A组合投资的收益和风险问题安徽工程大学数学建模课程论文设计.doc

安徽工程大学数学建模课程论文设计组合投资的收益和风险问题姓名：孙伦周班级：数学112 学号：3110801212 指导老师：周金明 完成日期：2013.6.25摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。我们建立非线性规划模型，仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。关键词：最大利润 投资风险 独立投资 捐赠一、问题重述某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资和项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见表4。在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?二、问题假设1、无交易费和投资费用等的费用开支；2、在投资的5年时间内市场发展基本上是稳定的；3、投资期间社会政策无较大变化；4、公司的经济发展对投资无较大影响；5、外界因素对投资的资产无较大影响。 三、符号的约定第五年末的利润；第年初的可用总资金，也就是第年末的可用总资金；第年获得捐赠的资金数目第年第五个项目重复投资的次数三个项目同时投资的利润率两个项目同时投资的利润率收益的标准差；第个项目的投资额上限；第年初对第个项目的投资额；模型一中第个项目的预计到期利润率；模型三中第年第 个项目的利润率；四、模型的建立与求解5.1问题1模型的建立与求解通过以上的分析，我们可以运用线性规划的方法建立模型1。目标函数是第五年末的总利润:(1.0)约束条件为：项目1和2每年的投资金额的限制：,(1.1)项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：,(1.2)项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：,(1.3)项目7运行期为4年，且要第二年初投资，所以只投资一次：(1.4) 项目8运行期为3年，且要第三年初投资，所以也只投资一次：(1.5)第i年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：, (1.6)第一年的投资金额上限：（1.7)第i年的投资金上限为第i-1初的资金减去第i-1年投资用去的资金，再加上第i-1年末回收的的资金, 第2年初至第6年初的投资资金依次如下：(1.8) (1.9)(1.10)(1.11)(1.12)用Lingo编写程序，程序见附录1。解得最大利润为 153254.4（万元） ， 投资方案如表1所示 表Error! No text of specified style in document.:1 5年内各项目的投资计划(单位：万元) 投资额（亿元）第一年第二年第三年第四年第五年项目一60000.0045544.4460000.0060000.0060000.00项目二30000.0030000.0030000.0030000.0030000.00项目三40000.000.0000000.00000040000.000.000000项目四10114.6119885.390.00000030000.000.000000项目五3755.5560.00000026044.440.0000000.000000项目六20000.0040000.000.0000000.0000000.000000项目七0.0000000.0000000.0000000.0000000.000000项目八0.00000060000.0030000.000.0000000.000000各年的可用投资金额如表2所示表Error! No text of specified style in document.:2 各年的可用金额(单位：万元) 年份12345可用金额200000.0135429.81462444.4160000.099300.00每年的投资金额总数如表3所示表Error! No text of specified style in document.:3各年的投资金额总数（单位：万元) 年份12345金额数163870.2135429.8146244.4160000.090000.005.2问题1模型的检验在该模型中，影响最终利润的因素有个：（1）预计到期列率；（2）可用投资总资金；（3）各投资项目的上限。我们可以通过分别独立改变这三个因素的值来确定这三个因素对模型的灵敏度，从而反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。反之，通过改变各参数的值，又可以反映和检测所建模型的实际合理性。5.2.1预计到期利润率灵敏度分析本问题目标函数是总利润最大，而当投资总资金和各投资项目的上限一定时，总利润就是与各项目的到期利润率相关，但是作为投资，当利润率越大，获得的利润也相应的越大。所以利润率增大，对实际的投资就越有利。而当利润率减小时，相应的利润也会减小，当利润率减小到一定值的时候，就会出现投资的一个边缘利润，当利润小于这个边缘利润的时候，实际的投资价值就不高，所以投资的项目安排也应该考虑利润率的问题。