因式分解概念与提公因式.ppt

关于因式分解概念与提公因式现在学习的是第1页，共57页分析下列计算是整式乘法中的哪一种分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果并求出结果: : ( (口答口答) )213161(48)3(a2b) 736(42 xxx24168aab62xxx28122423(1)(2)(3)现在学习的是第2页，共57页乘法分配律：乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc)(cbammcmbma每一项都必须含有每一项都必须含有相同因式相同因式m m。现逆用乘法分配律现逆用乘法分配律各项除以相同因式各项除以相同因式m后剩下的因式。后剩下的因式。1、m可以是数字、字母、多项式。可以是数字、字母、多项式。2、逆用的条件与结论都不一样。、逆用的条件与结论都不一样。现在学习的是第3页，共57页 一般地，把一个一般地，把一个多项多项式式转化成几个转化成几个整式整式的的的的形式，叫做形式，叫做，有，有时我们也把这一过程叫做时我们也把这一过程叫做。想一想想一想：分解因式与整式乘法有何关系：分解因式与整式乘法有何关系现在学习的是第4页，共57页注意注意：1.因式分解因式分解不是运算不是运算,是是一种多项式的一种多项式的变形变形； 因式分解与多项式乘法互为逆变形。因式分解与多项式乘法互为逆变形。2.因式分解必须在因式分解必须在整式范围内整式范围内进行，否则不属于因式进行，否则不属于因式分解；分解；3.利利用整式的乘法可以验证用整式的乘法可以验证因式分解是否正确因式分解是否正确.现在学习的是第5页，共57页想一想想一想: 分解因式与整式乘法有何关系分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程几个整式的积几个整式的积 m(a+b+c)一个多项式一个多项式ma+mb+mc整式乘法整式乘法因式分解因式分解练习一.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?哪哪些不是些不是?为什么？为什么？1）x 2 y 2+1=(x +y )(x -y )+12）6x2y3=3xy2xy23） xxxx1221(不是不是）(不是不是）(不是不是）现在学习的是第6页，共57页2(1)aaa a （1）2(3)(3)9aaa（2）22441(21)xxx （3）231(3)1xxx x （4）211()xx xx（5）321 836a b caba c（6）4 (2)(2)xxx （7）下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？现在学习的是第7页，共57页公因式的定义公因式的定义： 一个多项式一个多项式各项都含各项都含有有的的相同因式相同因式, , 叫做这个多叫做这个多项式各项的项式各项的公因式公因式. .现在学习的是第8页，共57页 多项式中多项式中各项都含有的相同各项都含有的相同因式，因式，叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公公因式。因式。 怎样确定多项式的公因式？怎样确定多项式的公因式？ 公因式与多项式的各项有什么关系公因式与多项式的各项有什么关系？公因式公因式：现在学习的是第9页，共57页bcabxx932ynymy21、找出下列多项式中各项中含有的相同因式.bx3yca3x1nmy现在学习的是第10页，共57页正确找出多项式各项公因式公因式的关键关键是：1 1、定系数定系数：公因式的系数是多项式各项系数的公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。最大公约数。 2 2、定字母定字母： 字母取多项式各项中都含有的相字母取多项式各项中都含有的相同的字母。同的字母。 3 3、定指数定指数： 相同字母的指数取各项中最小的相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂一个，即字母最低次幂 现在学习的是第11页，共57页说出下列各多项式的公因式：说出下列各多项式的公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx - 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b-2ab2+ab .m4k5y2ab最大公约数最大公约数相同相同字母字母最最低低指数指数一一定系数定系数二二定字母定字母三三定指数定指数现在学习的是第12页，共57页找一找找一找: 下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 现在学习的是第13页，共57页 7x2 -21x 8 a 3 b2 12ab 3 + ab m b2 + n b 7x 3y2 42x2y 3 4a2 b 2a b2 + 6abc说出下列各式的公因式：说出下列各式的公因式： 7xabb7x2y22ab现在学习的是第14页，共57页 指出下列各多项式中各项的公因式指出下列各多项式中各项的公因式 ax+ay-a （ ） 5x2y3-10 x2y （ ） 24abc-9a2b2 （ ） m2n+mn2 （ ） x(x-y)2-y(x-y) ( )a5x2y3abmnx-y现在学习的是第15页，共57页 如果一个多项式的各项含如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式化成两个因式乘积的形式.这种这种分解因式的方法叫做分解因式的方法叫做提公因式提公因式法法.