高中数学幂函数指数函数与对数函数经典练习题.doc

高中数学精英讲解-幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：幂函数例1、比较大小例2、幂函数，(mN)，且在(0，)上是减函数，又，则m=A0B1C2D3解析：函数在(0，)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数(1)求函数的解析式； (2)讨论的奇偶性幂函数在区间上是减函数，解得，又是偶数，(2)，当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、下列函数是幂函数的是（）Ay=2x By=2x1 Cy=(x1)2Dy=2、下列说法正确的是（）Ay=x4是幂函数，也是偶函数 By=x3是幂函数，也是减函数C是增函数，也是偶函数 Dy=x0不是偶函数3、下列函数中，定义域为R的是（）Ay=By= Cy=Dy=x14、函数的图象是（）ABCD5、下列函数中，不是偶函数的是（）Ay=3x2By=3x2 CDy=x2x16、若f(x)在5，5上是奇函数，且f(3)f(1)，则（）Af(1)f(3)Bf(0)f(1) Cf(1)f(1)Df(3)f(5)7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A(a，f(a)B(a，f(a) C(a，f(a)D(a，f(a )8、已知，则下列正确的是（）A奇函数，在R上为增函数 B偶函数，在R上为增函数C奇函数，在R上为减函数 D偶函数，在R上为减函数9、若函数f(x)=x2ax是偶函数，则实数a=（）A2B1 C0D110、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）AB(0，1) CD 11、若幂函数的图象过点，则_12、函数的定义域是_13、若，则实数a的取值范围是_14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_DACAD ABACD9、，函数为偶函数，则有f(x)=f(x)，即x2ax=x2ax，所以有a=010、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当x<1时，f(x)<0，当1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=f(1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0则满足f(x)>0的 11、 解析：点代入得，所以12、解：13、 解析：，解得14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5 考点二：指数函数例1、若函数y=axm1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）A.a>1B.a>1且m<0 C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函数y=4x3·2x3的值域为1,7，试确定x的取值范围例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围例4、已知函数(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数； (2)求函数f(x)的值域例5、如果函数（a>0，且a1）在1，1上的最大值是14，求a的值例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=ax向下移动而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m1<1，m<0故选B答案：B例2、分析：在函数y=4x3·2x3中，令t=2x，则y=t23t3是t的二次函数，由y1,7可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围解答：令t=2x,则y=t23t3，依题意有：x0或1x2，即x的范围是(，01,2小结：当遇到y=f(ax)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式解答：因为方程有负实数根，即x0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域解答：(1)，设x1x2，则因为x1x2，所以2x12x2，所以,所以又10, 10,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在其定义域(，)上是增函数(2)设，则，因为102x0，所以，解得1y1，所以函数f(x)的值域为(1，1) 例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域解：设t=ax>0，则y=t22t1，对称轴方程为t=1若a>1，x1，1，t=ax，当t=a时，ymax=a22a1=14解得a=3或a=5(舍去)若0<a<1，x1，1，t=ax当时， 解得（舍去）所求的a值为3或变式训练：1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）AB C D2、函数是（）A奇函数B偶函数 C既奇又偶函数D非奇非偶函数3、函数的值域是（）A B CD4、已知,则函数的图像必定不经过（）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限5、函数的定义域为（）AB CD6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）AB CD7、函数的单调递增区间是（）AB CD8、已知，则下列正确的是（）A奇函数，在R上为增函数 B偶函数，在R上为增函数C奇函数，在R上为减函数 D偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）AB CD10、下列说法中，正确的是（）任取xR都有； 当a>1时，任取xR都有；是增函数； 的最小值为1；在同一坐标系中，的图象对称于y轴AB CD 11、若直线y=2a与函数y=|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围_.12、函数的定义域是_13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax21的图象恒过定点_14、函数y=的递增区间是_.15、已知9x10·3x90，求函数y=()x14()x2的最大值和最小值16、若关于x的方程25|x1|4·5|x1|m=0有实根，求m的取值范围17、设a是实数，(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(x)f(x)恒成立18、已知f(x)（a>0且）（1）求f(x)的定义域、值域（2）讨论f(x)的奇偶性（3）讨论f(x)的单调性答案和提示：1-10 DADAD DDACB1、可得0<a21<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<1.4、通过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、中当x=0时，两式相等，式也一样，式当x增大，y减小，故为减函数 11、0a提示：数形结合.由图象可知02a1，0a.12、提示：由得23x2，所以3x1，13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a01=214、(，1提示：y=()x在(，)上是减函数，而函数y=x22x2=(x1)21的递减区间是(，1，原函数的递增区间是(，115、解：由9x10·3x90得(3x1)(3x9)0，解得13x9.0x2，令()x=t，则t1，y=4t24t2=4(t)21.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2. 16、解法一：设y=5|x1|，则0y1，问题转化为方程y24ym=0在(0，1内有实根.设f(y)=y24ym，其对称轴y=2，f(0)0且f(1)0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x1|(0，1，m=(y2)243，0)17、(1)设，即f(x1)f(x2)，所以对于a取任意实数，f(x)在(，)上为增函数(2)由f(x)=f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(x)=f(x)18、解：（1）定义域为R值域为（1，1）（2），f(x)为奇函数（3）设，则当a>1时，由，得，当a>1时，f(x)在R上为增函数同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数 考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间例2、已知函数f(x)=lg(ax22x1)（aR）.（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.例3、已知的最大值和最小值以和相应的x值. 例4、已知f(x)=loga(ax1)（a0，a1）.（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）求函数y=f(2x)与y=f1(x)的图象交点的横坐标.例1 解：由x22x30 ，得 x22x30，1x3，定义域为 (1，3)；又令 g(x)=x22x3=(x1)24，当 x(1，3) 时， 0g(x)4. f(x)=2 ，即函数 f(x) 的值域为2，）； g(x)=(x1)24 的对称轴为 x=1. 当1x1 时， g(x) 为增函数，为减函数. 当 1x3 时， g(x)为减函数， f(x)为增函数即 f(x) 在（1，1 上为减函数；在 1，3 ）上为增函数 例2、分析：令g(x)=ax22x1，由f(x)的定义域为R，故g(x)0对任意xR均成立，问题转化为g(x)0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，），通过对a的讨论即可解答：（1）令g(x)=ax22x1，因f(x)的定义域为R， g(x)0恒成立函数f(x)的定义域为R时，有a1.（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax22x1的值域为B，则B（0，）.若a0，则B=（，1（0，）；若a=0，则B=R，满足B（0，）.若a0，则=44a0， a1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0a1.例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.当x=2时，y有最小值.当x=8时，y有最大值2.例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f1(x)的解解答：（1）ax10得ax1.当a1时，函数f(x)的定义域为（0，），当0a1时，函数f(x)的定义域为（，0）.（2）令g(x)=ax1，则当a1时，g(x)=ax1在（0，）上是增函数.即对0x1x2，有0g(x1)g(x2)，而y=logax在（0，）上是增函数， logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2) f(x)= loga(ax1)在（0，）上是增函数；当0a1时，g(x)=ax1在(,0)上是减函数.即对x1x20，有g(x1)g(x2)0而y=logax在（0，）上是减函数， logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2) f(x)=loga(ax1)在（，0）上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数（3） f(2x)= loga(a2x1)，令y=f(x)= loga(ax1)，则ax1=ay， ax=ay1， x= loga (ay1)(yR) f1(x)= loga (ax1)（xR）由f(2x)=f1(x)，得loga(a2x1)= loga(ax1) a2x1= ax1，即(ax)2ax2=0. ax=2或ax=1（舍） x=loga2.即y=f(2x)与y= f1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是（）ABCD2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x1)和图象A先向左平行移动1个单位 B先向右平行移动1个单位C先向上平行移动1个单位 D先向下平行移动1个单位3、函数的定义域是（）A（1，）B（2，） C（，2）D（1，24、函数y=lg(x1)3的反函数f1(x)=（）A10x31B10x31 C10x31D10x315、函数的递增区间是（）A（，1）B（2，） C（，）D（，）6、已知f(x)=|logax|，其中0<a<1，则下列各式中正确的是（）ABCD7、是（）A奇函数而非偶函数 B偶函数而非奇函数C既是奇函数又是偶函数 D既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则下列不等式中正确的是（）A BC D9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（）ABCD10、关于x的方程（a0，a1），则（）A仅当a1时有唯一解 B仅当0a1时有唯一解C必有唯一解 D必无解 二、填空题11、函数的单调递增区间是_.12、函数在2x4范围内的最大值和最小值分别是_. 13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是_.14、已知（a0，b0），求使f(x)0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x2xb，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a1)，(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围16、已知函数f(x)=loga(x3a)（a0且a1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x2a，y）是y=g(x)图象上的点.（1）写出y=g(x)的解析式；（2）若当xa2，a3时，恒有|f(x)g(x)|1，试求a的取值范围.答案和提示：1-10 DDDDA BBBCC1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确.应选D.2、解法1：与函数y=log2(x1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x1)的图象，直接观察，即可得D.3、由0，得 0<x11， 1<x2.5、应注意定义域为（，1）（2，），答案选A.6、不妨取，可得选项B正确7、由f(x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.8、由ab>1，知，故且，故答案选B.10、当a1时，01，当0a1时，1，作出y=ax与y=的图象知，两图象必有一个交点.11、答案：（，6）提示： x24x120 ，则 x2 或 x6. 当 x6 时， g(x)=x24x12 是减函数，在（，6）上是增函数 . 12、答案：11，7 ： 2x4，. 则函数，当时，y最大为11；当时，y最小为7.13、答案：（，提示：原方程等价于由得.当x0时，9a，即a.又 x3， a2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）. a.14、解：要使f(x)0，即.当ab0时，有x；当a=b0时，有xR；当0ab时，有x.15、解：(1)f(log2a)=b,f(x)=x2xb,(log2a)2log2ab=b，解得a=1(舍去)，a=2，又log2f(a)=2，log2(a2ab)=2，将a=2代入，有log2(2b)=2, b=2；(2)由log2f(x)<f(1)得log2(x2x2)<2, x2x2<0，解得1<x<2，由f(log2x)>f(1)得(log2x)2log2x2>0，解得0<x<1或x>2，x(0，1)16、解：（1）设Q（x，y），则，点P（x，y）在y=f(x)的图象上，（2）当xa2，a3时，有x3a0且0成立.而x3aa23a=22a0， 0a1，且恒成立. 0a1.由 |f(x)g(x)|1，即 r(x)=x24ax3a2在a2，a3上是增函数. h(x)=loga(x24ax3a2)在a2，a3上是减函数.当x=a2时，h(x)max=h(a2)=loga(44a)，当x=a3时，h(x)min=h(a3)=loga(96a). 29 / 29