2022年一元二次方程全章讲义 .pdf

精品资料欢迎下载一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，? 经过整理， ? 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式（其中 ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项 ）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）【例题精讲】: 例 1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是。k2x + 5k + 6 = 0 ；2x243x 21= 0 ； 3x2 + x12 = 0 ；3x2 + 2x2 = 0 ；（ 3x）2 = 1；（ 2x 1）2 = （x1） （4x + 3 ） 。例 2、若关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程，求m的值。例 3、关于 x 的方程 x（3x3） 2x（x1） 2 = 0 ，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。例 4、关于 x 的一元二次方程（a1）x2x + a21 = 0的一根是0，则 a 的值为（） A、1 B、 1 C、1 或 1 D、21。【夯实基础练】 ：一） 、填空题：1、方程（ x 4）2 = 3x + 12的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。2、 （11 滨州）若x=2 是关于 x 的方程2250 xxa的一个根，则a 的值为 _. 3、已知关于x 的方程5)3(1xmmxm是一元二次方程，则m2 = 。4、（ 2012 惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0 的一个根为0，则 a= 5、 已知关于 x 的方程 ax2+ bx + c = 0 （a0） 的两根为 1 和 1， 则 a + b + c= ， ab + c = 。6、关于 x 的方程（k21） x2+ 2 （k1）x + 2k + 2 =0，当 k 时，为一元二次方程； 当 k = 时，为一元一次方程。二） 、选择题：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）A、01232xx B、531212x C、011.02xx D 、)2)(1(2xxxx2、方程53)3)(3()12( 32xxxx化为一般形式后，a、b、c 的值分别为（） A、a = 5 ，b = 3 ，c = 5 B、a = 5 ，b = 3，c = 5 C、a = 7 ，b = 3，c = 5 D、a =8 ， b = 6 ， c = 1 三） 、解答题：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 1 、已知关于x 的方程（ m21）x2 + （m + 1 ）x + 1 = 0 （1）当 m为何值时，此方程为一元二次方程？（2）当 m 为何值时，此方程为一元一次方程？2、关于 x 的方程（ m + 2 ）2x2 + 3m2x + m24 = 0有一根为0，求 2m24m + 3 的值。3、已知 x = 2 是方程 x2mx + 2 =0的一个根，试化简226912mmmm。【能力提高练】 ：1、试证明关于x 的方程（ m28m + 17 ）x2 +2m +1 =0 ，不论 m为何值，该方程都是一元二次方程。2、已知 x2 +3x +1的值为 5，则代数式2x2 +6x2 的值为多少？3、设ba,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)(2222baba，求这个直角三角形的斜边长。4、若yx则yx324,0352的值是多少？一元二次方程的解法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【知识点】：1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程2、直接开平方法：如果方程能化成2xp或2()(0)mxnp p的形式，那么直接开平方可得xp或mxnp3、配方法：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。4、公式法：公式aacbbx242（042acb）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；5、 利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0， 从而实现降次 这种解法叫作因式分解法6、一元二次方程根的判别式：b2-4ac 叫根的判别式； （1）当 b2-4ac0 时， 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）? 有两个不相等实数根即x1=242bbaca， x2=242bbaca（2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2=2ba（3）当 b2-4ac0 时，有两个不相等实数根；当0时，有两个相等的实数根，当0，减小时 x0） ，n 为变化次数，b 为变化后的量。例 1：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？例 2、 （2011 日照 ）为落实国务院房地产调控政策，使“ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建设力度2010年市政府共投资2 亿元人民币建设了廉租房8 万平方米，预计到2012 年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012 年底共建设了多少万平方米廉租房【类题练习】 ：1.（2013 黔西南） 某机械厂七月份生产零件50 万个，若第八、 九月的增长率相同，且第三季度生产零件196万个（）A、50（1+x2）=196 B、50+50（1+x2）=196 C、 50+50（ 1+x）+50（1+x2） =196 D、 50+ 50（ 1+x） +50（1+2x）=196 2、 （2011 广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。（1）求平均每次下调的百分率。（2）某人准备以开盘价均价购买一套100 平方米的住房， 开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80 元，试问哪种方案更优惠？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3（2011 东营）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008 年底全市汽车拥有量为15 万辆，而截止到2010 年底，全市的汽车拥有量已达21.6 万辆。（1）求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011 年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012 年底全市汽车拥有量不超过23.196 万辆； 另据估计， 该市从 2011 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10% 。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。2、与面积有关的几何问题：熟练运用相关的面积公式列方程，注意有时为了利于计算，需要对图形进行变换或割补等方法。