小学六年级奥数第十二章抽屉原理.doc

第三章 抽屉原理知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为： 第一抽屉原理：(mn1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m1)个物体。 (2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为： 第二抽屉原理：(mn1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1 (第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，13点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取 张牌。点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了113点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。解 (1)13×2127(张) (2)9×4137(张)例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解 (1)因为37÷1231，所以，根据第一抽屉原理，至少有314(人)属相相同。 (2)要保证有5人的属相相同的最少人数为 4×12149(人) 不保证有6人属相相同的最多人数为 5×1260(人) 所以，总人数应在49人到60人的范围内。例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。解 (1)24×3115(张) 答：至少摸15张牌才能保证其中有4张牌花色相同。 (2)213×3142(张) 答：至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况： 把以上6种借球情况看做6个“抽屉”，只要借球人数超过6，就可以知道他们中间至少有两人借的球的情况完全相同。比6大的最小整数是7。解 借球有6种情况，看做6个抽屉，所以至少要来7名学生借球，才能保证有两名学生借的球的颜色完全相同。例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？点拨 把130这30个自然数分成下面15组：1，2，4，8，16，3，6，12，24，5，10，20，7，14，28，9，18，11，22，13，26，15，30，1 7，19，21，23，25)，27，29，在这15组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要取出16个数才能达到题目的要求。解 由于130这30个自然数可分成15组：1，2，4，8，16，3，6，12，24，5，10，20，7，14，28，9，18，1，22，13，26，15，30，17，19，29。看成15个抽屉，因此至少要取16个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大数是较小数的倍数。例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4个点，以此4点为顶点的四边形面积不超过。点拨 把正方形分成四个相同的小正方形，如下图，可作为四个抽屉。解 把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为 ，134×31，故13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的。例7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色。点拨 连彩线的方法很多，如果一一画图证结论，不可取，故用抽屉原理解决。解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少有三条线段同色，不妨设是红色(如右图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时三角形a2a3a4会出现两种颜色情况。(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。 (2)若a2a3，a3a4，a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个蓝色三角形。 综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。说明 若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。解题技巧 利用抽屉原理解决实际问题时，要按以下三个步骤思考： 1.确定把什么当做“抽屉”； 2.确定把什么当做“物体”； 3.如果条件满足“抽屉少、物体多”就能根据抽屉原理得出结论。 要学会构造抽屉。有时在不同的题目中，相同的对象，有时当做“抽屉”，有时当做“物体”，到底谁当做抽屉，要因题而异，灵活应用。 构造抽屉的方法有：数的分组，染色分类，图形分割，剩余类等等。竞赛能级训练A 级1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？2.幼儿园买来不少小熊、小兔、小狗玩具，每位小朋友都分到其中一、二或三种。某班有40人，他们当中至少有几人拥有的玩具相同？3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过。4.用黑、红两种颜色将一个长9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况一样。5.从整数1，2，3，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数。6.在10×10方格纸的每个方格中，任意填入1，2，3，4四个数之一。然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。9.从3，6，9，81，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。11.能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2，3这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？12.能否把17这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2或3？如果能，请排出来；如果不能，请说明理由。13.有一个矩形，它由三行若干列小格组成。对于这个矩形的小方格用两种颜色涂色，至少有多少列才能保证其中必有两列的涂色方法完全相同？14.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。15.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5人搬运的球完全一样？16.在一个3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米？(这时盘子的对角线长为5米)17.某中学1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定每人至少去一处，至多去两地游览，那么至少有多少人游的地方相同？18.一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。B 级1.某店有126箱苹果，每箱至少有120个苹果，最多有144个苹果。现将苹果个数相同的箱子作为一组。如果其中箱子数最多的一组有n个箱子，那么押的最小值是多少？2.在1，2，n中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于，且不大于。求n的最大值。3.把1，2，3，1993，1994，1995置于一个圆周上，请设计一种方法，使其相邻数之间的差不超过2。4.从1，2，3，1988，1989这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数的差不等于4?5.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。6.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？7.把1，2，3，8，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。8.已知线段AB的长是1米，在AB上共有11个点，那么其中必有两点之间的距离米。9.从1到1994这些自然数中，任取998个不同的数。试证：其中必有两个数，它们的差是997。10.世界中学生数学竞赛满分是42分，有450名选手参加。(1)比赛结束后是否一定能找到12人，这12人所得的分数相同？(2)比赛结束后是否一定能找到11人，这11人所得的分数相同？为什么？11.某人步行10小时，走了45千米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时走了3千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间8小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10千米。12.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个自然数中，任意选取8个不同的数，其中必有两对数，每对数的差是1。能力测试一、选择题(每题6分，共30分) 1.一副扑克牌有54张，至少抽取( )张，才能保证其中必有一张“A”。 A.49 B.50 C.51 D.52 2.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其中至少有( )个小球的颜色是相同的。 A.3 B.2 C.8 3.某班的小图书库中有诗歌、童话、小人书三类课外读物，规定每位同学最多可以借阅两种不同类型的书。至少有( )位同学来借阅图书，才一定有两位同学借阅的书的类型相同。 A.10 B.8 C.7 4.第三十一届国际中学生数学奥林匹克竞赛于1990年7月在北京举行，全世界52个国家的308名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过6名，至少有( )个国家派6名选手参赛。 A.50 B.48 C.45 5.某中学有10位老师，每位至少与另外9位中的7位认识，我们必可从中找出( )位，他们彼此认识。 A.6 B.4 C.5二、填空题(每题6分，共30分) 1.袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结果是一样的，至少要摸( )次。 2.从1，2，3，1994这些数中最多可以选出( )个数，使其中每两个数的差不等于4。 3.某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个横排中，至多有( )排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。 4.任意给定四个自然数：abcd，在ba，ca，da，cb，db，dc这六个差中，可保证有( )个是3的倍数。 5.一副扑克牌共54张(其中2张王牌)，至少从中抽出( )张牌才能保证至少有4张牌是红桃。三、解答题(每题10分，共40分) 1.在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于度。 2.设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大是几？ 3.在1100这100个数中，最多取多少个数，使一个数是另一个数的2倍？4.如右图，A、B、C、D四个小盘拼成一个环形，每个小盘中放若干糖果，每次可取出1个、2个或4个盘中的全部糖果，也可取出2个相邻盘中的全部糖果，这样取出的糖果数最多有几种？