北师大版数学必修四任意角的正弦函数余弦函数的定义与周期性导学案含解析.docx
第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简单应用.在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角,它的终边与圆交于点P(),则比值叫作角的,记作 =;比值叫作角的,记作 =. 当1时,任意角的终边与单位圆交于点P(),我们可以唯一确定点P(),点P的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:. 通常我们用分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值. 问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若=+2k(kZ),则 . 问题3:正、余弦函数值的符号(1)表格表示象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限 问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数称为这个函数的. (2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2,2,4等都是它们的周期.其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为. 1.若 <0 >0,则的终边(不含端点)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角的终边经过点(-6,8),则 的值为().B.D.3.若点P在角的终边上,且2,则点P的坐标是. 4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置的距离(即A'到的距离,设分针长为r ).判断正弦、余弦函数值的符号判断下列各式的符号.(1)(-345°);(2) 175° 248°.周期函数的证明已知f(2)(x),求证(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角的终边在直线x上,求 -的值.若角的终边落在直线上,求+的值.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值. 已知角的终边经过点P() (x0),且 =x,求 +的值. 1.等于().A.±B.D.2.已知 · <0,那么角是().A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第二或第四象限角D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)=;(2) 405°=. 4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(1),求证(x)是以2为周期的周期函数.(2011年·江西卷)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4)是角终边上一点,且 ,则. 考题变式(我来改编):第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性知识体系梳理问题1:正弦余弦角正弦 (R)角 (R) x(xR) x(xR)问题2:相同相同=问题3:正正负负正负负正问题4:(1)非零f()(x)周期(2)2k(k0)最小正周期基础学习交流1 <0,在第三、四象限及y轴的负半轴上,由 >0,可知在第一、四象限及x轴的正半轴上,故在第四象限.2 =.3.(-1,) =2×(-)1 =.点P的坐标为(-1,).4.解:1125°=360°×3+45° 45°=r().重点难点探究探究一:【解析】(1)-345°360°+15°是第一象限角,(-345°)>0.(2)175°是第二象限角,248°是第三象限角, 175°>0 248°<0, 175° 248°<0.【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键,同时可结合图形帮助理解.探究二:【解析】f(4)(2)+2(2)(x),f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.【小结】一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,使得对任意x都有f()(x),那么f(x)就是一个周期为T的周期函数,故解决此类问题的关键是找出周期T,并证明上述等式成立.探究三:【解析】求角的正、余弦值关键是确定角的终边上任一点的坐标,所以在角的终边上取一点P(43),则=5.于是 = =,所以 -=+=.问题上述解法全面吗?结论角的终边在一条直线上时,要对角的终边为射线x(x0)还是为射线x(x>0)进行分类讨论.于是,正确解答如下:在角的终边上取一点P1(43).则1=5.于是 = =, -=.在角的终边上取一点P2(-4,3).则2=5.于是 = =, -.综上 -的值为或-.【小结】(1)在角的终边上取点,利用定义求 ;(2)若终边落在直线上,则需分两种情况讨论.思维拓展应用应用一:当的终边落在第二象限时,+=+=0;当的终边落在第四象限时,+=+=0.+=0.应用二:f(x)是以为周期的奇函数,f(-)()(3×+)()1.应用三:P()(x0),点P到原点的距离.又 =x, =x.x0,±,2.当时点的坐标为(),由三角函数的定义,有 =,=, +-;当时,同理,可求得 +=.基础智能检测1 120°.2若 >0 <0,则在第四象限;若 <0 >0,则在第二象限.故选C.3.(1)1(2)(1)(+6)=1.(2) 405°(45°+360°) 45°=.4.解:f(2)(x),即f(2)(x).由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.全新视角拓展-8=,且 ,所以 =,则8.思维导图构建f()(x)