总的来说，在不考虑风险的情况下，投资利润与投资利润率成正比的关系。5.2.2可用投资总资金的灵敏度分析利润为投资资金与到期利润率的乘积，所以总的可用投资资金直接影响着总利润。所以在实际投资当中，我们就要充分考虑可用投资总资金的改变对总的利润的改变的显著性的大小。假设其他的条件不改变，通过改变投资总资金的大小来观测总收入的变化，具体结果如表4所示，对应曲线如图1所示表Error! No text of specified style in document.:4 最大总利润（单位：万元）投资资金资金改变量总利润利润改变量170000-3000141721.9-11532.5180000-2000147686.7-5567.7190000-1000151439.6-1814.82000000153254.402050005000154160.7906.32060006000154339.31084.92070007000154517.91236.52080008000154696.414422090009000154700.01445.621000010000154700.01445.6图 1利润与可用投资资金的曲线由表格所得的数据和所对应的图象可以得出：1） 当可用投资总额小于208000万元时，总的利润与投资额呈现正比的关系，即投资资金小于208000万元时，投资资金越大，所获得的总利润也相应的越大；反之就越小。但是又由图象可以看出，投资资金在170000万元到208000万元之间，图象可以分为三个阶段（1.7-1.8，1.8-1.9，1.9-2.08），随着投资金额的增大，总利润的增加速率逐渐减小，说明投资资金对总利润的影响越来越小，但是在170000-208000之间，投资金额还是该模型的一个紧约束。2）当可用投资总额大于208000万元时，由图象可以看出，可用投资总额与总利润没有关系，此时的总利润保持154700.0万元不变，所以当投资额大于208000万元时，大于208000万元的那部分对投资来说就是一种浪费，完全没有利润所言，所以作为实际的投资决策者，应该保持可用的投资额接近208000万，不能超过208000万元，以便获得最大的总利润154700.0万元。5.2.3投资上限的灵敏度分析各个项目的投资上限也是影响总利润的重要因素，通过改变各个项目的投资上限来观测总利润的变化，从而进一步分析模型，表1.5列出了上限在-20000万元到20000之间变化的利润变化。表5投资上限的变化与利润的变化改变量项目-2000015000-10000-5000050001000015000200001-8554.4-6054.4-3554.4-1757.401757.53514.95272.36445.92-9554.4-6804.4-4054.4-2023.802023.94047.86071.77647.33-8554.4-6054.4-3554.4-1685.101685.23370.45055.66740.84-9354.4-6654.4-3954.4-1892.501892.63785.25677.87570.45-7558-5665.1-3772.3-1879.601879.73759.35638.97518.66-8592.5-6444.4-4296.3-2148.102148.24296.364428584.97-14554.4-10554.4-6554.4-3093.703092.66185.29277.812370.48-9558-7165.1-4772.3-2379.602379.74759.37138.99518.6进一步用Matlab画出上表对应的曲线如图2所示图2 投资上限变化量与利润变化的关系上述表1.5和图1.2均反映了各项目上限变动后的总利润与不发生变动前的总利润的差值。由此可以看出，每个项目上限值均与总利润成正比，呈线性分布，即各项目上限的变动对总利润都有影响，但影响的程度各不相同。分析图2发现各项目上限的变动对总利润的影响大致可分为四组，每组中的各项目上限变动对总利润的影响大致持平。分析各项目的预计到期利润率，发现各项目投资上限变动对总利润的影响的大小与其预计到期利润率的大小大致上呈正相关，即利润率越大，其上限变动对总利润的影响也越大。这符合现实中的经济投资理论，投资的目的是最大化总利润，为了实现这个目的，应尽可能的把资金投资在利润大的项目上，所以，当利润大的项目的投资上限变大时，由于是尽可能的将资金投资在该项目上，则总利润也就相应的增大。通过以上对公司的投资资金和各项目的投资上限的灵敏度分析，我们可以发现，这两个因素的变化对总利润的影响都符合现实的经济投资理论，故模型1具有一定的现实合理性。5.2问题2模型的建立与求解运用时间序列分析的方法来建立模型，即利用一个时间序列在t时刻的有效观测值去预报在某个未来时刻t+l该序列的值。我们利用时间序列模型中的一次滑动平均模型（简称MA(1) ）来解决该问题，并用DPS数据处理系统软件和Excel软件处理数据和进行求解。5.2.1独立投资时，对未来五年投资的到期利润率和风险损失率的预测。1.