分离变量法非齐次方程.ppt
分离变量法非齐次方程现在学习的是第1页，共32页22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt 令( , )( , )( , )U x tV x tW x t 其中22222000, 0,0;|0;|(),|().xxlttWWaxlttxWWWWxxt (1) (2)现在学习的是第2页，共32页 ,sinnnnV x tvtxl 令 为待定函数.( )nv t并将 按特征函数系展为级数 txf,其中 , 2 , 1,sin,20 ndlntfltfln 1( , )sinnnn xf x tftl (3) (4)22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt (1)现在学习的是第3页，共32页222211( )( ) sin( )sinnnnnnnan xn xvtvtftlll 2222( )( )( )nnnnavtvtftl 将(3),(4) 代入方程得两端比较将(3)代入初始条件(0)0, (0)0nnvv 现在学习的是第4页，共32页2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv 0sin,1,2,lnnn a tlvtfdnn al Laplace变换所以 0,sinsinlnn a tlnVx tfdxn all 现在学习的是第5页，共32页例1. 求解具有热源 ，两端绝热，初始温度为零的杆的热传导问题。tA sin 0000,0sin002tlxxxxxxtuuutlxtAuau 征函数为 , 2 , 1,cos nlxn 设 0cos,nnlxntTtxu 解：现在学习的是第6页，共32页代入方程得 tAlxntTlantTnnn sincos02222 比较系数得： tAT sin0 , 2 , 1, 02222 ntTlantTnn 由初始条件得： , 2, 1 , 0, 00 nTn 0)0(sin00TtAT 0)0(02222nnnTtTlantT 从而 , 2 , 10cos1/0ntTtAtTn 所以 tAtxu cos1, 现在学习的是第7页，共32页例在环形区域 内求解下列定解问题22axyb 2222222212,|0,|0 xxyyxyaxybuuxyaxybuun 解考虑极坐标变换:cossinxy 现在学习的是第8页，共32页定解问题可以转化为: 0|, 0|2cos1211222222bauuuuu相应的齐次问题的特征函数系为:,2sin,2cos,sin,cos, 1现在学习的是第9页，共32页于是可以设原问题的解为: 10sincos,nnnnBnAAu代入方程，整理得 20021222111cos1sin12cos2nnnnnnnnnAAAAAnnBBBn 现在学习的是第10页，共32页比较两端 和 的系数可得 ncosnsin 222221412AAA 22102nnnnAAAn 0010AA 2210nnnnBBB 现在学习的是第11页，共32页 0sincos10nnnnaBnaAaA由边界条件，得 所以 0sincos10nnnnbBnbAbA 0bAaAnn 0bBaBnn现在学习的是第12页，共32页( )nnnnnAcd nnnnnBcd ( )0nA 2n 0nB 由边界条件，可知 nnBnA),2( , 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为000( )lnAcd现在学习的是第13页，共32页下面求 . 2A , 222221241 AAA 422212ccA方程的通解为 446612babac由端点的条件， 得 44224422bababac 原问题的解为： 2cos,2Au 220A aAb现在学习的是第14页，共32页2.5 非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的. ,w x t,u x tv x tw x t,v x t现在学习的是第15页，共32页例1振动问题 )()()()(0002102xuxututuuautttlxxxxtt （I） 解： )()(,tBxtAtxv 取 txltttxv112)()(, 故要求满足(I)的边界条件，即)()()()()(0)(21ttBltAttBtA 解得 ttBltttA112)()()()( 思路: 作代换 ,( , )( , )u x tv x tw x t选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次现在学习的是第16页，共32页代入(I)，得 的定解问题(II) ,v x t2121001210121( )( )( )|0,|0|( )( )( )( )( )|( )( )( )( )( )ttxxxx lttxva vtttlvvxvxtttxlxvxtttxl 令 ,( , )( , )v x tu x tw x t现在学习的是第17页，共32页如果仍取 的线性函数作为 ，则有 xw 120,xxxx lwA ttwA tt此时除非 ，否则这两式互相矛盾。 tt21 2,w x tA t xB t x)(10tuxx )(2tulxx 当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取现在学习的是第18页，共32页例 定解问题22222000, 0,0;|0,|;|0,|0 xx lttuuaAxlttxuuBuut 其中A, B为常数. ,u x tv x tw x 解:令现在学习的是第19页，共32页2( )ttxxva vwxA 代入方程，得 选 满足 xw 200|0,|xx la wxAwwB 它的解为 22222AAlBw xxxaal 现在学习的是第20页，共32页于是 满足的方程为： txv, 22222000, 0,0;|0,|0;|,|0 xx lttvvaxlttxvvvvw xt 现在学习的是第21页，共32页利用分离变量法，求解得 1,(cossin)sinnnnnananv x tCtDtxlllnBnaAlnnaAlCncos2222223322其中从而，原定解问题的解为 2221,cossin22nnAAlBnanu x txxCtxaalll 0.nD 现在学习的是第22页，共32页一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单.二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法现在学习的是第23页，共32页22222000sin, 0,0;|0,|;|0,|0 x xx x ltt tuuaAtxl ttxuuBuu例 求下列定解问题的解其中 为常数。, ,A B解 1）边界条件齐次化，令 ,u x tU x tG x t2,2BG x txl现在学习的是第24页，共32页于是 满足如下定解问题( , )U x t2222220200sin, 0,0;|0,|0;|,|02xxxx ltt tUUa BaAtxlttxlUUBUxUl 2）将问题分解为两个定解问题。设,U x tV x tW x t现在学习的是第25页，共32页022222002sin, 0,0;( )|0,|0|0;|0,xxxx ltt tVVa BaAtxlttxlIIVVVV222022002, 0,0;( )|0,|0;|,|02xxxx ltt txltIWWWWaBWxWtxl 现在学习的是第26页，共32页3）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。222lnn ,cos,nnnXxAxl特征值及相应的特征函数0, 1, 2,n tlanDtlanCtTnnnsincos现在学习的是第27页，共32页则01,(cossin)cos2nnnCanannW x tCtDtxlll利用初始条件确定系数10222,( 1),0,(1,2,)3nnnBlBlCCDnn 20|2tBWxl 0|0ttW计算可得现在学习的是第28页，共32页其次，利用特征函数法求解问题 (II) 将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开( , )V x t 01,( )cosnnnV x tv tvtxl代入问题（II）的方程及初始条件，得 2201cossinnnnnana Bvtvtv txAtlll(0)0, (0)0,(0,1,2,)nnvvn现在学习的是第29页，共32页 220000;sin;00, 0000, 00nnnnnaa BvtvtvtAtllvvvv问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得220sin( )(),2( )0,(1,2,)nAta Bv tttlv tn所以，0( , )( ).V x tv t现在学习的是第30页，共32页4）综合上述结果, 得到原问题的解( , )( , )( , )( , ),u x tW x tV x tG x t12212222()( 1)coscos6sin()22nnBlBlnantxnllAta BttlBxl 现在学习的是第31页，共32页 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.注： 圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.现在学习的是第32页，共32页
