2022年专题一：求函数值域十六法 .pdf

精品资料欢迎下载求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识1 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2 函数值域常见的求解思路：划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。反解函数，将自变量x 用函数 y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数( )yf x看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值0y，0y对应的自变量0 x一定为方程( )yf x在定义域中的一个解，即方程( )yf x在定义域内有解；另一方面，若y取某值0y，方程( )yf x在定义域内有解0 x，则0y一定为0 x对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程( )yf x在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。可以用函数的单调性求值域。其他。3 函数值域的求法（ 1） 、直接法： 从自变量x的范围出发，推出( )yf x的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例 1：求函数11,1yxxx的值域。2,例 2：求函数2610yxx的值域。1,例 3：求函数1yx的值域。解：0 x，11x，函数1yx的值域为1,)。（ 2） 、配方法： 配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2( )( )( )F xafxbf xc的函数的值域问题，均可使用配方法。例 1：求函数242yxx（ 1,1x）的值域。解：2242(2)6yxxx，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 1,1x，2 3, 1x，21(2)9x23(2)65x，35y函数242yxx（ 1,1x）的值域为 3,5。（ 3） 最值法： 对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。解：由 3-2x-x20，解出定义域为-3，1 。函数 y 在 -3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。函数的值域是0,2例 2：求函数2xy，2,2x的值域。1,44例 3：求函数2256yxx的值域。73,8（ 4） 、反函数法： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 1：求函数1212xxy的值域。解：由1212xxy解得121xyy，20 x，101yy，11y函数1212xxy的值域为( 1,1)y。（ 5） 、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。例 1：求函数125xyx的值域。解：177(25)112222525225xxyxxx，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载72025x，12y，函数125xyx的值域为1|2y y。（ 6） 、换元法： 运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。例 1：求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t） ，则212tx，22151()24yttt当12t，即38x时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(,4。（ 7） 、判别式法： 把函数转化成关于x的二次方程( , )0F x y；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xcya xb xc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例 1：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，1113y函数2231xxyxx的值域为11|13yy（ 8） 、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 1：求函数12yxx的值域。解：当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，函数12yxx在定义域1(,2上是增函数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载11112222y，函数12yxx的值域为1(,2。例 2求函数xxy1在区间,0 x上的值域。分析与解答：任取,0,21xx，且21xx，则212121211xxxxxxxfxf，因为210 xx，所以：0,02121xxxx，当211xx时，0121xx，则21xfxf；当1021xx时，0121xx，则21xfxf；而当1x时，2miny于是：函数xxy1在区间,0 x上的值域为),2。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例 3：求函数xxxf11的值域。分析与解答： 因为110101xxx，而x1与x1在定义域内的单调性不一致。现构造相 关 函 数xxxg11， 易 知)(xg在 定 义 域 内 单 调 增 。21maxgg，21mingg，2xg，202xg，又422xgxf，所以：422xf，22xf。（9） 、基本不等式法利用基本不等式abba222和)0,(2baabba是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时 , 利用此法时应注意取成立的条件 . 例 1 求函数12xxy的值域 . 解答 : 211112xxxxy, 当且仅当1x时成立 . 故函数的值域为), 2y. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例 2 求函数1222xxxy的值域 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解答 : 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)1( x项来 , 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设 : 22)(1(2xxcbxx, (2) 将上面等式的左边展开, 有: )()1(2cbxbx, 故而21b, 2cb. 解得1b, 1c. 从而原函数1111)1)(1()1(xxxxxy; )当1x时, 01x, 011x, 此时2y, 等号成立 , 当且仅当0 x. )当1x时, 0) 1(x, 011x, 此时有211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxxxy, 等号成立 , 当且仅当2x. 综上 , 原函数的值域为: ),22,(y. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 3. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 4. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：（ 10） 、有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 1：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，1y，211yxy（xR，1y） ，101yy，11y，函数2211xyx的值域为| 11yy形如2),(sinxyf0, 1sin),(2xyg因为可解出 Yr 范围,从而求出其值域或最值。例 2求函数1212xxy的值域解析：函数的有界性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载由1212xxy得112yyx11011,022yyyy或例 3：求函数2cos13cos2xyx的值域。1,3,5例 4：求函数2sin2sinxyx的值域。1,33（ 11） 、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例 1：求函数|3|5 |yxx的值域。解：22|3|5|822xyxxx(3)( 35)(5)xxx，|3|5|yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3|5 |yxx的值域为8,)以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 2：求函数224548yxxxx的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为222( )(2)1(2)2f xxx作一个长为4、宽为 3 的矩形 ABCD ，再切割成12 个单位正方形。设HK=x,则 EK=2x,KF=2x,AK=22(2)2x,KC=2(2)1x。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5。当 A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y 5 。例 3如例 4 求函数xxy11的值域。分析与解答：令xu1，xv1，则0,0 vu，222vu，yvu，原问题转化为：当直线yvu与圆222vu在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直85-3oyx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载线的截距的取值范围。