概念引入：现在学习的是第16页，共57页因式分解因式分解：mambmc把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc ma+mb+mc 就可以分解成就可以分解成两个因式两个因式m m和和(a+b+c)(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的的乘积。像这种因式分解的方法，叫做方法，叫做提取公因式法提取公因式法。()mambmcm abc解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法现在学习的是第17页，共57页)(22221tt 23x1. 1.填空填空: :（口答）（口答）ggtgt2121212221(1)rR22)(rR2363xx)2( xaa2172()a73a(2)(3)(4)现在学习的是第18页，共57页 例1 把 9x2 6xy+ +3xz 分解因式.=3x3x - 3x2y + 3xz 解：解：=3x (3x-2y+z)9x2 6 x y + 3x z 方法步骤：方法步骤：找出找出 公因式；公因式；提出提出 公因式，公因式， （即用多项式中每一项（即用多项式中每一项除以除以公因式）公因式）现在学习的是第19页，共57页 例2: 分解因式 8ab-12abc+ab解解: 原式原式=ab8a-ab12bc+ab1 =ab(8a-12bc+1)判断下列分解因式正确吗判断下列分解因式正确吗 2x+3x+x=x(2x+3x)1.3ac-6ac=3a(c-2ac)X(2X+3X+1)3ac(1-2a)注意注意: 提取公因式后：提取公因式后： (1)另一个因式不能再含另一个因式不能再含 有有公因式公因式(2)另一个因式的项数与原多项式的项数一另一个因式的项数与原多项式的项数一致致我做得对吗？不要漏掉不要漏掉1如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。漏掉。现在学习的是第20页，共57页例例3. 把把 -24x3 12x2 +28x 分解因式分解因式.当多项式第一项系数是负当多项式第一项系数是负数，通常先提出数，通常先提出“- -”号，号，使括号内第一项系数变为正使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变数，注意括号内各项都要变号。号。解：原式解：原式=(324x212xx28)x4=x4(24x34x+12x24x-28x4x)(6x2+3x-7)=现在学习的是第21页，共57页练习练习. . 将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：(1)33xx (2)xx2172abcabba323128(3)(4)xxx28122423现在学习的是第22页，共57页 25x-5 3 x3 - 3x2 9x 8a 2c+ 2b c - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab - 2x2 12xy2 +8xy3 练习练习 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：a现在学习的是第23页，共57页提公因式法分解因式提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式。正确的找出多项式各项的公因式。注意：注意：1 1 多项式是多项式是几项几项，提公因式后也剩，提公因式后也剩几项几项。2 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因当多项式的某一项和公因式相同时提公因 式后剩余的项是式后剩余的项是1 1。3 3、当多项式、当多项式第一项系数第一项系数是负数，通常是负数，通常先提出先提出“- -”号，使括号内第一项系数变为正数，注号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。意括号内各项都要变号。现在学习的是第24页，共57页怎样怎样正确多项式各项的公因式？正确多项式各项的公因式？ 1 1、公因式的系数是多项式各项系公因式的系数是多项式各项系 数数的最大公约数；的最大公约数； 字母：字母：2 2、字母取多项式各项中都含有的相字母取多项式各项中都含有的相同的字母；同的字母； 指数：指数：3 3、相同字母的指数取各项中最小的一相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；个，即字母最低次幂； 注：注： 多项式各项的公因式可以是单项多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式式，也可以是多项式 。 系数：系数：现在学习的是第25页，共57页xyz7xy32.2.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：22912yxxyz(1)(2)yayya6332(3)22223211435zxyzyxyzx()y3xyz34 22aayzxyx3252()(现在学习的是第26页，共57页练习二练习二:分解因式分解因式 a+ab-ac(1)-2x+4x+2x=a(ab+c)=2x(x2x1)现在学习的是第27页，共57页例例4 4：把：把2a(b+c)-5(b+c)2a(b+c)-5(b+c)分解因式分解因式 (b+c)(b+c)(b+c)(b+c)解：解： 2a(b+c)5(b+c) = (b+c)(2a-5) 注意：注意：公因式可以是数字，字母，也公因式可以是数字，字母，也 可可以是单项式，还可以是以是单项式，还可以是多项式。多项式。