几类不同增长的函数模型 (3).ppt

人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u32.1几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学目目 标标 要要 求求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢增长快慢2理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义3会分析具体的实际问题，建模解决实际问题会分析具体的实际问题，建模解决实际问题4培养对数学模型的应用意识培养对数学模型的应用意识.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学热热 点点 提提 示示学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律熟练掌握这一规律后，进而归纳总结出一般规律熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学1三种函数模型的性质三种函数模型的性质函数函数性质性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增减上的增减性性单调递单调递增增单调递单调递增增单调递单调递增增图象的变图象的变化化随随x增大增大逐逐渐渐上升上升随随x增大增大逐逐渐渐上升上升随随x增大增大逐逐渐渐上升上升人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学2.函数函数yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)增长速增长速度的对比：度的对比：(1)对于指数函数对于指数函数yax(a1)和幂函数和幂函数yxn(n0)，在区，在区间间(0，)上，无论上，无论n比比a大多少，尽管在大多少，尽管在x的一定范的一定范围内，围内，ax会小于会小于xn，但由于，但由于ax的增长的增长快于快于xn的增长的增长，因此总存在一个因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有axxn.(2)对于对数函数对于对数函数ylogax(a1)和幂函数和幂函数yxn(n0)，在区间在区间(0，)上，尽管在上，尽管在x的一定范围内，的一定范围内，logax可可能会大于能会大于xn，但由于，但由于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长，因的增长，因此总存在一个此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logax1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长都是增函数，但它们的增长速度不同速度不同，而且不在同一个，而且不在同一个“档次档次”上随着上随着x的增的增大，总会存在一个大，总会存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logaxxnax.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学想一想：想一想：当当0a1，n0时，时，yax，yxn，ylogax为减函数，其为减函数，其“衰减衰减”速度如何？你能借助图象，速度如何？你能借助图象，类比分析吗？类比分析吗？提示：提示：如下图所示：如下图所示：对于函数对于函数yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一在同一“档次档次”上，随着上，随着x的增大，的增大，yax(0a1)的的衰减速度越来越慢，会远远小于衰减速度越来越慢，会远远小于yxn(n0)的衰减的衰减速度，而速度，而ylogax(0ax0时，就有时，就有logaxxn0)(1)写出写出y关于关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义的函数关系式，并指出这个函数的定义域；域；(2)求鱼群年增长量的最大值；求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范的取值范围围思路分析：思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求最大值，列不等式求k的范围的范围人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学温馨提示：温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函数正比例函数(一次函数一次函数)本题中本题中“最大养殖量最大养殖量”、“空闲量空闲量”、“空闲率空闲率”这些临时定义，使本题理这些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系解好这些词汇，再找未知量之间的关系在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题题人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学类型三类型三指数函数、对数函数模型应用题指数函数、对数函数模型应用题【例例3】1999年年1月月6日，我国的第日，我国的第13亿个小公民在亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过经过x年后，我国人口数字为年后，我国人口数字为y(亿亿)(1)求求y与与x的函数关系的函数关系yf(x)；(2)求函数求函数yf(x)的定义域；的定义域；(3)判断函数判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增减有什么实际意义函数的增减有什么实际意义人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学思路分析：思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一这类问题解决的关键是理解一这类问题解决的关键是理解“递增率递增率”的意义：的意义：递增率是所研究的对象在递增率是所研究的对象在“单位时间单位时间”内比它在内比它在“前单位时间前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出前计算并写出前34个单位时间的具体值，通过观察、个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学解：解：(1)1999年人口数：年人口数：13亿亿经过经过1年，年，2000年人口数：年人口数：13131%13(11%)(亿亿)经过经过2年，年，2001年人口数：年人口数：13(11%)13(11%)1%13(11%)(11%)13(11%)2(亿亿)经过经过3年，年，2002年人口数：年人口数：13(11%)213(11%)21%13(11%)3(亿亿)经过年数与经过年数与(11%)的指数相同，的指数相同，经过经过x年人口数：年人口数：13(11%)x(亿亿)yf(x)13(11%)x.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学(2)理论上指数函数定义域为理论上指数函数定义域为R.此问题以年作为单位时间，此问题以年作为单位时间，N*是此函数的定义是此函数的定义域域(3)yf(x)13(11%)x是指数函数，是指数函数，11%1,130，yf(x)13(11%)x是增函数，是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长数总在增长人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学温馨提示：温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于时间则对于时间x的产值的产值y，可以用下面的公式，可以用下面的公式yN(1p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式式 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解题解决的关键是理解“递增率递增率”的意义：递增率是的意义：递增率是所研究的对象在所研究的对象在“单位时间单位时间”内比它在内比它在“前单位时前单位时间间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出前前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题问题人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学类型四类型四不同函数模型增长趋势的比较不同函数模型增长趋势的比较【例例4】函数函数f(x)2x和和g(x)x3的图象如下图所的图象如下图所示设两函数的图象交于点示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图象上可以看出，从图象上可以看出，当当x1xx2时，时，f(x)g(x)，f(6)x2时，时，f(x)g(x)，f(2010)g(2010)又又g(2010)g(6)，f(2010)g(2010)g(6)f(6)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学温馨提示：温馨提示：由指数函数、对数函数、幂函数的增长差由指数函数、对数函数、幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象，哪异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象，哪个是幂函数的图象解决此类题型的关键是了解个是幂函数的图象解决此类题型的关键是了解“指数爆炸指数爆炸”、“对数增长对数增长”等函数增长差异，需等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的注意幂函数的增长是介于两者之间的 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最量的增大，图象最“陡陡”的函数是指数函数的函数是指数函数人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u4函数函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如下图所的图象如下图所示示u(1)试根据函数的增长差异指出曲线试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应分别对应的函数；的函数；u(2)比较两函数的增长差异比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，以两图象交点为分界点，对对f(x)，g(x)的大小进行比较的大小进行比较)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学解：解：(1)C1对应的函数为对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数对应的函数为为f(x)lgx.(2)当当xf(x)；当；当x1xg(x)；当；当xx2时，时，g(x)f(x)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学1增长规律增长规律在区间在区间(0，)上，尽管函数上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当，当xx0时，时，就有就有logaxxn0)、指数函、指数函数数yax(a1)、对数函数、对数函数ylogax(a1)、幂函数、幂函数yxn(n0)的变化及相应增量规律：的变化及相应增量规律：u直线型均匀上升，增量恒定；直线型均匀上升，增量恒定；指数型急剧上升，指数型急剧上升，增量快速增大；增量快速增大；对数型缓慢上升，增量逐渐减少；对数型缓慢上升，增量逐渐减少；幂函数型虽上升较快，但随着幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大，上升的不断增大，上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增慢递增u一般简述为：直线上升、指数爆炸、对数函数逐渐一般简述为：直线上升、指数爆炸、对数函数逐渐增长、幂函数缓慢增长当然常数型无增长增长、幂函数缓慢增长当然常数型无增长