《数学分析》14无穷小量与无穷大量.doc

§无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。u 引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：. 我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：我们给这类函数一个名称“无穷小量”。既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容无穷小量与无穷大量。一、无穷小量1定义：设在某内有定义。若，则称为当时的无穷小量。记作：.（类似地可以定义当时的无穷小量）。例：都是当时的无穷小量；是当时的无穷小量；是时的无穷小量。2无穷小量的性质（）先引进以下概念定义（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作：.例如：是当时的有界量，即; 是当时的有界量，即.注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则.区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在>，在定义域内每一点，都有。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（）性质性质两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。性质是当时的无穷小量.例如；，.问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：.引申：同为无穷小量，而不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于（或趋近于）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是的“指数”，当时，的指数越大，它接近于的速度越快。这样看来，当时，的收敛速度快于的收敛速度。所以其变化结果以为主。此时称是（当时）的高阶无穷小量，或称时， 是的低阶无穷小量。一般地，有下面定义： 无穷小量阶的比较（主要对叙述，对其它类似）设当时，均为无穷小量。（） 若，则称时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作. 即.例 ，.问题 ，此时是可说？引申 与上述记法：相对应有如下记法：，这是什么意思？含义如下：若无穷小量与满足关系式，则记作.例如，（），. （）若.注 等式，等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“”叫的含义是“”。例如：，其中，而上述等式表示函数。为方便起见，记作（） 若存在正数和，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量。但需要注意：不存在，并不意味着与不全为同阶无穷小量。如，不存在。但，所以与为当时的同阶无穷小量。由上述记号可知：若与是当时的同阶无穷小量，则一定有：。（） 若，则称与是当时的等价无穷小量，记作.例如：）; ）.对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。定理 设函数、在内有定义，且有. (1) 若，则；(2) 若，则例 求. 例 求极限.注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。例如.二、无穷大量问题 “无穷小量是以为极限的函数”。能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲为函数当时的极限，意味着是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当时，与无限接近。例如：），当时，与越来越接近，而且只要与充分接近，就会无限增大；），当时，也具有上述特性。在分析中把这类函数称为当时有非正常极限。其精确定义如下：非正常极限定义（非正常极限）设函数在某内有定义，若对任给的>0，存在，当时有，则称函数当时有非正常极限，记作。注：）若“”换成“”，则称当时有非正常极限；若换成 则称当时有非正常极限，分别记作.2) 关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列当时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如：，当时，;，当时，.无穷大量的定义定义对于自变量的某种趋向（或），所有以为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。例如：当时是无穷大量；当时是无穷大量。注：）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;）若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。例如；在上无界，但;）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。利用非正常极限定义验证极限等式例证明.例证明；当时，。三、无穷小量与无穷大量的关系定理（）设在内有定义且不等于，若为当时的无穷小量，则为时的无穷大量；（）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量。四、曲线的渐近线 引言作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。由平面解析几何知：双曲线有两条渐近线。那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？曲线的渐近线定义定义若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某实直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线。形如的渐近线称为曲线的斜渐近线；形如的渐近线称为曲线的垂直渐近线。 曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？（）斜渐近线假设曲线有斜渐近线，曲线上动点到渐近线的距离为依渐近线定义，当时（或类似），即有，又由.由上面的讨论知，若曲线有斜渐近线，则常数与可相继由和式求出；反之，若由和求得与，则可知（），从而为曲线的渐近线。（）垂直渐近线若函数满足），则按渐近线定义可知有垂直于x轴的渐近线，称为垂直渐近线。例求曲线的渐近线。