2)由(2k1) 2k 32，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载得 k 22k 34，kZ，故2终边在第二、四象限(3)当2在第二象限时， tan 20，sin 20，cos 20，所以 tan 2sin 2cos 2取正号；当2在第四象限时， tan 20，sin 20，cos 20，所以 tan 2sin 2cos 2也取正号因此， tan 2sin 2cos 2取正号 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -