初中圆的定理和公式汇总(9页).doc

-初中圆的定理和公式汇总-第 9 页初中圆的定理和公式汇总1不在同一直线上的三点确定一个圆。 BA 圆：由定点到定长点的集合叫做圆。符号0 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦： 经过圆心的弦叫直径 半径不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆 同圆、等圆或半径相同的叫做等圆两个完全重合的弧叫等弧 经过平面上一点可画无数个圆；经平面上二点可画无数个圆； 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形的外接圆。 外心：三角形三条中垂线的交点。 三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形。2垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4圆是定点的距离等于定长的点的集合 5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7同圆或等圆的半径相等 8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 9定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 10推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 12 直线L和O相交 dr 直线L和O相切 d=r 直线L和O相离 dr 13切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18圆的外切四边形的两组对边的和相等 19弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 20推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 30相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 31推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 32切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 33推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 35 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr) 36定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 37 定理 把圆分成n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 38定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°n 40定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 41正n边形的面积Sn=pnrn2 p表示正n边形的周长 42正三角形面积3a4 a表示边长 43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°n=360°化为（n-2）(k-2)=4 44弧长计算公式：L=n兀R180 45扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR2 46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 47定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。图2图1直线AB切O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）ÐAPC,ÐAPD,ÐBPD,ÐBPC4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中ÐAPC=ÐCDP等证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为ÐCPO=ÐPCO,所以ÐCOP=180°-2ÐCPO而ÐCPO=90°-ÐAPC,故ÐCOP=2ÐAPC,即ÐCDP=ÐAPC。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PBPC·PD连结AC、BD，ÐC=ÐB,ÐA=ÐD,所以APCDPB相交弦定理的推论O中，AB为直径，CDAB于P.PC2PA·PB用相交弦定理.切割线定理O中，PT切O于T，割线PB交O于APT2PA·PB连结TA、TB，则PTA=B（弦切角等于同弧圆周角）所以PTAPBT，所以PT2PA·PB切割线定理推论PB、PD为O的两条割线，交O于A、CPA·PBPC·PD过P作PT切O于T，用两次切割线定理圆幂定理O中，割线PB交O于A，CD为弦P'C·P'Dr2OP'2PA·PBOP2r2r为O的半径延长P'O交O于M，延长OP'交O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向O作任一直线，交O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|（R为圆半径），因为叫做点对于O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1例2.O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，求CE。 图2例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则_。例4.如图3，P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是_cm。图3例5.如图4，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D，求证：（1）；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的长。 图4例6.如图5，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E。求证：图5例7.如图6，PA、PC切O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BCCD·AB图6例8.如图7，在直角三角形ABC中，A90°，以AB边为直径作O，交斜边BC于点D，过D点作O的切线交AC于E。求证：BC2OE。 图7例9.如图8，在正方形ABCD中，AB1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当DEF45°时，求证:点G为线段EF的中点； 图8【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题 1.已知：PA、PB切O于点A、B，连结AB，若AB8，弦AB的弦心距3，则PA（ ） A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如图1直线MN与O相切于C，AB为直径，CAB40°，则MCA的度数（ ）图1 A. 50° B. 40° C. 60° D. 55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC中，D是BC边上的点，AD=cm，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 6. PT切O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O于B和A，B在线段PD上，若CD2，AD3，BD4，则PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题 7. AB、CD是O切线，ABCD，EF是O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则EOF_度。 8.已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PA·PB24，OP5，则O的半径长为_。 9.若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20，PA=，则PC的长为_。 10.正ABC内接于O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交O于点D，连结BD交AC于P，则=_。三、解答题 11.如图2，ABC中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N是ABC与内切圆的切点，DE切O于点M，且DEAC，求DE的长。图212.如图3，已知P为O的直径AB延长线上一点，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。图3 13.如图4，已知AD为O的直径，AB是O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB=cm，求O的半径。图4