由图 1知：当yvu经过点)2,0(时，2miny；当直线与圆相切时，2222maxOCODy。所以：值域为22y22OVUABCDE例 4. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线AB 与 x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点 P 恰好为直线AB 与 x 轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B 两点在 x 轴的同侧。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（ 12） 、复合函数法：对函数( ),( )yf u ug x，先求( )ug x的值域充当( )yf u的定义域，从而求出( )yf u的值域的方法。例 1、求函数133xxy的值域（复合函数法）设tx13，则111131113113ttyxxx101101ytt01原函数的值域为例 2：求函数212log ( 253)yxx的值域。49,8（13） 、非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例 1、(1)求函数216xy的值域。(2)求函数1322xxy的值域。解析： (1)161602x，41602x故 所求函数的值域为40，y。(2)012x，原函数可化为3)1(22xxy，即3)1(2yyx，当1y时，yyx132，02x，013yy，解得13y又1y， 所以13y，故 所求函数的值域为）， 13y。（不等式性质法）例 2：求下列函数的值域：（1）y=262x；（2）y=22241022xxxx；（ 3）y=62sin1x（4）y=10-216x；（2）y=13()4(1)2xx；（3）y=2211log ()()42xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（14） 、导数法若函数f在),(ba内可导 , 可以利用导数求得f在),(ba内的极值 , 然后再计算f在a,b点的极限值 . 从而求得f的值域 . 例 1： 求函数xxxf3)(3在)1 , 5(内的值域 . 分析 :显然f在)3, 5(可导，且33)(2xxf. 由0)(xf得f的极值点为1, 1 xx. , 2)1(f2)01 (f. 140)05(f. 所以 , 函数f的值域为)140,2(. （15） 、 “平方开方法”求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、 “单调性法” 、 “换元法” 、 “判别式法”以及“平方开方法”等等 . 每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域. 本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题. 1. 适合采用“平方开方法”的函数特征设( )f x （xD）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）( )f x 的值总是非负，即对于任意的xD，( )0f x恒成立；（2）( )f x 具有两个函数加和的形式，即12( )( )( )f xfxfx （xD） ；（3）( )f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即2212( )( )( )( )fxfxfxcg x （xD， c 为常数），其中，新函数( )g x （xD）的值域比较容易求得. 2. “平方开方法”的运算步骤若函数( )f x（xD） 具备了上述的三个特征，则可以将( )f x 先平方、再开方，从而得到( )( )f xcg x（xD， c 为常数）. 然后，利用( )g x 的值域便可轻易地求出( )f x 的值域 . 例如( ) , g xu v ，则显然( ),f xcucv . 3. 应用“平方开方法”四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举, 这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例 1求函数( )f xbxxa （ , xa b ，ab）的值域 . 解： 首先，当 , xa b 时，( )0f x；其次，( )f x 是函数1( )fxbx 与2( )fxxa 的和；最后，22( )2 ()()2()fxbabxxabaxab xab可 见 ， 函 数( )f x满 足 了 采 用 “ 平 方 开 方 法 ” 的 三 个 特 征 . 于 是 ， 对( )f x平 方 、 开 方 得2( )2()f xbaxab xab （ , xa b ）. 这里，2( )2()g xxab xab（ , xa b ）. 对( )g x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载根 号 下 面 的 二 次 函 数 采 用 “ 配 方 法 ” ， 即 可 求 得( )g x的 值 域 为 0,ba . 于 是 ，( )f x的 值 域 为,2() baba . 例 2求函数( )f xbkxkxa （,a bxk k，ab，0k）的值域 . 解：显然，该题就是例1 的推广，且此题的( )f x 也满足了采用 “平方开方法” 的三个特征 . 于是，对( )f x平方、 开方得22( )2()f xbak xk ab xab （,a bxkk）. 这里，22( )2()g xk xk ab xab（,a bxk k） . 对( )g x 根号下面的二次函数采用“配方法”， 即可求得( )g x 的值域仍为 0,ba . 于是，( )f x的值域也仍为,2()baba. 例 3求函数( )|sin|cos|f xxx （xR）的值域 . 解：参照例 1 的验证步骤， 显然，此题的( )f x 也满足了采用 “平方开方法” 的三个特征 . 于是， 对( )f x平方、开方得( )1 | sin2 |f xx （xR）. 这里，( )|sin2|g xx （xR）. 易知，( )g x 的值域为 0,1 . 于是，( )f x 的值域为 1, 2 . 例 4求函数( )|sincos|sincos |f xxxxx （xR）的值域 . 解：参照例 1 的验证步骤， 显然，此题的( )f x 也满足了采用 “平方开方法” 的三个特征 . 于是， 对( )f x平方、 开方得( )22 | cos2|f xx （xR）. 这里，( )2|cos2|g xx （xR）. 易知，( )g x 的值域为 0,2 .于是，( )f x 的值域为 2,2 . 例 5 求函数xxy53的值域解： （平方法）函数定义域为：5 , 3x2,24,21 ,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy平方法）函数定义域为：5, 3x2,24,21 ,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy（16）. 一一映射法原理：因为在定义域上x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。1 0 x y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 1. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为多种方法综合运用例 1 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当 t=0 时， y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例 2. 求函数的值域。解：令，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当时，当时，此时都存在，故函数的值域为例 3.求函数)0(2xyx的值域解： （图象法）如图，值域为1 ,0例 4.求函数xxy2231的值域解： （复合函数法）令1) 1(222xxxt，则) 1(31tyt由指数函数的单调性知，原函数的值域为,31例 5.求函数21xxy的值域解： （三角代换法）11x设,0cosx2,12, 1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结：（1）若题目中含有1a，则可设)0,cos(22,sinaa或设（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中22t2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（5）若题目中含有)0,0,0(ryxryx，则可设22sin,cosryrx其中2,0例 6、求函数1122xxy的值域解法一：（逆求法）110112yyyx11原函数的值域为解法二：（复合函数法）设tx12，则) 1(211212ttxy1,1112201原函数值域为ytt解法三：（判别式法）原函数可化为010)1(2yxxy1）1y时 不成立2）1y时，110)1)(1(400yyy11y综合 1） 、 2）值域11|yy解法四：（三角代换法）Rx设2,2tanx，则1,12cos,22costan1tan122y原函数的值域为 11|yy小结：已知分式函数)0(2222dafexdxcbxaxy，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载)(二次式一次式或一次式二次式yy的形式， 采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(xxaxy的单调性去解。注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -