四年级奥数教师版第五讲倒推法的应用题.doc
第五讲 倒推法的应用 知识导航 在分析应用题的过程中,倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发,利用已知条件一步一步倒着分析、推理,直到解决问题. 用倒推法解题时要注意:从结果出发,逐步向前一步一步推理. 在向前推理的过程中,每一步运算都是原来运算的逆运算. 列式时注意运算顺序,正确使用括号. 例1: 一次数学考试后,李军问于昆数学考试得多少分.于昆说:“用我得的分数减去8加上10,再除以7,最后乘以4,得56.”小朋友,你知道于昆得多少分吗?解析:这道题如果顺推思考,比较麻烦,很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析,就像剥卷心菜一样层层深入,直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题:一个数减去8,加上10,再除以7,乘以4,结果是56.求这个数是多少?把一个数用来表示,根据题目已知条件可得到这样的等式:(8)10÷7×456. 如何求出中的数呢?我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的,而乘以4之前是56÷414.14是除以7后得到的,除以7之前是14×798.98是加10后得到的,加10以前是98-1088.88是减8以后得到的,减8以前是88896.这样倒推使问题得解. 解:(8)10÷7×456(8)10÷756÷4=14(8)10=14×7=988=98-10=88=88+8=96答:于昆这次数学考试成绩是96分. 【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_.解析:( + 6)×6- 6=6解:运用倒推法知这个数为(6×6+6)÷6-6=1【解题技巧】解答此类问题的方法规律是:原题加,逆推为减;原题减,逆推为加;原题乘,逆推为除;原题除,逆推为乘。例2 :小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说:“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_岁.解析:( + 17)÷4- 15×10 100采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100÷10+15)×4-17=83(岁) 【巩固】某数除以4,乘以5,再除以6,结果是615,求某数.解析:(÷4)×5÷6=615解:运用倒推法知这个数为615×6÷5×4=2952例3:马小虎做一道整数减法题时,把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差是111.问正确答案应是几?解析:马小虎错把减数个位上1看成7,使差减少7-16,而把十位上的7看成1,使差增加70-1060.因此这道题归结为某数减6,加60得111,求某数是几的问题.解:111-(70-10)(7-1)57答:正确的答案是57.【巩固】在计算一道减法题时,小马虎把被减数个位上的3看做8,把减数十位上的6看做9,结果得出的差是60.正确的结果是多少?解析:被减数个位上的3看做8,差就多加了5;减数十位上的6看做9,差就多减去30.要求出正确的差,就应该用60加上30,减去5.解:。例4:树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上,这时三棵树上鸟的只数相等.问:原来每棵树上各落多少只鸟?解析:倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析,可得出现在每棵树上鸟的只数48÷316(只).第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的,所以第三棵树上原落鸟16-610(只).同理,第二棵树上原有鸟166-814(只).第一棵树上原落鸟16824(只),使问题得解.解:现在三棵树上各有鸟多少只?48÷316(只)第一棵树上原有鸟只数.16824(只)第二棵树上原有鸟只数.166-814(只)第三棵树上原有鸟只数.16-610(只)答:第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.【巩固】ABC三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具,而B又将6个玩具给C,这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个?解析:从三人的玩具数相等入手分析, 可得到每人的玩具数例5:篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问:篮子里原有梨多少个?解析:依题意,画图进行分析.解:列综合算式:(11)×21×21×222(个)答:篮子里原有梨22个. 【巩固】一桶油倒去一半后,再倒去剩下的一半,这时连桶还有16千克。已知桶重5.5千克,那么原来这桶油连桶共重多少?解析:倒去两次后连桶有16千克,这16千克不仅有剩下的油的质量还有桶的质量,桶重5.5千克,易知剩下的油重16-5.5=10.5千克,利用倒推法得油重10.5×2×2=42千克。故这桶油连桶重42+5.5=47.5千克。解:(16-5.5)×2×2+5.5=47.5(千克)例6:“六i一”儿童节,小明和小培从妈妈那儿分得一些糖,妈妈把糖分成相同的两份给他们,多的一个给自己留下了.小明在路上遇着自己的两个朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的两颗分别送给了两个朋友.过了一会儿,又遇上两个小朋友,他同样分给他们糖,多的两颗分给了他们,后来,他又遇上了两个朋友,分完糖之后,小明发现自己只剩下一颗糖了,请问妈妈原来有多少糖?解析:最后一次分糖前小明有糖3+2=5颗;倒数第二次分糖前小明有糖5×3+2=17颗;倒数第三次分糖前小明有糖17×3+2=53颗;妈妈原来有糖53×2+1=107颗.【巩固】A、B、C三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具,而B又将6个玩具给C,这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个?解析:从三人的玩具数相等入手分析,可得到每人的玩具数为(个)。然后再看每人的玩具数是怎样得到的,最后用倒推法就使问题解决了。解:C:(个) B:(个) A:(个)例7:甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来,售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍;然后从乙桶倒一部分给甲桶,使甲桶油也增加一倍,这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问:售货员从两个桶里各卖了多少千克油?解析:解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×21416(千克).又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后,再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克,从而求出从两个油桶各卖出多少千克.解:甲乙两桶油共剩多少千克?15×2-1416(千克)乙桶油剩多少千克?16÷(31)4(千克)甲桶油剩多少千克?4×312(千克)用倒推法画图如下:从甲桶卖出油多少千克?15-114(千克)从乙桶卖出油多少千克?15510(千克)答:从甲桶卖出油4千克,从乙桶卖出油10千克. 【巩固】甲乙丙三人共有图书120本,乙向甲借3本书后,又送给丙5本,结果三个人的数量相等。甲乙丙原来各有多少本书?解析:从三人数量相等入手:(本);再根据已知往回逆推,得解。解:(本) 甲:(本) 乙:(本) 丙:(本) 课后练习1、 一个数除以18,乘4,加上6039,等于6139,这个数是多少?解析:由于原来的计算为“”,根据运算顺序,用倒推法思考:这个数不加上6039时是多少,这个数不乘4时时多少,这个数不除以18时是多少,从6139入手,依次倒推,就可以求出这个数是多少。解:2、 小明在做加法题时,把一个加数个位上的6写成9,十位上的6写成0,结果得到错误的得数584,正确得数应该是多少?解析:个位上的6看做9,和就多了3;十位上的6看做0,和就少加了60.要求出正确的和,就应该用60加上3.解:3、 几个数相加时,把一个加数个位上的0写成9,把十位上的9写成6;另一个加数百位上少写3,这时得到的和是1395.那么原来几个数的和是多少?解析:应为是相加的,所以多加的要减去,少加的要加上。并且要知道,在各位少几就是几个;在十位少几,就是少几十;在百位少几,就是少几百。解:4、从第一堆糖中拿一半放入第二堆,拿35粒放入第三堆,再拿出剩下中的一半放入第四堆,最后又吃掉第一堆中的2粒,这时第一堆中还有48粒,第一堆原有糖多少粒?解析:从吃了第一堆中的2粒,还有48粒入手,倒推出第一堆原有的糖的粒数。解:最后一堆没吃2粒前没放第四堆前没放第三堆前没放第二堆前48算式:(粒)5、 三筐苹果共有90千克,如果从甲筐取出15千克放入乙筐,从乙筐取出20千克放入丙筐,从丙筐取出17千克放入甲筐,这时三筐苹果就同样重了。甲乙丙原来各有苹果多少千克?解析:如图;先考虑已经平分,则可知每筐有:甲乙丙-15+15+20+17-20-17解:(个)甲:(个) 乙:(个)丙:(个)6、三年级三个班共有学生156人,若从三(1)班调5人到三(2)班,从三(2)班调8人到三(3)班,再从三(3)班调4人到三(1)班,这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人?三(1)班三(2)班三(3)班-5+5+8+4-8-4解析:如图;解:156÷3=52(人) 三(1)班:52-4+5=53(人) 三(2)班:52+8-5=55(人) 三(3)班:52+4-8=48(人)7、有砖26块,兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多,就抢过一半;弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半;哥哥不服,弟弟只好给哥哥5块。这时,哥哥挑14块,弟弟挑12块。最初弟弟准备挑多少块?解:14-5=9(块)9×2=18(块)26-18=8(块)8×2=16(块)8、三人共有糖72粒,若甲给乙,丙各一些,使他们增加1倍。接着乙又给甲,丙各一些,使他们翻倍。最后丙也给甲,乙各一些,使他们翻倍。这时三人糖数相等,三人原来各有几粒糖?解:72÷3=24(粒)甲乙丙最后的糖果数242424丙不给甲,乙121248乙不给甲,丙64224甲不给乙,丙3921129、 一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩下7米,这捆电线原来总长多少米?解析:关键是找好这三次之间的关系,用倒推的方法依次可以返回每次用之前的长度。解:第三次用之前的一半是:(米)第二次用之前的一半是:(米)第一次用之前的一半是:(米)全长:(米) 答:原来长54米。10、袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半,再放回一个,一共做了5次,袋中还有3个球,原来袋中有几个球?解析:每次那后剩下的是拿之前的一半多一个。从最后袋中的3个球,依次向前推算解决问题。解:最后袋中有3个球;第5次拿之前:(个)第4次拿之前:(个)第3次拿之前:(个)第2次拿之前:(个)第1次拿之前:(个)答:省去。- 7 - / 8