2016届江西省九江市高三下学期第三次模拟考试理数试题(解析版).doc

2016届江西省九江市高三下学期第三次模拟考试理数试题（解析版）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A B C D【答案】D考点：1、指数数不等式；2、集合的交集、并集和补集运算 【易错点晴】本题主要考查的是指数数不等式和集合的交集、并集和补集运算，属于容易题解不等式时一定要注意利用指数函数的单调性或图象解指数不等式，再利用数轴进行集合运算，否则很容易出现错误此类题型还可以有特殊值进行检验，比如本题可发现都是两个集合里的元素，故可以排除A，B；都不是两个集合的元素，故可以排除C，这样多种解法可以提高准确率2.复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】试题分析：,故选C.考点：1、复数概念与其运算；2、复数的几何意义.3.在中，分别为的中点，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：1、向量的运算；2、向量的数量积4.已知直线经过圆的圆心，且坐标原点到直线的距离为，则直线的方程为（ ）A B C D【答案】C考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离.5.设是等差数列的前项和，若，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由成等差数列，得，即,故选C.考点：1、等差数列的概念；2、等差数列的前项和公式与其性质.6.设，将这五个数据依次输入下面程序框图进行计算，则输出的值与其统计意义分别是（ ）A，即个数据的方差为 B，即个数据的标准差为 C，即个数据的方差为 D，即个数据的标准差为【答案】A【解析】试题分析：，选A.考点：1、程序框图；2、方差公式.7.如图所示，有一条长度为的线段，其端点在边长为的正方形的四边上滑动，当点绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成轨迹的长度为（ ）A B C D 【答案】B考点：1、动点轨迹的求法；2、圆的概念和性质.8.已知函数满足，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：依此类推，得，选B.考点：1、分段函数概念；2合情推理.【方法点晴】本题考查分段函数的概念和合情推理，属于中等题，通过观察发现要先从大数着手，计算发现：当是偶数时的函数值为，即.当是奇数时的函数值为，即.9.高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住个标间（每个标间至多住人），则入住同一标间的概率为（ ）A B C D【答案】B考点：1、排列组合；2、古典概型.10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱截去一个三棱锥，即四棱锥，故选C.考点：1、三视图；2、直观图；3、柱锥的体积公式11.若函数存在零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D考点：1、函数的零点；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性.【思路点晴】本题主要考查函数的零点、函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性，属于难题.本题先利用函数的奇偶性的定义判断其为偶函数，讨论当时，在恒成立无零点，当时，利用导数研究其单调性得在上只有一个零点，再根据偶函数的性质可得在上有两个零点，故选D.本题还可以用排除法规避难点，巧妙解决本题.12.如图所示，已知椭圆，点分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是上的动点，且为定值，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D考点：1、圆与其性质；2、椭圆与其性质.【方法点晴】本题主要考查圆与其性质、椭圆与其性质，属于难题本题利用两点间距离公式将解析化，经过变形、系数对比得，即，可得、再变形得到三次方程，结合的取值范围得到正解.本题可以通过特殊位置规避繁琐计算，巧解本题第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.若二项展开式的第三项系数为，则实数_.【答案】【解析】试题分析：,，解得.考点：二项式定理14.若函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】考点：1、复合函数的定义域；2、简单的不等式.15.已知数列各项均不为，其前项和为，且，则_.【答案】【解析】试题分析： 法一： 当时，即，.当时，两式相减得，都是公差为的等差数列，又，是公差为的等差数列，法二：通过观察，发现刚好符合条件，故考点：1、等差数列的定义与其通项公式；2、数列前项和定义与其性质【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与其通项公式、数列前项和定义与其性质，属于中等题紧密结合得到，进而得到，都是公差为的等差数列，可得是公差为的等差数列，从而求出正解本题还可以直接观察发现是公差为的等差数列，巧解本题16.如图所示，半径为的球内切于正三棱锥中，则此正三棱锥体积的最小值为_.【答案】考点：1、锥体的体积公式；2、内切球；3、函数的最值【方法点晴】本题主要考查锥体的体积公式、内切球和函数的最值，属于难题本题先利用等体积方法得到等式，再变形得到，建立三次函数，再求导得，令得，故当时，.要求考生具有一定的函数与方程思想和转化思想 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中，三边所对应的角分别是，已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）外接圆的面积为，的外接圆的半径，（7分）考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式.18.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据如下表所示：试销价格x（元）45 67a9产品销量y（件）b8483807568已知变量具有线性负相关关系，且现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”个数的分布列和数学期望.【答案】（1）乙正确，；（2）分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）由负相关得甲错误，利用样本中心检验乙正确；（2）计算易得“理想数据”有个，可得分析发现，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，利用数学期望公式可得数学期望.考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望19.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）不妨设，为菱形，为正三角形,，（7分）依题意建立如图所示的空间直角坐标系，.（8分） 设平面的法向量为，则，即令得.(10分），直线与平面所成角的正弦值为.考点：1、线面垂直；2面面垂直；3、线面角；4、空间直角坐标系；5、空间向量在立体几何中的应用【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、面面垂直、线面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题解题时一定要注意线面角的正弦值就是法向量与夹角的余弦值，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线20.（本小题满分12分）如图所示，已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线与直线所围成的三角形面积为.（1）求抛物线的方程；（2）设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求坐标，结合对称性，易得，即可得抛物线方程；（2）先设、的坐标和直线的方程，由已知可得的解析式，再联立直线的方程和抛物线的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，进而可得关于的关系式，最后利用二次函数的性质可得的取值范围考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、二次函数的性质；4、三角形的面积公式21.（本小题满分12分）已知函数.（1）是否存在与过原点的直线，使得直线与曲线均相切？若存在，求值与直线方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围【答案】（1）存在与，使得直线与曲线均相切；（2）.（2），（6分）令，则，易知在上单调递减，从而.（8分）当时，即时，在区间上单调递增，在上恒成立，即在上的恒成立.在区间上的单调递减，满足题意.（10分）考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的极值；4、不等式的恒成立【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值和不等式的恒成立，属于难题将问题转化为在上恒成立是解决本题的关键之处，再对进行分类讨论是本题的难点，巧设零点是本题的经典之处，还要求考生必须注意到，从而在上单调递减，这与在区间上是单调函数矛盾，从而判定不合题意请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）如图所示，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的平分线交圆于点，垂直交圆于点.（1）证明：；（2）设圆的半径为，延长交于点，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.连接，圆的半径为，.（9分），.（10分）考点：1、线切角定理；2、同弧或等弧所对的圆周角相等；3、勾股定理；4、等腰三角形三线合一23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求点的直角坐标；（2）若直线与曲线相交于两点，线段的中点横坐标为，求直线的普通方程.【答案】（1）；（2）.考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义24.（本小题满分10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取【答案】（1）；（2）.考点：1、绝对值不等式；2、不等式的恒成立；3、绝对值不等式的性质