第六章MATLAB解曲线拟合问题.docx
第六章 MATLAB解曲线拟合问题曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。§1 线性拟合一、数学模型 y=X+是p´1的参数向量；是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。二、求解线性拟合函数regress调用格式：b=regress(y,X)b,bint,r,rint,stats= regress(y,X)b,bint,r,rint,stats= regress(y,X,alpha)说明：b=regress(y,X)返回X处y的最小二乘拟合值。bint返回的95%的置信区间。r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值与p值。三、举例例1：设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即y=10x+ ；求线性拟合方程系数。程序：编写M文件mainG.m如下：x=ones(10,1) (1:10) ' %ones(m,n)产生一个m行n列的元素全为1的矩阵 %（1：10）产生一个10行1列的元素值从110的矩阵 % A B 将矩阵A与B拼接成新矩阵或者写成A；By=x*10;1+normrnd(0,0.1,10,1) % R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) 依据参数MU、SIGMA生成一个随机数，m与n是R的行数与列数. b,bint=regress(y,x,0.05)结果：x = 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10y = 10.9567 11.8334 13.0125 14.0288 14.8854 16.1191 17.1189 17.9962 19.0327 20.0175b = 9.9213 1.0143bint =9.7889 10.0537 0.9930 1.0357即回归方程为：y=9.9213+1.0143x§2 多项式曲线拟合二、求解多项式曲线拟合函数ployfit调用格式：p=polyfit(x,y,n)p,s= polyfit(x,y,n)说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，p为幂次从高到低的多项式系数向量。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)三、举例例2：由离散数据拟合出多项式。x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4.81.52程序：x=0:.1:1;y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2；n=3;p=polyfit(x,y,n)xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi); %多项式求值plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')legend('原始数据','3阶曲线')结果：p = 16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035曲线拟合图形：例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)程序：x=1:20;y=x+3*sin(x);p=polyfit(x,y,6)xi=1inspace(1,20,100);z=poyval(p,xi); %多项式求值函数plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)legend(原始数据,6阶曲线)结果：p =0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304 图 6阶曲线 图10阶曲线例4：再用10阶多项式拟合程序：x=1:20;y=x+3*sin(x);p=polyfit(x,y,10)xi=linspace(1,20,100);z=polyval(p,xi);plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')legend('原始数据','10阶多项式')结果：p = Columns 1 through 7 0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360 Columns 8 through 11 -42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671说明：可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。§3 多项式曲线求值函数polyval( )调用格式：y=polyval(p,x)y,DELTA=polyval(p,x,s)说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。y,DELTA=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则YDELTA将至少包含50%的预测值。§4 多项式曲线拟合的评价与置信区间函数polyconf( )调用格式：Y,DELTA=polyconf(p,x,s)Y,DELTA=polyconf(p,x,s,alpha)说明：Y,DELTA=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。1-alpha为置信度。例5：给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。程序：x=0:.1:1;y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2n=3;p,s=polyfit(x,y,n) alpha=0.05;Y,DELTA=polyconf(p,x,s,alpha)结果：p =16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035s = R: 4x4 double df: 7 normr: 1.1406Y = Columns 1 through 7 -0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413 Columns 8 through 11 0.8238 0.8963 1.2594 2.0140DELTA = Columns 1 through 7 1.3639 1.1563 1.1563 1.1589 1.1352 1.1202 1.1352 Columns 8 through 11 1.1589 1.1563 1.1563 1.3639§5 稳健回归函数：robust( )稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。调用格式：b=robustfit(x,y)b,stats=robustfit(x,y)b,stats=robustfit(x,y,wfun,tune,const)说明：b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；wfun指定一个加权函数；tune为调协常数；const的值为on(默认值)时添加一个常数项；为off 时忽略常数项。例6：演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。程序： x=(1:10);y=10-2*x+randn(10,1);y(10)=0;bls=regress(y,ones(10,1) x) %线性拟合brob=robustfit(x,y) %稳健拟合scatter(x,y)hold onplot(x,bls(1)+bls(2)*x,:)plot(x,brob(1)+brob(2)*x,r)结果 ：bls = 8.4452 -1.4784brob =10.2934 -2.0006分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响，向异常值偏移。§6 向自定义函数拟合对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。二、向自定义函数拟合所用函数：nlinfit( )调用格式：beta,r,J=nlinfit(X,y,fun,betao)说明：beta返回函数fun中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。X,y为数据；fun自定义函数；beta0待定常数初值。例7：在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。x y x y x y80.49160.43280.4180.49180.46280.40100.48180.45300.40100.47200.42300.40100.48200.42300.38100.47200.43320.41120.46200.41320.40120.46220.41340.40120.45220.40360.41120.43240.42360.36140.45240.40380.40140.43240.40380.40140.43260.41400.36160.44260.40420.39160.43260.41首先定义非线性函数的m文件：fff6.mfunction yy=model(beta0,x) a=beta0(1); b=beta0(2); yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8);程序：x=8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00. 16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00. 24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 32.00. 34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00' y=0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43. 0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.41. 0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39' beta0=0.30 0.02;betafit = nlinfit(x,y,'sta67_1m',beta0)结果：betafit =0.38960.1011 即：a=0.3896 ，b=0.1011 拟合函数为：第 - 9 - 页
