2011年常微分期末考试题B.doc

陕西科技大学 试题纸课程 常微分方程 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人 一、填空题 (本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程的阶数是 ，是否为齐次线性方程 .2、当满足 时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。3、若为齐次线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为 4、方程的常数解是 5、方程 的特解可设为_ 二、单选题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、1. _A. B. C. D. 2、的通解为_（为任意常数）A. B. C. D. 3、.微分方程的公共解为_A. B. C. D. 4、的积分因子为_A. B. C. D. 5、函数与_A均为常正的 B均为定正的 C常正，定正 D定正，常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）1、求方程2、求方程的通解3、求方程的通解4、求解方程的通解5、求解方程的一个特解四、（本题10分）试求方程组的解 五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、证明方程解存在唯一性.2、给定方程，其中在上连续，设是上述方程的两个解。证明极限存在。陕西科技大学 试题纸课程 常微分方程参考答案 班级 数学信息091-2 学号 姓名 题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人 一、填空题 (本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程的阶数是 3 ，是否为齐次线性方程 否 .2、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_其中C为n*n奇异矩阵_。3、初值问题的解满足积分方程。4、是恰当方程, 则 。5、二维平面自治系统的奇点，当参数满足条件时，为稳定的奇点。二、单选题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、一阶线性方程的积分因子是_B_A B CD2、方程通过点的解的最大存在区间是_A_A.(2，) B.(0，) C.(-) D.(-,3)3、曲线满足方程_C_A B C D4、如果是二阶线性方程的解，则下列是的解的是_C_ A B C D5、函数与_D_A均为常正的 B均为定正的 C常正，定正 D定正，常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）4、求方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得分代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=分带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.分1、解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通解为 即分2、解：令 则原方程消去后，有 由此，得 所以故原方程的通解为分3、（xy+解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)= 方程两边同乘以得：也即方程的解为5、 ;解：的通解是 ,设原方程的特解是, 将代入原方程得,所以有 ,所以原方程的通解是 ;四、（本题10分）试求方程组的解 解： 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为： 2分五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、证明方程解存在唯一性.证明：构造等价积分式，两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解； 2分进行迭代； 2分证明迭代的序列是收敛的由于构造的迭代序列收敛于一级数，及，证明是收敛的； 2分证明收敛到的级数极为方程的解给求极限得：，所以是方程的解2分证明解是唯一的设均为方程的解，并且两者不相等，则，；而当x=0时，G(0)=0，与相矛盾，所以解是唯一的.证毕. 2分2、个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在个线性无关解向量。证明:任取，根据解的存在唯一性定理，2分x=A(t)x分别满足初值条件2分的解一定存在. 2分又因为这n个解的朗斯基行列式，所以一定是线性无关的，即证的所求。3分