例 3、 在宽 20m ， 长为 32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为2504m， 道路宽应为多少？例 4、一块长和宽分别为40 厘米和250 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为7200 平方厘米 . 那么纸盒的高是多少？例 5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长 18m） ，另三边用木栏围成，木栏长 35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【类题练习】: 1、在一块长10 米，宽 8 米的矩形草坪中央，划出面积为48 平方米的矩形草地栽花，使原来矩形四周剩下的草坪的宽度相同，求这个宽度。2、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（ 1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 3、 （2012 湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙 MN 最长可利用25m） ，现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m23、营销问题：总利润=销售总额 - 总成本 -其他费用总利润 =（销售单价 - 进货单价）销售数量- 其他费用（注意：销售量的表达式。）例 6、国美电器城电视机专卖柜台平均每天售出电视机50 台，每台赢利400 元，经市场调查发现，若每台电视机降价10 元，每天可多卖出5 台，店长计划在元旦当天降价促销，且达到30000 元利润，问每台电视机应降价多少元？例 7、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品， ?据市场分析， ?若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55 元时，计算销售量和月销售利润（2）商品想在月销售成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应为多少?名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【类题练习】 ：1. 某商店将进货价8元的商品按10元售出，每天可销售200件， 在经营中发现该商品每件的售价提高5.0元，其销量就减少10件，问该商品每件售价定为多少元，才能使每天利润为640元？2. （2011 义乌）商场某种商品平均每天可销售30 件，每件盈利50 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现， 每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件设每件商品降价x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100 元？3、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40 元，按每千克60 元出售，平均每天可售出100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均每天的销售可增加20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240 元，请回答：（ 1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？4、（ 2012?南京）某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低 0.1 万元 /部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10 部以内（含10 部），每部返利0.5 万元；销售量在10 部以上，每部返利1 万元（1）若该公司当月售出3 部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28 万元 /部，该公司计划当月返利12 万元，那么汽需要售出多少部车？（盈利=销售利润 +返利）4、球赛问题：（1）. 若是单循环赛，则x 个队，每个队需赛（x1）场，共赛21x(x 1) 场（握手问题与此同类）；若每两队之间赛2 场，则共赛x(x 1) 场（互赠贺卡问题与此同类）。例 8、.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2 场,计划安排90 场比赛 ,应邀请多少个球队参加比赛? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载【类题练习】 ：1. 元旦期间 , 一个小组有若干人, 新年互送贺卡一张, 已知全组共送贺卡132 张, 则这个小组共有多少人. 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干 ,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 其他问题：例 9. 【动点问题】如图：ABC 中，7cm,5,90BCABBAB= 6 ，BC=8，点 P从 A点开始沿AB边向点 B以 1 /s 的速度移动，点Q从 B点开始沿 BC边向点 C以 2 /s 的速度移动，则P 、Q分别从 A、B同时出发，经过多少秒钟，PBQ 的面积等于8 2？【类型题】 1、已知：如图所示，在ABC中，cm7cm,5,90BCABB. 点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s 的速度移动 .（1）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于4cm2？（2）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm ？（ 3）在（ 1）中，PQB的面积能否等于7cm2?说明理由 . 2、 【利率问题】王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后， 可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） （列式子）QPCBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3、 （2013 铜仁）铜仁市某电解金属锰厂从今年1 月起安装使用回收净化设备( 安装时间不计) ，这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1 至 x 月的利润的月平均值w(万元 ) 满足w=10 x+90(1) 设使用回收净化设备后的1 至 x 月的利润和为y，请写出y 与 x 的函数关系式(2) 请问前多少个月的利润和等于1620 万元 ? 4、 （2012?徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20 元；若超过a千瓦时，则除了交20 元外，超过部分每千瓦时要交元某宿舍3 月份用电 80 千瓦时，交电费35 元； 4 月份用电45 千瓦时，交电费20 元（1）求 a 的值；（2）若该宿舍5 月份交电费45 元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？5、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。求原来的两位数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -