江苏省扬州市2015-2016学年上学期高二(上)期末数学试卷(解析版).doc

2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1命题“xR，x2+x+10”的否定是2某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=3在区间0，4上任取一个实数x，则x2的概率是4根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5若f（x）=5sinx，则=6在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为7如图，该程序运行后输出的y值为8一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为cm39若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=10设l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：若，l，则l；若lm，l，m，则；若m，lm，则l；若l，l，则其中真命题的序号有（写出所有正确命题的序号）11已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为12已知可导函数f（x）（xR）的导函数f（x）满足f（x）f（x），则不等式f（x）f（2016）ex2016的解集是13若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为14若a0，b0，且函数f（x）=aex+（b23）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于二、解答题：（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示（学生成绩都在50，100之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率16如图，在四面体ABCD中，ABCD，ABADM，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点（1）求证：CD平面MNQ；（2）求证：平面MNQ平面ACD17已知命题p：“存在xR，x22x+m0”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：tmt+1（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围18已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（1）当a=2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间2，2上的最大值为22，求它在该区间上的最小值19椭圆E： +=1（ab0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由20已知函数f（x）=lnx，g（x）=x1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）kg（x），求实数k的取值范围2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1命题“xR，x2+x+10”的否定是xR，x2+x+10【考点】命题的否定【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案【解答】解：命题“xR，x2+x+10“的否定是：xR，x2+x+10故答案为：xR，x2+x+10【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”2某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=75【考点】分层抽样方法【分析】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量【解答】解：设出样本容量为n，由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，=，n=75，故答案为：75【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样3在区间0，4上任取一个实数x，则x2的概率是【考点】几何概型【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，可得答案【解答】解：数集（2，4的长度为2，数集0，4的长度为4，在区间0，4上任取一个实数x，则x2的概率为=，故答案为：【点评】本题考查了几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值4根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5【考点】伪代码【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x0，即可求得y的值【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x0，y=5故答案为：5【点评】本题主要考查了伪代码和算法的应用，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基本知识的考查5若f（x）=5sinx，则=0【考点】导数的运算【分析】利用导数计算公式得出解：f（x）=5cosx，代入计算即可【解答】解：f（x）=5sinx，f（x）=5cosx，则=0故答案为；0【点评】本题考查了导数的概念，运算，属于计算题，难度不大，准确计算即可6在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7如图，该程序运行后输出的y值为32【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟该程序的运行过程，得出程序运行后输出的y值【解答】解：模拟该程序的运行过程，如下；n=1，n3，n=1+2=3，y=23=8；n3，n=3+2=5，y=25=32；n3，终止循环，输出y=32故答案为：32【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目8一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12cm3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求出【解答】解：圆锥的高h=4，圆锥的体积V=××32×4=12故答案为：12【点评】本题考查了圆锥的结构特征，体积计算，属于基础题9若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=7【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的a=2，运用双曲线的定义，可得|PF1|PF2|=2a，解方程即可得到所求距离【解答】解：双曲线的a=2，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a=4，即有|3|PF2|=4，解得|PF2|=7（1舍去）故答案为：7【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题10设l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：若，l，则l；若lm，l，m，则；若m，lm，则l；若l，l，则其中真命题的序号有（写出所有正确命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在中，由直线与平面垂直的判定定理得l；在中，与相交或平行；在中，l或l；在中，由面面垂直的判定定理得【解答】解：由l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，知：在中，若，l，则由直线与平面垂直的判定定理得l，故正确；在中，若lm，l，m，则与相交或平行，故错误；在中，若m，lm，则l或l，故错误；在中，若l，l，则由面面垂直的判定定理得，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用11已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，由题意可得a的方程，解方程可得a，即可得到所求渐近线方程【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=，双曲线=1的左准线为x=，由题意可得=，解得a=±2，可得双曲线的方程为x2y2=4，即有渐近线的方程为y=±x故答案为：y=±x【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用抛物线的准线方程，考查运算能力，属于基础题12已知可导函数f（x）（xR）的导函数f（x）满足f（x）f（x），则不等式f（x）f（2016）ex2016的解集是2016，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造函数g（x）=，求出g（x），得到g（x）在R递增，从而求出不等式的解集【解答】解：由f（x）f（2016）ex2016，得：，令g（x）=，g（x）=，f（x）f（x），g（x）0，g（x）在R递增，x2016，故答案为：2016，+）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题13若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为=1，由此能求出该椭圆被直线y=x+1截得的弦长【解答】解：设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4， =4，解得a=2，c=1，b2=a2c2=3，椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8x8=0，设直线y=x+1与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：|AB|=故答案为：【点评】本题考查椭圆弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用14若a0，b0，且函数f（x）=aex+（b23）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于2【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求导数f（x），据题意便有f（0）=a+b23=0，从而得出a=3b2，从而ab=b3+3b，并且根据a0，b0，可求出，并设g（b）=b3+3b，求导数，根据导数符号便可判断出g（b）在b=1时取得最大值，这样即可求出ab的最大值【解答】解：f（x）=aex+b23；f（x）在x=0处取得极值；f（0）=a+b23=0；a=3b2；ab=（3b2）b=b3+3b；a0，b0；3b20；设g（b）=b3+3b，g（b）=3b2+3=3（1b2）；b（0，1）时，g（b）0，b时，g（b）0；b=1时，g（b）取最大值2；即ab的最大值为2故答案为：2【点评】考查函数极值的概念，以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程，清楚函数在极值点处的导数为0，注意正确求导二、解答题：（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示（学生成绩都在50，100之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）根据频率和为1，列出方程，求出a的值；（2）利用组中值，即可估算该班级的平均分；（3）根据成绩为优秀等级有16人，即可求出从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率【解答】解：（1）由题（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，20a×10=1，（2分）a=0.005，（4分）（2）该班级的平均分为=76.5；（3）成绩为优秀等级有16人，从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0.4【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算，是基础题目16如图，在四面体ABCD中，ABCD，ABADM，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点（1）求证：CD平面MNQ；（2）求证：平面MNQ平面ACD【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）利用M，Q分别为棱AD，AC的中点，证明MQCD，即可证明CD平面MNQ；（2）证明MN平面ACD，即可证明平面MNQ平面ACD【解答】证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQCD，（3分）又CD平面MNQ，MQ平面MNQ，故CD平面MNQ （7分）（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MNAB，又ABCD，ABAD，故MNAD，MNCD （9分）因为ADCD=D，AD，CD平面ACD，所以MN平面ACD又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面ACD （14分）【点评】本题考查线面平行，平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17已知命题p：“存在xR，x22x+m0”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：tmt+1（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）若p为真：0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）（1，2），解出即可得出【解答】解：（1）若p为真：=44m0（1分）解得m1（2分）若q为真：则（3分）解得1m2（4分）若“p且q”是真命题，则（6分）解得1m1（7分）（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）（1，2）（11分）即（等号不同时成立）（13分）解得1t1（15分）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（1）当a=2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间2，2上的最大值为22，求它在该区间上的最小值【考点】函数的最值及其几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，进而得到最小值【解答】解：（1）f（x）的导数为f（x）=3x2+6x+9，可得切线的斜率为f（2）=9，切点为（2，20），所以f（x）在x=2处的切线方程为y20=9（x2），即9xy+2=0（2）令f（x）=3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=1，当x（2，1）时，f'（x）0，所以f（x）在x（2，1）时单调递减，当x（1，2）时f'（x）0，所以f（x）在x（1，2）时单调递增，又f（2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）f（2）因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=22，解得a=0故f（x）=x3+3x2+9x，因此f（1）=5，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为5【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题19椭圆E： +=1（ab0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆E： +=1（ab0）经过点（1，），且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由此利用点差法能证明k1+k2=0（3）当直线l与y轴平行时，Q点的坐标为（x0，0）；当直线l与y轴垂直时，Q点坐标只可能为，再证明对任意直线l，均有即可【解答】解：（1）椭圆E： +=1（ab0）经过点（1，），且离心率为，解得a=2，b=1椭圆E的方程为（4分）证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意P（1，0），Q（2，0），若y1=y2，则k1=k2=0，结论成立（此处不交代扣1分）若y1y2，则x1y2+x2y1=2（y1+y2），（10分）备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分解：（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有，即QC=QD，Q在x轴上，可设Q点的坐标为（x0，0）当直线l与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为，由，有，解得若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（12分）下面证明：对任意直线l，均有记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意，若y1=y2，则k1=k2=0点B于x轴对称的点B'的坐标为（x2，y2）kQA=kQB，Q，A，B'三点共线对任意直线l，均有（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查k1+k2=0的证明，考查是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线位置关系的合理运用20已知函数f（x）=lnx，g（x）=x1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）kg（x），求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出导数，由导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由题意可得a=lnx（x1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx（x1），求出导数，求得单调区间、极值和最值，可得a的范围；（3）由题意可得当x（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x1）的上方，求出f（x）的单调区间，画出它们的图象，由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得k的范围【解答】解：（1）函数f（x）=lnx的导数为f（x）=（x1）=，（x0），由f（x）0，可得x，即有f（x）的单调减区间为（，+）；（2）由题意可得a=lnx（x1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx（x1），h（x）=（x1）1=，即有h（x）在（，1）递增，（1，e）递减，且h（1）=0，h（）=（1）2h（e）=2e（e1）2，由题意可得（1）2a0，解得0a（1）2+；（3）由题意可得当x（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x1）的上方，由f（x）=（x1）=，（x0），可得f（x）的增区间为（1，）减区间为（，+）；直线y=k（x1）为过定点（1，0）的直线画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x）相切时，切点为（1，0），可得k=f（1）=1（11）=1，通过直线绕着定点（1，0）旋转，可得k的取值范围是k1【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题