现在学习的是第28页，共57页练习三、把下列各式分解因式：练习三、把下列各式分解因式：（1 1）x(a+b)+y(a+b)x(a+b)+y(a+b)（2 2）3a(x-y)-(x-y)3a(x-y)-(x-y)（3 3）6(p+q)6(p+q)2 2-12(p+q)-12(p+q)解：（解：（1 1）原式）原式= =(a+b)(a+b)（x+ yx+ y） （2 2）原式原式= =(x-y)(x-y)（3a-13a-1） （3 3）原式原式=6(p+q)(p+q-2)=6(p+q)(p+q-2)现在学习的是第29页，共57页确定公因式要对数字因数和字母分别进行考虑确定公因式要对数字因数和字母分别进行考虑:1.各项各项系数系数都是整数时都是整数时,公因式的系数应取各项公因式的系数应取各项系数的系数的最大公约数最大公约数;2.字母字母取各项取各项相同相同的字母的字母,而且各字母的而且各字母的指数指数取取次数最低次数最低的的现在学习的是第30页，共57页4. 4. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：xyx28(1)mmm26423babba952xxx24223(2)(3)(4)现在学习的是第31页，共57页(1)ax+xy=( )( )(2)3mx-6my =( )( )(3)x2y+xy2=( )( )(4)15a2+10a=( )( )(5)12xyz9x2y2=( )( )x 3m xy5a3a+23xy4z-3xy将下列多项式因式分解将下列多项式因式分解:a+yx-2yx+y(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( )b+c 2a-3现在学习的是第32页，共57页小结小结:本节课我们学习了哪些知识本节课我们学习了哪些知识?3、确定公因式的方法、确定公因式的方法 （1）系数）系数取各项的最大公约数取各项的最大公约数 （2）字母）字母取各项相同字母取各项相同字母 （3）指数）指数取各项相同字母的最低次幂取各项相同字母的最低次幂4、提公因式法分解因式的步骤、提公因式法分解因式的步骤（1）确定公因式）确定公因式（2）用公因式去除多项式的各项得另一因式）用公因式去除多项式的各项得另一因式（3）写成这两个因式的积的形式）写成这两个因式的积的形式1、什么叫做公因式？、什么叫做公因式？2、什么叫提公因式法？现在学习的是第33页，共57页2、确定公因式的方法：小结3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：1、什么叫因式分解？(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.4、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1;（3）提出负号时,要注意变号. 记住哟！现在学习的是第34页，共57页1 1、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：（1 1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 （2 2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母。字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 （3 3）相同字母的指数取各项中最小的一个相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂即最低次幂。小结小结2 2、提公因式法分解因式：、提公因式法分解因式：第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公因式第二步，提公因式, ,即用多项式除以公因式即用多项式除以公因式. .现在学习的是第35页，共57页现在学习的是第36页，共57页 因式分解因式分解 概念及提公因式法概念及提公因式法2现在学习的是第37页，共57页教学过程：一、复习提问：一、复习提问：1、把、把 化化成成 的形式，叫做的形式，叫做把这个多项式因式分解。把这个多项式因式分解。2、因式分解与、因式分解与 是互是互逆变形，分解的结果对不对可以用逆变形，分解的结果对不对可以用 运算检验运算检验 一个多项式一个多项式 几个整式的乘积几个整式的乘积 整式乘法整式乘法现在学习的是第38页，共57页回顾与思考 1 1 多项式的分解因式的概念：多项式的分解因式的概念：把一个多项式把一个多项式化为几个整式乘积化为几个整式乘积的形式，叫做把的形式，叫做把这个多项式分解因式这个多项式分解因式. . 2 2 分解因式与整式乘法是分解因式与整式乘法是互逆互逆过程过程. . 3 3 分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点: : 分解的分解的对象对象必须是必须是多项式多项式. . 分解的分解的结果结果一定是几个一定是几个整式的乘积整式的乘积的形式的形式. . 现在学习的是第39页，共57页 a c+ b c 3 x2 +x 30 m b2 + 5n b 3x+6 a2 b 2a b2 + ab 7 ( a 3 ) b ( a 3)下列各多项式有没有下列各多项式有没有共同共同的的因式因式？c x5b3aba-3现在学习的是第40页，共57页提取公因式法提取公因式法1、 中各项的公因式是中各项的公因式是_。公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的各项的公因式。公因式。3xy2找公因式的方法：找公因式的方法：1：系数为：系数为 ； 2、字母是、字母是 ；3、字母的次数、字母的次数 。各系数的最小公倍数各系数的最小公倍数相同字母相同字母相同字母的最低次数相同字母的最低次数练习：练习：5x225x的公因式为的公因式为 ；2ab24a2b3的公因式为的公因式为 ，多项式多项式x21与与(x1)2的公因式是的公因式是 。5x-2ab2x-1现在学习的是第41页，共57页如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式法。提取公因式法提取公因式法练习：练习：1、把多项式、把多项式m2(a2)+m(2a)分解因式等于（分解因式等于（ ）A(a2)(m2+m) B(a2)(m2m)Cm(a2)(m1)Dm(a2)(m+1)C222axyyxa2、把下列多项式分解因式、把下列多项式分解因式(1)(2)(3)cabababc249714yxyxm2现在学习的是第42页，共57页例例1、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：25x2y3-15x2y2 9a(a-b)2-15(b-a)38xmyn-1-12x3myn mn(m-n)-n(n-m)2(b-a)2-2a+2b a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)现在学习的是第43页，共57页例例2、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：6a3b2-3a2b3-18a2b3 -4x2yz-12xy3z+4xyzm(1-x)-n(x-1)+p(1-x)-ab(a-b)2+a(b-a)2-a(a-b)2现在学习的是第44页，共57页例例3、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：m2-mn+mx-nx am+bm+an+bn+a+ba2b2-a2-b2+1 10a2x+21xy2-14ax2-15ay22x2(-2x+9)-28x m2-mn+5n-5m(用两种方法用两种方法) 现在学习的是第45页，共57页1、分解因式计算分解因式计算 (-2)101+(-2)1002、利用简便方法计算利用简便方法计算： 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知已知 a+b=3, ab=2, 求代数式求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值的值。4、把把 9am+1 21 am+7a m-1分解因式分解因式5 5、解方程解方程. .（x-4)x-4)2 2-(4-x)(8-x)=12-(4-x)(8-x)=126 6、化简：化简：1+x+x(1+x)+x(1+x)1+x+x(1+x)+x(1+x)2 2+.+x(1+x)+.+x(1+x)20152015例例4、分解因式的应用、分解因式的应用现在学习的是第46页，共57页(1) 13.80.125+86.21/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值. 解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2) =0.125100 =12.5 解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15因式分解应用现在学习的是第47页，共57页拓展运用拓展运用：6.已知已知1xx2x3=0.求求xx2x3x4x2015的值的值.解：原式解：原式x(1xx2x3) x5(1xx2x3) x2012(1xx2x3) 0现在学习的是第48页，共57页.45927811397整除能被试证明：现在学习的是第49页，共57页6、分解因式：、分解因式：4xmynb6xm1yn22xm2yn1a(xyz) b(zxy) c(xzy)(5x2y)2 (2x5y)2解：原式解：原式2xmyn(2b3xy2x2y)解：原式解：原式(xyz)(abc)解：原式解：原式25x220 xy4y24x220 xy25y2 29x229y2 29(x2y2)现在学习的是第50页，共57页3.试说明试说明:817279913能被能被45整除整除.解：解：原式原式(34)7 (33)9 (32)13 =328327326 =326(3231) =3265 =32545817279913能被能被45整除整除.现在学习的是第51页，共57页整除吗整除吗能被能被120525127?是奇数还是偶数是奇数还是偶数？想一想nn 2（1）（2）（3） 1993-199能被能被200整除吗整除吗? ?还还能被哪些整数整除能被哪些整数整除? ?现在学习的是第52页，共57页现在学习的是第53页，共57页作业作业1、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：6(x-2)+x(2-x) 24a(a-b)2+18(b-a)2 (x-y)2-(y-x)3 (m+1)(m-1)+(m-1)(a-3)2-2a+6 15x(a-b)2-3y(b-a) -4a3+4a2-16a 2x3+x2-6x-3 (用两种方法用两种方法) 现在学习的是第54页，共57页作业作业2、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：-1/5abc+1/5ab2-a2bc 2x(x-y)2-4x2(y-x)2 (x-y)3-2z(y-x)2 (m-n)4-m(n-m)3+n(n-m)3 3x(a+2b)-6xy(2b+a) 7x2-3y+xy-21x(用两种方法用两种方法) 现在学习的是第55页，共57页作业作业3、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：xyz2-xy2z+x2yz (b-a)2-2a+2b (2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b) 5(x-Y)3+10(y-x)215x(a-b)2-3y(b-a)2 4a2+2ab+6a+3b(用两种方法用两种方法) 现在学习的是第56页，共57页8/24/2022感谢大家观看现在学习的是第57页，共57页