排列组合二项式定理概率专题复习.docx

一、排列、组合、二项式定理1分类计数原理: 2.分步计数原理: 注：分类计数原理与分步计数原理是排列组合的基础与核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性与并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性与连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。3.排列的定义： 排列数: 用符号表示. 其中n，m，并且mn排列数公式: 当m=n时，排列称为全排列，排列数为= 记为n!, 且规定O!=1.注： ; 4.组合的定义: 组合数:用符号表示.组合数公式: .规定，其中m，nN+，mn.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.组合数的两个性质: 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的. 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. 5解排列、组合题的基本策略与方法()排列、组合问题几大解题方法：直接法; 排除法;捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法()排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略； 合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略； 相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略； 定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略； “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.6.二项式定理:对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有项； 系数：依次为组合数且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.二项展开式的通项：的展开式第r+1为.二项式系数的性质.二项展开式中的叫做二项式系数在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即二项展开式的中间项二项式系数最大且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的()当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;()当n是奇数时,中间项为两项,即第项与第项,它们的二项式系数最大.系数与：所有二项式系数的与：;奇数项二项式系数的与偶数项而是系数的与: .如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。二、概率统计1.随机事件及其概率:必然事件: 不可能事件: 随机事件: 随机事件的概率: 概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.等可能事件的概率:如果一次试验由个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概率为.3.互斥事件： 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率与，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.对立事件： 对立事件的概率与等于1：. 互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集.4. 相互独立事件： 注: 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 推广:如果事件相互独立,那么独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.(注:此式为二项式(1-P)+Pn展开式的第k+1项.)注: 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.对任何两个事件都有5.随机试验:试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量,如果随机变量可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.注:若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.6. 离散型随机变量：设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .7. 称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.注: 随机变量的数学期望：8. 方差、标准差：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.注:随机变量的方差.（a、b均为常数）期望与方差的转化： 9. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：01P我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（n,p），其中n，p为参数，并记.注:对二项分布有,10. 几何分布: 在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是,该事件第一次发生时所做试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量. “”表示在第次独立重复试验时事件第一次发生. 于是得到随机变量的概率分布如下: 123则称这样的随机变量服从几何分布,并记,其中,.注：如果随机变量服从几何分布即 , 则.11.常用的抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种.类 别共同点不同点联 系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在超始部分抽样时用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成12总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,样本容量越大,估计越准确.将总体与随机变量沟通后,就可以用概率的知识研究统计问题. 当总体中的个体取不同值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示,其几何表示就是相应的条形图. 当总体中的个体取不同值较多时,对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识,列出分组区间与各区间内取值的频数与频率,其几何表示就是相应的频率分布直方图. 累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况,因此在频率分布表中常增设一列累积频率,而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图.频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时,相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线,即累积分布曲线. 生产过程中的质量控制图: 通过生产过程中的质量控制图,了解统计中假设检验的基本思想,明确正态总体及其概率密度函数的概率,掌握正态曲线的性质及其应用,并了解 “小概率事件”的概念与它在一次试验中不可能发生的思想.13. 正态分布. (1)密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，如图位于x轴上方的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数, 则落在任一区间内的概率等于它与x轴与直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）.由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. (2)正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：. （为常数，且），称服从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：.（3）正态曲线的性质.曲线在x轴上方，与x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（4）标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即有，求出，而P（ab）的计算则是.注意：当标准正态分布的的x取0时，有当的x取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. （5）正态分布与标准正态分布间的关系：若则的分布函数常用表示，且有. 注:一般正态分布，,均可化为标准正态总体来进行研究.若,只需作变换,就可使,有公式.若,则=14.“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.确定一次试验中的取值是否落入范围.做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3”原则的应用：若随机变量服从正态分布则 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）.三典型例题:例1甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜这个游戏规则公平吗？请说明理由。变式一:如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干个同色球，仍规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，则他胜的概率能达到吗？ 变式二: 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干个任意球，仍规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，则他胜的概率能达到吗？四检测评估1.若为有理数），则 （ ） A45 B55 C70 D802用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D6483. 展开式中不含的项的系数绝对值的与为，不含的项的系数绝对值的与为，则的值可能为（ ） A B C D4.若,则的值为 （ ）（A）2（B）0 （C） (D) 5. 3位男生与3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 6.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）A. B. C. D. 7.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（A） （B） （C） （D）8.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ ）A B C D 9.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A B C D10. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）。11.在的展开式中，的系数为_ (用数字作答) 12.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位与百位上的数字之与为偶数的四位数共有 个（用数字作答）13.观察下列等式：由以上等式推测到一个一般的结论：对于， 14.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）15. 的展开式中的系数为 。16.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为= .17.（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数 （I）求这个数中恰有个是偶数的概率； （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数与，此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望18.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.19.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之与超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求q的值；（2） 求随机变量的数学期望E;（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。20.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。21.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程与产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程与产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。22.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为与，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（）两种大树各成活1株的概率；（）成活的株数的分布列与期望第 - 9 - 页