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第一章 计数原理单元测试题第 13 页一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）15位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A10种B20种 C25种 D32种2甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A36种 B48种 C96种 D192种3. 记者要为5名志愿者与他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）1440种960种 720种480种4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）个个个个5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种(B)60种(C) 100种(D) 120种6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )A.72 B.60 C.48 D.527.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数. A.6 B.9 C.10 D.8 8.AB与CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( )A. B. C. D. 9.设,则的值为( ) A.0 B.-1 C.1 D. 10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军与第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.5611.用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为( ) A.99000 B.99002 C.99004 D.99005 12. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ）A.120 B.240 C.360 D.72二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）.14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）15. 若(2x3+)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n= .16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种。（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。 18从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？19把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1） 43251是这个数列的第几项？（2） 这个数列的第96项是多少？（3） 求这个数列的各项与.20.（本小题满分12分）求证：能被25整除。21. （本小题满分14分）已知的展开式的各项系数之与等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数.22. （本小题满分14分）若某一等差数列的首项为,公差为展开式中的常数项,其中m是除以19的余数，则此数列前多少项的与最大？并求出这个最大值.单元测试卷参考答案排列、组合、二项式定理一、选择题：（每题5分，共60分）1、D解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D2、C解析甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C3、解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B4、A解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A5、B解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B 6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有种不同的排法,其中0在首位的有种不符合题意,所以共有种.7、C解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.8、D解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.9、C 解析: 由可得:当时, 当时, 10、A 解析:先进行单循环赛,有场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负,两胜者打1场决出冠、亚军,两负者打1场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64场.11、C解析:12、A 解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有种不同的取法,共有种不同的取法.二、 填空题(每小题4分，共16分）13、1260解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有14、24解析：可以分情况讨论： 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数； 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数； 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个15、7解析：若(2x3+)n的展开式中含有常数项，为常数项，即=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7.16、36种解析从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员与体育委员，不同的选法共有种三、解答题（共六个小题，满分74分）17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有221=3种；4分支线c中至少有一个电阻断路的情况有221=7种，6分每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况.10分18. 解：分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有种情况，所以符合题意的七位数有个3分 上述七位数中，三个偶数排在一起的有个6分上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有个9分上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有个.12分19.解：先考虑大于43251的数，分为以下三类 第一类：以5打头的有： =24 第二类：以45打头的有： =6 第三类：以435打头的有： =22分故不大于43251的五位数有：（个）即43251是第88项.4分数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.8分因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的与为：（1+2+3+4+5）·A·1000010分同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项与为：（1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+1000+10000）=15×24×11111=399996012分20.证明:因 3分8分10分显然能被25整除,25n能被25整除,所以能被25整除.12分21. 设的展开式的通项为.6分若它为常数项,则,代入上式.即常数项是27，从而可得中n=7，10分同理由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35.14分22. 由已知得：,又,2分所以首项.4分,所以除以19的余数是5,即6分的展开式的通项若它为常数项,则,代入上式.从而等差数列的通项公式是：，10分设其前k项之与最大，则，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之与与前26项之与相等且最大，.14分