到期利润率的预测首先由表2的数据求出各个项目每年的到期利润率见附表1， MA (q)模型识别原则：如果随机序列的自相关函数截尾，即自q步以后有pk=0(k>q)，而它的偏自相关函数拖尾，则可断定该序列是滑动平均MA(q)序列。实际上，当k>q以后，pk=0是理论上的，一般的情况下，样本自相关函数不会在q步以后全为0,而只是在0的上下波动。但可以证明k>q，样本自相关函数pk渐近服从正态分布N(0,1/n)。 为了更好的处理数据，我们首先计算得到20年每项目的平均利润率见附表2，平均利润率也即到期利润率的趋势值。对样本数据零均值化：实际观测到到期利润率与趋势值之差,具体数据见附表3。接着计算该序列标准自相关函数与偏相关函数，项目1的计算结果如表6所示表6 项目1的相关函数函数序号自相关函数偏自相关函数函数序号自相关函数偏自相关函数1-0.539-0.53960.01020.111420.0576-0.32837-0.0775-0.005530.094-0.06680.0159-0.08484-0.0706-0.024190.09590.058250.06460.0642其他项目的相关函数求法与上面类似。分析上面的数据不难发现偏相关函数逐渐趋向于零，可认为它是拖尾的。而自相关函数的变化有一定的起伏，但在一定的区间内我们可认为在以后是截尾的。根据MA模型判断准则，该时间序列是MA(1)序列。用DPS数据处理软件中MA（1）模型可得项目一的2006年的到期利润率：0.142366。把预测到的到期利润率加入样本中，再用MA(1)预测下一年的到期利润率。依次类推，得到2006年接下来四年的到期利润率。各项目的利润率预期值如表7所示。表7项目利润率的预测值项目年份1234567820060.1423660.1572820.3448980.3957590.9569430.8931592.6261161.58202120070.1415660.1436820.3443980.4132590.9572430.9098592.6605161.58512120080.1408660.1300820.3439980.4307590.9575430.9265592.6950161.58832120090.1400660.1164820.3435980.4481590.9578430.9431592.7294161.59142120100.1392660.1028820.3430980.4656590.9582430.9598592.7639161.5946212.风险损失率的预测风险是指投资中未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。由于投资的风险是在投资之后发生的，而投资者又希望投资前或投资时能够了解到投资的风险，因此，人们通常用投资后收益的各种可能情况和各种可能情况出现的概率来描述风险的程度，即用概率分布来测度风险的程度。我们用收益的标准差来测度风险。标准差是方差的平方根，而方差是各种可能值相对于期望值离散程度的指标，收益率的方差2是各种可能收益率相对于期望收益率离散程度的指标。由于各种可能收益的波动程度越大，方差的均值就越大，所以，方差和标准差可用来测度风险，方差和标准差越大，就意味着风险越大。根据统计学原理，样本的个数越大，对变动率的预测就越准确。所以我们把上面预测出来的到期利润率放到样本中，再进行风险的预测与求解。用Excel中的函数STDEV标准差计算公式求得结果如下表8所示：表8 各项目的风险损失率项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8标准差0.030990.060010.12630.077411.119620.953928.506482.2216由结果可知，各个项目的损失率有明显的差异。在实际的投资情况当中，项目的投资风险损失率与该项目的投资额的多少、项目的运行期的长短有着密切的关系，投资的资金越多，项目的运行期越长，相应承担的风险就越大。由表中的数据我们发现比较符合该事实，所以模型的建立比较成功。5.2.2项目之间相互影响下的投资到期利润率和风险损失率1.到期利润率的预测到期利润率的求法与上面的模型基本相似，仍然采用滑动平均的模型对其进行预测。首先算出相互影响下的到期利润率，结果见附表4。接着求出标准自相关函数与偏自相关函数，见附表5。根据自相关函数和偏自相关函数的数据，我们确立运用ARMA(3,1)模型进行预测，运用DPS数据处理软件预测各项目的投资到期利润率结果如表9所示表9项目利润率的预测值项目年份1234567820060.142360.157280.344890.395750.956940.893152.626111.5820260070.141560.143680.344390.413250.957240.909852.660511.5851220080.140860.130080.343990.430750.957540.926552.695011.5883220090.140060.116480.343590.448150.957840.943152.729411.5914220100.139260.102880.343090.465650.958240.959852.763911.59462表10 相互影响投资是的预测利润率项目年份同时投资三，四同时投资五六同时投资五，六，八项目三项目四项目五项目六项目五项目六项目八20060.53420.43390.5271-0.14631.37140.81792.333820070.4980.42470.76551.0050.81440.72771.795620080.46370.41870.60290.71741.38430.64141.832520090.50790.42590.72830.46491.08920.65261.311720100.48260.42760.68850.6290.88680.66311.48452 风险损失率的预测与独立投资时一样，我们仍然用标准差来代替风险损失率。用Excel中的函数STDEV标准差计算公式求得结果如下表11所示：表11 相互影响投资时的风险损失率项目项目3、4影响项目5、6影响项目5、6、8影响项目3项目4项目5项目6项目5项目6项目8风险损失率0.14410.041560.634821.268031.024081.490980.958655.3 问题三模型的建立与求解运用线性规划的方法建立模型三目标函数是第五年末的总利:（3.0）约束条件为：项目1和2每年的投资金额的限制：， (3.1)项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：，(3.2)项目5和6在三年的运行期投资金额的限制： ， (3.3) 项目7运行期为4年，且要第二年初投资，所以只投资一次： (3.4)项目8运行期为3年，且要第三年初投资，所以也只投资一次：(3.5) 第i年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：， (3.6) 当时 (3.7) 第一年的投资金额上限： (3.8) 第i年的投资金上限为第i-1初的资金减去第i-1年投资用去的资金，再加上第i-1年末回收的的资金, 第2年初至第6年初的投资资金依次如下：(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)(3.13) 当时，(3.14) 当时 (3.15) 否则当 (3.16)(3.17)根据第二问的结果，上面的优化问题通过lingo求解得出的结果如表12：。 表12 投资的分配方式 年份项目2006200720082009201016000021649.596000060000600002600006000060000600006000033500003.57E-08350000430000015395.4614604.5405030000000613318.912.50E-0726681.090070300000008003000000七、模型的优点和缺点对于问题一，在建立模型时考虑的很全面，并且模型中对各方面都有很好的体现，所以此题的模型建立的很好，计算的结果也很符合实际对于问题二，前四个项目的利润率总体变化不是太大，但后四个项目的利润率变化则较为反常，这种现象也恰好反映了其风险性，所以用灰色预测法来处理所给数据，得出的结果也正好跟各自的实际风险情况相对应，虽然存在一定的误差，但大体上符合实际。问题三是在问题一和问题二的基础上作的，只不过增加进去了项目1和5的特殊情况，并且不考虑风险。此题建立的模型只是对模型一的改进。问题四是在考虑风险的情况下对模型三的改进，在实际中，公司在看待风险的方式上可能会有很大的主观因素，所以在处理风险时，加入了偏好系数，即给目标函数加上权值。模型五是在模型四的基础之上又考虑到是否要从银行贷款或将公司的一部分款项存人银行，对此问题的处理是将向银行存款当作第九项投资，用各年年初现有资金来控制其贷款额，这也比较符合实际情况。  参考文献： 1 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析M. 北京：清华大学出版社，2008 2 王志刚，施志佳. 远程火箭与卫星轨道力学基础M. 西安：西北工业大学出版社，2006 3 李盾. 空间预警系统对目标的定位与预报D. 国防科学技术大学博士学位论文，2001 4 张毅，肖龙旭，王顺宏. 弹道导弹弹道学M. 国防科技大学出版社，2005 5 Svehla D, Rothacher MKinematic and reduceddynamic precise orbit determination oflow earth orbiter. JAdvancesin Geosciences，2003(1):47-56 6 张方仁. 最小二乘估计残差的统计性质和应用. 武汉测绘科技大学学报附录2 表1 各项目到期利润率项目年份1234567819860.159500.021940.310650.15812-1.82791.852733.237921.7999219870.167450.023810.435890.194090.67433-0.211972.099961.94575619880.151570.111150.381090.164116-0.6035-1.34097.286252.300619890.148260.095980.132000.239442.003220.669102.61316-1.7756619900.154660.068940.537100.204123.585201.37096-3.2187-0.5117619910.172680.121880.426750.213730.74175-1.43852.863580.43141319920.130430.119550.242300.180091.6101170.20039-9.54444.22520519930.213500.174770.458060.321381.647340.947455.617364.06470619940.085760.1621910.372850.239141.38852-0.3610-5.78081.5013141950.150880.181000.202940.174141.392590.3060813.51673.02832419960.134760.192950.549170.336071.378131.36833-3.15781.01135919970.147160.152090.233340.294220.698950.7515418.44862.4939619980.184310.189620.251280.331700.737021.38670-4.2769-1.1981419990.103700.185520.255570.30819-0.161361.49251-4.8447-1.3717420000.144490.210650.519210.259821.039881.299942.829555.18598620010.1817150.245810.516380.3210111.215521.30994-9.60752.67363520020.146990.197260.267670.341170.648311.0456717.5468-2.1394420030.103870.181240.264010.370040.929051.1079603.90194820040.190790.180380.318340.41585000020050.130750.15483000000表2 前20年每个项目平均利润率项目12345678利润率0.15010.14850.35120.26660.94980.65312.09581.5315表3实际观测值与趋势值之差 项目样本序号1234567810.009341-0.12663-0.04064-0.10854-2.777741.1995771.1421080.26839820.017284-0.124770.084599-0.07256-0.27551-0.865130.0041510.41423430.001403-0.037430.029797-0.10254-1.55339-1.99415.1904350.7690784-0.0019-0.0526-0.21929-0.027221.0533790.0159430.517347-3.3071850.0045-0.079640.185803-0.062542.6353660.717803-5.31452-2.0432960.022516-0.02670.075455-0.05292-0.20808-2.091660.767767-1.100117-0.01973-0.02903-0.109-0.086570.660274-0.45276-11.64032.69368480.0633410.026190.1067620.054730.69750.2942923.5215522.5331849-0.06440.013610.021555-0.027510.438684-1.01423-7.87662-0.03021100.0007190.032424-0.14835-0.092510.442755-0.3470811.420911.49680311-0.01540.0443730.1978720.0694140.4282870.715174-5.25365-0.5201612-0.0030.003512-0.117960.027566-0.250890.0983816.352790.962438130.0341490.041046-0.100020.065044-0.212820.733542-6.37277-2.7296614-0.046460.036938-0.095730.041533-1.111210.839357-6.94061-2.9032615-0.005670.0620730.167918-0.006830.0900440.6467860.7337363.654464160.0315490.0972340.1650880.0543520.2656770.656786-11.70341.14211417-0.003170.04868-0.083630.074515-0.301530.3925115.45103-3.6709618-0.046290.032663-0.087280.10339-0.020790.45480302.370426190.0406310.031807-0.032960.14919220-0.019410.006248 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