平面向量与解三角形单元检测题.docx
平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac, bc，则|ab|()A.B. C2 D102在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A. B. C1 D33已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为A. B. C D4在直角坐标系xOy中，(2,1)，(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A1 B2 C3 D45已知向量a与b的夹角为120°，|a|3，|ab|，则|b| 等于 ()A5 B4 C3 D16在四边形ABCD中，(1， 2)，(4，2)，则该四边形的面积为A. B2 C 5 D107如图所示,非零向量OA=a,OB=b,且BCOA,C为垂足,若OC=a(0),则=()8在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是()(A)（0,(B),）(C)(0,(D),)9设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角CA. B. C. D.10在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数，使得(1)成立，此时称实数为“向量关于与的终点共线分解系数”若已知P1(3, 1)，P2(1,3)，且向量与向量a(1,1)垂直，则“向量关于与的终点共线分解系数”为()A3 B3 C1 D1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90°，则实数t的值为_12已知a(1,2)，b(1，)，若a与b的夹角为钝角，则实数的取值范围是 13已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·_14设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_15若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)·b0，则a与b的夹角为_三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积17在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列; (2)若C=,求的值.18在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=c+bcos C.(1)求角B的大小; (2)若SABC=,求b的最小值.19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2ccos2b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B60°，b4，求ABC的面积20ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形与一个三角形,设分成的四边形与三角形的周长相等,面积分别为S1与S2.(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,求的最小值.21已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足。（1）证明：；（2）如图，点O是ABC外一点，设，OA=2OB=2，当时，求平面四边形OACB面积的最最大值。参考答案：1 B由题意可知解得故ab(3，1)，|ab|.2.选B如图，因为，所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，所以m.3. A解析(2，1)，(5，5)，所以在方向上的投4. B解析：.若A90°，则·6k0，k6；若B90°，则··()0，6k50，k1；若C90°，则··()0，k2k30无解综上，k可能取6，1两个数故选B.5. B解析向量a与b的夹角为120°，|a|3，|ab|，则a·b|a|b|·cos 120°|b|，|ab|2|a|22a·b|b|2.所以1393|b|b|2，则|b|1(舍去)或|b|4.6. C解析因为·0，所以.故四边形ABCD的面积S|××25.7. A【解析】.BCOA,即BCOC,所以(OC-OB)·OC=0,所以|OC|2-OB·OC=0,即2|a|2-a·b=0,又0,解得=a·b|a|2.8 C.解析:根据正弦定理,由sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C得a2b2+c2-bc,根据余弦定理cos A=,又0<A<,0<A,故选C.9. B 【解析】由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.10. D.解析：设(x，y)，则由a知xy0，于是(x，x)，设(1)，(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)于是41320，1.11. 5解析：(3,2t)，由题意知0，所以2×32(2t)0，t5.12 .因为a与b的夹角为钝角，所以cos<0且cos1，所以a·b<0且a与b不反向由a·b<0得12<0，故<，由a与b共线得2，故a与b不可能反向所以的取值范围为.13.2解析由题意知：·()·()()·()2·24022.14.解析a在b方向上的射影为|a|cosa，b.a·b(e13e2)·2e12e6e1·e25.|b|2e1|2.15. 120°【解析】(2ab)·b0，2a·bb20，a·bb2，设a与b的夹角为，又|a|b|，cos ，120°.16.解：(1)证明：mn，asin Absin B.即a·b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，故ab，即ABC为等腰三角形(2)由题意可知m·p0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)故Sabsin C·4·sin.17.(1)证明:由sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin2B=1得sin A+sin C-2sin B=0.因为=,所以a+c-2b=0,所以2b=a+c,即a、b、c成等差数列.(2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cos C及2b=a+c,c=,得(a-2b)2=a2+b2-2ab.即a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,也即3b2=5ab,所以=.18.解:(1)由正弦定理可得sin A=sin C+sin Bcos C,又因为A=-(B+C),所以sin A=sin(B+C),可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C,又sin C0,即cos B=,所以B=.(2)因为SABC=,所以acsin=,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.所以b24,即b2,所以b的最小值为2.19.解析：(1)acos2ccos2a·c·b，即a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理得：sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即sin Asin Csin(AC)3sin B，sin Asin C2sin B.由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差数列(2)由B60°，b4及余弦定理得：42a2c22accos 60°，(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得ac16，ABC的面积Sacsin Bacsin 60°4.20.解:(1)E为AC中点时,则AE=EC=,+3<+4,F不在BC上.故F在AB上,可得AF=,在三角形ABC中,cos A=.在三角形AEF中,EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos A=,EF=.即小路一端E为AC中点时小路的长度为百米.(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,如图所示,设CE=x,CF=y,则x+y=5,=-1=-1=-1-1=,当x=y=时取等号.答:最小值为.21.第 9 页
