2022年三角函数公式及其记忆方法 .pdf

精品资料欢迎下载三角函数公式及其记忆方法一、同角三角函数的基本关系式（一）基本关系1、倒数关系1cottan1cscsin1seccos2、商的关系tancossintancscseccotsincoscotseccsc3、平方关系1cossin2222sectan122csccot1（二）同角三角函数关系六角形记忆法构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间1 的正六边形为模型。1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数；2、商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4 个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。3、平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。二、诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n( /2) 的三角函数转化为角 的三角函数。（一）常用的诱导公式1、公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：zkk,sin)2sin(zkk,cos)2cos(zkk,tan)2tan(zkk,cot)2cot(zkk,sec)2sec(zkk,csc)2csc(2、公式二：为任意角， +的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin)sin(cos)cos(tan)tan(cot)cot(sec)sec(csc)csc(3、公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin)sin(cos)cos(tan)tan(cot)cot(sec)sec(csc)csc(名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载4、 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin)sin(cos)cos(tan)tan(cot)cot(sec)sec(csc)csc(5、公式五： 利用公式一和公式三可以得2 - 与 的三角函数值之间的关系： sin（2）=sin cos（2）= cos tan（2）=tan cot（2）=cot sec (2) = seccsc (2) = csc6、公式六：2+ 与 的三角函数值之间的关系： sin（2+） = cos cos（2+） =sin tan（2+） =cot cot（2+） =tan sec (2+) = csc csc (2+) = sec7、公式七：2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（2） = cos cos（2） = sin tan （2） = cot cot（2） = tan sec (2) = csc csc (2) = sec8、推算公式：23+ 与 的三角函数值之间的关系： sin（23+） =cos cos（23+） = sin tan（23+） =cot cot（23+） =tan sec (23+) = csc csc (23+) = sec9、推算公式：23 与 的三角函数值之间的关系：sin （23） =cos cos （23） =sin tan（23） = cot cot（23） = tan sec （23- ) = csc csc（23) = sec诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇、偶”指的是2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角 看做锐角，不考虑 角所在象限，看n( /2) 是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“ +”，其余全部是“”；第三象限内只有正切和余切是“ +”，其余全部是“”；第四象限内只有余弦是“ +”，其余全部是“”。“ASCT ”意即为“ all(全部) ”、“ sin ”、“tan ”、“ cos ”名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（二）其他三角函数知识1、两角和差公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(记忆方法：S+=SC+CS C+=CC-SS T+=TTTT1变号都反转2、二倍角的正弦、余弦和正切公式cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan3、半角的正弦、余弦和正切公式2cos12sina2cos12cosasincos1cos1sin2tancos1cos12tan24、万能公式2tan12tan2sin22tan12tan1cos22名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2tan12tan2tan25、三倍角的正弦、余弦和正切公式3sin4sin33sincos3cos43cos323tan31tantan33tan5.1 方法一谐音、联想1)正弦 三倍角： 3 元 减 4 元 3 角（欠债了 (被减成负数 )，所以要 “挣钱” (音似“ 正弦 ”)）2)余弦 三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余”）注意：函数名，即 正弦 的三倍 角都 用正弦表示， 余弦 的三倍 角都 用余弦 表示。5.2 方法二：1)正弦三倍角：3 1 4 32)余弦三倍角： 4 3 3 1注意 : 正弦里函数名都为sin, 余弦里函数名都为cos 中间都为减号6、和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscoscoscos)sin(tantansinsin)sin(cotcot三角函数和差化积公式快速记忆口诀：正加正，正在前。正减正，余在前。余加余，余并肩。余减余，余不见，负号很讨厌。7、积化和差公式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin结合 6 来记忆三、公式推导过程（一）万能公式推导22sincoscossin2cossin22sin（ 因为1sincos22）再把上面的分式上下同除2cos，可得2tan12tan22sin2然后用2代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。（二）三倍角公式推导233223222222tan31tantan3coscossin2sincoscoscossinsincoscossin2cossin2sincoscossinsincoscossin2cos2sinsin2cossin2coscos2sin3cos3sin3tan33322sin4sin3sin2sinsin2sin2sin)sin21(cossin2sin2coscos2sin)2sin(3sincos3cos4)cos2cos2(coscos2sincos2cos) 1cos2(sin2sincos2cos)2cos(3cos33322即3sin4sin33sincos3cos43cos3（三）和差化积公式推导名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载首先 , 我们知道sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(我们把两式相加就得到cossin2)sin()sin(所以 , )sin()sin(21cossin同理 , 若把两式相减, 就得到)sin()sin(21sincos同样的 , 我们还知道sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(所以 , 把两式相加, 我们就可以得到coscos2)cos()cos(所以我们就得到, )cos()cos(21coscos同理 , 两式相减我们就得到)cos()cos(21sinsin这样 , 我们就得到了积化和差的四个公式: )sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin好 , 有了积化和差的四个公式以后, 我们只需一个变形, 就可以得到和差化积的四个公式 . 我们把上述四个公式中的设为, 设为, 那么2, 2把 , 分别用,表示就可以得到和差化积的四个公式: 2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -