工程传热学：05 稳态导热.docx

555廿廿55廿廿廿廿廿廿5廿廿廿5廿廿第二章稳态导热s廿廿廿廿5BSBSSSSBSSS从本章开始将讨论三种热量传递方式的基本规律。分析传热问题基本上是 遵循经典力学的研究方法，即针对物理现象建立物理模型，而后从基本定律导 出其数学描述（常以微分方程的形式表达，故称数学模型），接下来进行分析求解 的理论分析方法。采用这种理论方法，我们就能够到达预测传热系统的温度分 布和计算传递的热流量的目的。热传导问题是传热学中最易于采用上述方法处理的热传递方式。因此，在 这一章中我们能够针对热传导系统利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起相应 的导热微分方程，然后以简单的导热问题为例确立其微分方程和初、边值条件, 从而分析求解其温度分布和热流量，以到达掌握分析简单传热问题的方法。§2-1基本概念1温度场温度场是指某一瞬间，空间（或物体内）所有各点温度分布的总称。求解导热 问题的关键之一是得到所讨论对象的温度场，由温度场进而可以得到某一点的 温度梯度和导热量。温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表示。一般说，温度场是空间 坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为：t = f（x, y, z, r）2-1）依照温度分布是否随时间而变，可将温度场分为稳态温度场和非稳态温度 场。稳态温度场指稳态情况下的温度场，这时物体中各点温度不随时间改变， 温度分布只与空间坐标有关：t =于（X,，2）稳态温度场中的导热称为稳态导热，其温度对时间的偏导数为零。非稳态温度场是指变开工作条件下的温度场，这时物体中各点温度分布随 时间改变。非稳态温度场中的导热称为非稳态导热，其温度对时间的偏导数不 为零。显然，非稳态导热的计算比稳态导热的计算更加复杂。上面导出的导热微分方程是描写物体的温度随空间坐标及时间变化的一般 性关系式，它是在一定的假设条件下根据微元体在导热过程中的能量守恒和傅 里叶定律建立起来的，在推导过程中没有涉及导热过程的具体特点，所以它适用 于无穷多个的导热过程，有无穷多个解。要完整地描写某个具体的导热过程，除 了导热微分方程之外，还必须说明导热过程的具体特点，即给出导热微分方程 的单值性条件或定解条件，使导热微分方程具有唯一解。如必须给出所讨论对 象的几何形状和尺寸，物性参数等条件。更重要的是，定解条件必须给出时间 条件和边界条件。导热微分方程与定解条件一起构成了具体导热过程的数学描 述。时间条件用来说明导热过程进行的时间上的特点，例如是稳态导热还是非 稳态导热。对于非稳态导热过程，必须给出过程开始时物体内部的温度分布规 律，称为非稳态导热过程的初始条件，一般形式为：如果过程开始时物体内部的温度分布均匀，那么初始条件简化为 t T=0 = to =常数边界条件用来说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作 用，例如，边界上的温度、热流密度分布以及物体通过边界与周围环境之间的热 量传递情况等。边界条件可分为下面三类：(1)第一类边界条件：给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律, 一般形式为：如果在整个导热过程中物体边界上的温度为定值，那么上式简化为(2)第二类边界条件：第二类边界条件给出物体边界上的热流密度分布及 其随时间的变化规律，一般形式为：%羽 y,z")由傅里叶定律上式可变为:dtdn=/(x,所以第二类边界条件给出了边界面法线方向的温度变化率，但边界温度心未知。 假设物体边界处外表绝热，那么成为特殊的第二类边界条件：(3)第三类边界条件：给出了边界上物体外表与周围流体间的外表传热系 数/及流体的温度板根据边界面的热平衡，由物体内部导向边界面的热流密度 应该等于从边界面传给周围流体的热流密度，于是由傅里叶定律和牛顿冷却公 式可得第三类边界条件的一般形式为：2-33)该式建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处外表对流传热之间的关系, 所以第三类边界条件也称为对流边界条件。从第三类边界条件表达式可以看出，在一定的情况下，第三类边界条件将 转化为第一类边界条件或第二类边界条件：当h非常大时，边界温度近似等于 的流体温度，狐。tf,这时第三类边界条件转化为第一类边界条件；当h 非常小时，除0,*=0,这相当于第二类边界条件。上述三类边界条件都是线性的，所以也称为线性边界条件。如果导热物体的 边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热，那么由物体边界面的热 平衡可得出这时的边界条件为2-34)2-34)式中的欤为物体边界外表与周围环境之间的净辐射换热热流密度，外与物体边 界面和周围环境温度的四次方有关，此外，还与物体边界面与周围环境的辐射 特性有关，所以上式是温度的复杂函数。这种对流换热与辐射换热叠加的复合 换热边界条件是非线性的边界条件。本书主要讨论具有线性边界条件的导热问 题。综上所述，对一个具体导热过程完整的数学描述，应该包括导热微分方程 和定解条件两个方面。在建立数学模型的过程中，应该根据导热过程的特点， 进行合理的简化，力求能够比拟真实地描述所研究的导热问题。对数学模型进 行求解，就可以得到物体的温度场，进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热 流分布。导热问题的求解方法有很多种，目前应用最广泛的方法有三种：分析解法、 数值解法和实验方法，这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。本章主要 介绍导热问题的分析解法。§2-2 一维稳态导热图2-7平壁导热分析图2-7平壁导热分析1通过平壁的导热现在讨论第一类边界条件下通过大平壁的导热问题。当平壁的边长比厚度 大很多时，平壁的导热可以近似地作为一维稳态导热处理。平壁的壁厚为 6,平壁的两个外表温度分别维持均匀而恒定的温度。和,2,无内热源。我们 来求解平壁的温度分布和通过平壁的热流密度。假设导热系数2为常数，那么问题 的数学描述为： 微分方程：d2tdx1边界条件:对微分方程积分两次可得:dtL't = cxx + c2由边界条件可得:这样平壁的温度分布为:2-35)由此可知，平壁中的温度分布是线性的，温度梯度为常数，说明热流密度 不随x变化。由傅里叶定律：。dtq = -A dx可以很容易由温度分布求得通过平壁的热流密度:" 、2-36)q =三（G -2）o2-37)设垂直于热流方向上平壁的截面积为A,那么通过平壁的总热流量为:2-38)0 =Ar假设由上式得到的热流密度为正值，那么说明热流密度指向X方向。式中4, 3, A/ = &%2)只要任意知道三个就可以求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数的实验。在稳态情况下采用平壁法测量导热系数 时，对于截面积A和厚度b的平壁，需要使平壁两侧维持一恒定温差，测 量这一温差加和通过平壁的热流量由式(2-38)可得出材料的导热系数为：3(At如第一章所述，式(2-38)可以写成热阻的形式:=RAt如第一章所述，式(2-38)可以写成热阻的形式:=R2-39）% 二式中R是导热热阻:对单位面积的面积热阻为:771在日常生活与工程上，经常遇到由几层不同材料组成的多层平壁，例如，房 屋的墙壁,一般由白灰内层、水泥沙浆层和红砖(或青砖)主体层构成，高级的楼房 还有一层水泥沙砾或瓷砖修饰层；再如锅炉的炉墙，一般由耐火砖砌成的内层、 用于隔热的夹气层或保温层以及普通砖砌的外墙构成，大型锅炉还外包一层钢 板。当这种多层平壁的外表温度均匀不变时，其导热也是一维稳态导热。有了 热阻概念，就可以很方便地计算多层平壁的导热，每一层可当作一个热阻，假设 忽略接触热阻，那么导热的总热阻由各个热阻串联而成。A4 Q图2-8多层平壁导热参看图2-8,由三层不同材料组成的复合平壁，各层的厚度分别为5、力和 在，导热系数分别为办、勿和九；假设复合平壁两侧维持恒定的温度九和以，通过 各层的热流密度均为4,那么每层的面积热阻为：此2 # =（2-40）4qD_&_，3 -4“A3一丁一X3q总热阻为:Ra = RA + R八3 = + + 4热流密度为:tq e e2-41)Ra6,“11对于n层平壁:2-42)假设知道了热流密度，各层界面上的未知温度可由式(2-40)依次求出。如第一 层界面2的温度为：上面的讨论假定导热系数是常数。假设导热系数是温度的线性函数，即2 = 4(1 + ")时，仍可认为导热系数是常数，只要将4用平均温度下的2值代替即可。如对单层平壁，由傅里叶定律:q = -2(0 - dx别离变量并积分得:将2 =%(1+bt)代入上式经整理得到:9 w"胡和式(2-36)比照，上式可写成:其中冗为:2-43)A Aq 1 + G) / 2它正好是tl和t2平均温度下的导热系数值。上面在分析多层平壁的导热时，都假设层与层之间接触非常紧密，相互接 触的外表具有相同的温度。实际上，无论固体外表看上去多么光滑，都不是一 个理想的平整外表，总存在一定的粗糙度。实际的两个固体外表之间不可能完 全接触，只能是局部的、甚至存在点接触，如图2-9所示。只有在界面上那些 真正接触的点上，温度才是相等的。当未接触的空隙中充满空气或其它气体时, 由于气体的热导率远远小于固体，就会对两个固体间的导热过程产生附加热阻 凡，称之为接触热阻。由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触外表之间图2-9接触热阻图2-9接触热阻出现温差根据热阻的定义，Atc =R,可知，热流量0愈大，接触热阻产生的温差 就愈大。对于高热流密度场合，接触热阻的影 响不容忽视，例如大功率可控硅元件，热流密 度高于106w/m2,元件与散热器之间的接触热 阻产生较大的温差，影响可控硅元件的散热， 必须设法减小接触热阻。接触热阻的主要影响因素有：(1)相互接触的物体外表的粗糙度：粗糙 度愈高，接触热阻愈大；(2)相互接触的物体外表的硬度：在其它条件相同的情况下，两个都比拟 坚硬的外表之间接触面积较小，因此接触热阻较大，而两个硬度较小或者一个 硬一个软的外表之间接触面积较大，因此接触热阻较小；(3)相互接触的物体外表之间的压力：显然，加大压力会使两个物体直接 接触的面积加大、中间空隙变小，接触热阻也就随之减小。在工程上，为了减小接触热阻，除了尽可能抛光接触外表、加大接触压力 之外，有时在接触外表之间加一层热导率数大、硬度又很小的纯铜箔或银箔， 或者在接触面上涂一层导热油(亦称导热姆，一种热导率较大的有机混合物)， 在一定的压力下，可将接触空隙中的气体排挤掉，显著减小导热热阻。由于接触热阻的影响因素非常复杂，至今仍无统一的规律可循，只能通过 实验加以确定。详细的资料请参阅文献6。例题2-1 一锅炉炉墙采用密度为300 kg/n?的水泥珍珠岩制作，壁厚3=100 mm,内壁 温度力=500 °C,外壁温度，2=50 °C,求炉墙单位面积、单位时间的热损失。解材料的平均温度为:500 + 502=275 由附录4查得:=0.0651 +0.000105 ，于是 I = 0.0651 + 0.000105 x 275 = 0.0940 W/(m - K)0.09400.10.09400.1(500 50) = 423 W/m2假设是多层平壁，2、t3的温度未知，可先假定它们的温度，以计算出平均温度并查出2值, 再计算热流密度及i2、/3的值，假设计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值, 逐步逼近，这就是迭代法。例题2.2 双层玻璃窗，高2m,宽1m,玻璃厚3mm,玻璃的导热系数为2 = 0.5 W/(m.K), 双层玻璃间的空气夹层厚度为5mm,夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为2 = 0.025 W/(mK)o如果测得冬季室内外玻璃外表温度分别为15和5,试求玻璃窗的散热损失， 并比拟玻璃与空气夹层的导热热阻。解这是一个三层平壁的稳态导热问题。根据式(2-41)散热损失为：15-5=94 3 W0.0030.0050.003+9 = 3333.3 W2x0.5 2x0.025 2x0.5可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W,而空气夹层的导热热阻为01K/W,是玻璃 的33.3倍0如果采用单层玻璃窗，那么散热损失为0.003是双层玻璃窗散热损失的35倍，可见采用双层玻璃窗可以大大减少散热损失，节约能 源。2通过圆筒壁的导热现在讨论第一类边界条件下通过圆筒壁的导热问题。当圆筒的长度比半径 大很多时，圆筒壁的导热也可以近似地作为沿半径方向一维稳态导热处理。参 看图2-10,圆筒壁的长度为/,内外径分别为n和m 两个壁面温度分别维 持均匀而恒定的温度人和团无内热源。我们来求解圆筒壁的温度分布和通过 圆筒壁的热流密度。采用圆柱坐标系，假设导热系数为常数，由式(2-27),稳 态、常物性、无内热源时圆柱坐标系下的导热微分方程为：一图2-10圆筒壁导热分析In(弓/八)In八故圆筒壁温度分布为:2-44）/ = / H=In ln（G/q） r可见圆筒壁的温度分布不是直线，而是对数曲线，斜率为:dt 灰一dr rln（G"）由傅里叶定律得到流过圆筒壁的热流密度为:A2-45)2-45)q =r ln(q / q)由于不同半径处圆筒有不同的截面积，从而通过圆筒壁的热流密度在不同 半径处也不相同，热流密度4与半径厂成反比。当然，流过整个圆筒壁的总热 流量0( = 2“0)与半径无关：2-46)按照热阻的定义可知圆筒壁的导热热阻为:2-47)氏二*/八)27rl 九对于层圆筒壁导热，由热阻串联关系，可得到流过圆筒壁的总热流量为:(2-48)图2-11球壁导热分析图2-11球壁导热分析3通过球壁的导热现在来讨论第一类边界条件下通过球壁的 导热问题。如图2-11所示，一空心单层球壁， 内外半径分别为n和r2,球壁材料的热导率4为 常数，无内热源，球壁内外侧壁面分别维持均匀 恒定的温度力和打，那么温度只沿径向发生变化。 采用球坐标系，由球坐标系下的一般导热微分方 程(2-29),可写出该球壁的导热微分方程为：边界条件为积分两次，并代入边界条件得到球壁内的温度分布为:2-49)由傅里叶定律得到通过球壁的热流密度为:，2 )(q =(1/八-1匕)-22-50)可见，和圆筒壁导热不同，这里热流密度和半径的平方成反比。通过球壁 的总热流量(0=4兀/q)仍然和半径无关：.二 4欣储2)(一1/八-l/r22-51)球壁的热阻表达式为：D 1 (1 11R = TT(2-52)4 位 Mr2)例2-3温度为120c的空气从导热系数为九二18 W/(m.K)的不锈钢管内流过，外表传热系数 为加=65 W/(m2.K),管内径为di=25mm,厚度为4 mm。管子外外表处于温度为15的环 境中，外外表自然对流的外表传热系数为/22 = 6.5W/(m2.K)。(1)求每米长管道的热损失； 为了将热损失降低80%,在管道外壁覆盖导热系数为0.04亚/(1112的保温材料，求保温层厚 度；(3)假设要将热损失降低90%,求保温层厚度。解这是一个含有圆管导热的传热过程，光管时的总热阻为：_1 Inq/dJ 1R =+442川4 h2A21 ( 127rl 65 x 0.01251 ( 127rl 65 x 0.0125ln(33/25)186.5 x 0.0165 )= 1.6823 VW每米长管道的热损失为:0=A£=12O-15R 1.6823= 62.4 W设覆盖保温材料后的半径为由所给条件和热阻的概念有:- = 0.2光管依照温度在空间三个坐标方向的变化情况，又可将温度场分为一维温度场、 二维温度场和三维温度场。图2-1温度梯度与热流矢量、 等温线（实线）与热流线（虚线）同一瞬间温度场中温度相同 的点连成的线或面称为等温线或 等温面。在三维情况下可以画出 物体中的等温面，而等温面上的 任何一条线都是等温线。在二维 情况下等温面那么变为等温曲线。 选择一系列不同且特定的温度 值，就可以得到一系列不同的等 温线或等温面，它们可以用来表 示物体的温度场图。由于同一时刻物体中任一点 不可能具有两个温度值，因此不 同的等温线或等温面不可能相交。等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止 在物体外表上。物体中等温线较密集的地方说明温度的变化率较大，导热热流密度也较大。 温度的变化率沿不同的方向一般是不同的，如图2-1所示。温度沿某一方向A 的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即2-2)2-2)dt dx在各个不同方向的温度变化率中，有一个方向的变化率是最大的，这个方 向是等温线或等温面的法线方向。在数学上用矢量一梯度来表示这个方向的变 化率：2-3)grad”包dn0%式中gradl表示温度梯度；一为等温面法线方向的温度变化率；n为等温面法dn线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。温度梯度是矢量，其方向为沿等温面的法线指向温度增加的方向，如图2-1所示。在直角坐标系中，温度梯度可表示为：dt . dt . dt2-4)2-4)=l -1 Hdx dy dz1n(d2 /)1h 2勿4h2 A21 + In©/&) + 1n(幺/出)+ 1% A2勿427rlA2h2A3ln(33/25)65x0.012518 1ln(33/25) ln(q/0.0165)165 x 0.012518-00465”= 0.2由以上超越方程解得门=0.123 m,故保温层厚度为123 - 16.5 = 106.5 mm。(3)假设要将热损失降低90%,按上面方法可得门=1.07 mo这时所需的保温层厚度为1.07-0.0165 = 1.05 m。由此可见，热损失将低到一定程度后，假设要再提高保温效果，将会使保温层厚度大大增 加。例题2-4热电厂中有一直径为0.2m的过热蒸汽管道，钢管壁厚为0.8mm,钢材的导热系数为 办二45 W/(m.K),管外包有厚度为3 = Q 12m的保温层，保温材料的导热系数为九二0.1 W/(mK),管内壁面温度为加=300,保温层外壁面温度为刈3 = 50。试求单位管长的散 热损失。解这是一个通过二层圆筒壁的稳态导热问题。根据式(2-48),Qi 二略。ln + ln4d?(300-50)1 0.2 + 2x0.0081 0.216 + 2x0.12x InFIn 2ttx450.22»x0.10.216= 210.3W/m从以上计算过程可以看出，钢管壁的导热热阻与保温层的导热热阻相比非常小，可以忽4变截面或变导热系数问题在前面导热问题的分析中，都是 先由微分方程求温度分布，再由傅里 叶定律求得热流密度。实际上很多情 况下，不求解微分方程，而对傅里叶 定律直接积分也可以得到相同的结绝热图2-12变传热面积的导热问题果。这一方法对稳态一维变物性、变传热面积的导热问题非常有效。稳态一维 问题的一个重要特点是热流量。与坐标变量无关，积分时可以当常数处理。现在考虑图2-12所示的稳态一维变物性、变传热面积的导热问题。一变截 面物体两端分别维持恒定的温度力和亥，侧面绝热，横截面积沿X方向是不断变化的。乂 /、力= dx01 = -I 2(。力J%2 A %一晶-a力现:r 二、-G由傅里叶定律:别离变量可得：或而上式中是所考虑温度区间导热系数的平均值。故最终得通过这一变截面物体的热流量 为：2-53)当2不是温度的线性函数时，要计算积分才能得到X的平均值。当X是,的线性函数时，可用平均温度下的X值作为平均值。假设4 =%(1 +6)时:2 =J-2O(1 + M2 '1 t日(7 A +图2-13具有内热源的平壁导热5内热源问题1）具有内热源的平壁前面讨论的都是无内热源的一维稳态导热问题。在工程应用中，也经常遇 到有内热源的导热问题，如电流通过导体时的发热、化工过程中的放热和吸热 反响、反响堆中燃料元件的核反响热等等。在有内热源时，即使是一维稳态导 热，热流量沿传热方向也是不断变化的，微分方程中必须考虑内热源项。考虑一具有均匀内热源色的大平壁，厚度为25,平壁的两侧均为第三类边界条件，周围流体的温度为"，外表传热系数为正由于对称性，这里考虑平 壁的一半，如图2-13所示。问题的数学描述为：微分方程：d2tdx1考虑边界条件时，x = 0处可认为是对称条件,这样两个边界条件为:x = 0,dtdx0;.dt 7 /、- 2 = t f)dx对微分方程积分得:将x = 0的边界条件代入上式可得a =0。再将口 =0代入上式，并再次积分得:32222最后将 = 3的边界条件代入上式可得求出C2,得出具有均匀内热源的平壁内温 度分布为：小 / 大2 2 2-54)2-54)t =(3 X ) HF t22h由傅里叶定律得任一位置处的热流密度为:由结果可知，具有均匀内热源的平壁温度分布为抛物线，而不是线性的。 同时，热流密度不再是常数，而是与九成正比。上面我们分析的是第三类边界条件下的结果，当%-00时，tj 八，这时第三类边界条件变为第一类边界条件。在式（2-54）中令-00和。=几可得 第一类边界条件时的温度分布为：22(2-56)2）具有内热源的圆柱现在考虑一具有均匀内热源在的长圆柱，半径为R,外表温度为九，我们来导出圆柱体内部的温度分布。采用圆柱坐标，问题的数学描述为： 微分方程：d2 t 1力色八r + = 0dr r dr 2边界条件为中心对称条件和外表第一类边界条件：C 出（r = 0,=0dr2-57）r = R. t = tw（v2-58）将微分方程变成便于求解的形式：对上式积分一次可得：dt J 2 dr 22由边界条件（2-57）可得G=0。这样上式变为：dt 0一 二rdr 22再次积分得:由边界条件（2-58）可解得:故最终得温度为抛物线分布: 9r + C2422t =（R一，）+442卬2-59)圆柱体中心具有最高温度tc：i>R2c +兀(2-60)3）具有内热源的圆筒对具有均匀内热源色的长圆筒，假设其内径为门，内外表温度为Q外径为小 外外表温度为自 那么微分方程同上，边界条件为:r = r2, i = i22-61)(2-62)微分方程的通解为:一r2 +Glnr + C24212代入边界条件后得温度分布为:t =(r；厂)+ G In 一 42丫22-63)其中常数G为:C _ (，1 - 12)+ 叁(42 7)/4/11ln(rj /r2)例题2-4 一直径为3 mm、长度为1 m的不锈钢导线通有200 A的电流。不锈钢的导热系数为4=19W/(m.K),电阻率为0=7x10-7 Q.m。导线周围与温度为110的流体进行对流换热, 外表传热系数为4000 W/(m2.K)o求导线中心的温度。解这里所给的是第三类边界条件，而前面的分析解是第一类边界条件，因此需要先确定导 线外表的温度。由热平衡，导线发出的所有热量都必须通过对流传热散出，有：火二二人"(4一8)电阻R的计算如下:=0.099 Q L 7乂10一7R = p彳A »(0.0015) 2故热平衡为：(200)2(0 099) = 4000 »(3 x W3) (-110) = 3960 W由此解得：心二215 单位体积的生成热由下式计算：/R = &V4 = 3960 9 = 560.2xl06 W/m3%(0.0015 产这样由式(2-60)得导线中心的温度为:560.2义1。6*0.0015 24x19+ 215 =231.6 6肋片导热如第一章所述，传热工程包含串联着的三个环节。在这样三个环节中，经 常遇到其中一个对流环节热阻较大，强化这个环节的传热，降低其热阻，对增 加整个传热过程的传热量非常重要。由牛顿冷却公式可知，增加换热面积是强 化对流换热的有效方法之一，工程上经常采用肋片(又叫翅片)来强化换热。肋片是依附于基础外表上的扩展外表。肋片能够强化传热有两个原因，一 是扩展外表增加了传热面积，二是扩展外表的存在破坏了对流边界层，增加了 流体的扰动，使传热效果增强。肋片有很多不同的形状，图2-13示出了几种典型的肋片结构。肋片可由管 子整体轧制或缠绕、嵌套金属薄片并经加工制成，加工的方法有焊接、浸镀或 胀管等。（a）针肋（b）直肋（c）环肋（d）大套片图2-13肋片的典型结构肋片导热和平壁及圆筒壁的导热有很大的区别，其基本特征是在肋片伸展 的方向上有外表的对流换热及辐射换热，因而热流量沿传递方向不断变化。另 外，肋片外表的所传递的热量都来自（或进入）肋片根部，即肋片与基础外表 的相交面。我们分析肋片导热的目的是要得到肋片的温度分布和通过肋片的热 流量。1）通过等截面直肋的导热从图2-13b中取出一个矩形肋片，肋的高度为H、厚度为3、宽度为/,与 高度方向垂直的横截面积为4,横截面的周长为P。参见图2-15,设肋根的温 度必，周围流体温度为的肋片与环境之间有对流和辐射换热，复合外表 传热系数为九 为了简化分析，进行如下合理假定：（1）肋片在宽度/方向很长，可不考虑温度沿该方向的变化。当考虑单位 宽度肋片时/= 1;（2）材料的导热系数%及外表复合传热系数人为常数；(3)肋片的导热热阻b/丸与肋片外表的对流换热热阻1，相比很小，可以 忽略。一般肋片都用金属材料制造，导热系数很大，肋片很薄，基本上都能满 足这一条件。在这种情况下肋片的温度只沿高度方向发生变化，肋片的导热可以 近似地认为是一维的，温度仅沿工方向变化。(b)图2-14肋片导热分析求解肋片导热问题有两种方法，一种是将肋片外表和环境间的换热等效于 肋片的内热源或热沉，按有内热源的导热问题来求解7。这里采用另一种方法, 应用傅里叶定律对微元体直接列出能量平衡。考虑图2-14(b)所示的微元，由能 量守恒：2-64)其中四是导入微元的热量，再+公是导入微元的热量，数是微元和环境间的换热。由傅里叶定律和牛顿冷却公式，上式各项分别为:不1 A出Y =-2AXC /ax不 小ddt _ d2t .x+dx =Tdx = /L4AA dxA-r UAAfC JC j /axdx式中4为截面积。微元和环境间的换热为: s = hPdx(t _ 晨)其中P肋片截面周长。将上面各项代入式(2-64)得:24*)2-65)令根=令根=,9 =，以为过余温度，那么式(2-65)变为:2-66)这是一个二阶线性齐次常微分方程，通解为:这是一个二阶线性齐次常微分方程，通解为:八 八 mx . - -tnxU = c、e + c2e犬=0处的边界条件为:2-67)另一边界条件取决于肋片端部x = H处的条件，有如下三种可能:另一边界条件取决于肋片端部x = H处的条件，有如下三种可能:(1)肋片高度”很大,(2)(3)肋片为有限高度, 肋片端部绝热：肋片端部温度趋近周围流体温度:x = co ： 3 = 0端部参与和周围流体换热；dx dx第一种情况下的特解很简单，积分常数为： C1 = 0, C2 =%dx dx第一种情况下的特解很简单，积分常数为： C1 = 0, C2 =%=0肋片的温度分布为:2-68)第二种情况下的特解相对复杂，求解过程可参阅文献8-10,最后的结果为:coshm(H %) + 0/(ml) sinhm(H - x)cosh(mH) + /z/(m2)sinh(mH)2-69)其中双曲函数的定义为:cosh(x) = smh(x)=i /、 sinh(x) tanh(x)=-cosh(x)相比之下，第三情况假定肋片端部绝热的结果最实用，得出的结果相对简 单。由于肋片端部面积较小，这一假定所带来的误差不大。先由边界条件确定 积分常数：/ c 八 mH 八八-mHU = ce c2e解得:l + e2mH "c二一2 X + e2mH故温度分布为:mx .2 mH -mxn=n e +e e0 l + e2mH_ coshm(x- /)° cosh(m/)2-70)此温度分布曲线见图2-14(c)。当x = /时:cosh(0)cosh(mH) cosh(inH)现在来计算肋片外表的传热量，从肋片的结构可知，由肋片外表散入外界 的全部热量都必须通过九二0处的肋根截面。dedxhP2-71)2-71)= tanh(;n/)x=o m为了表征肋片散热的有效程度，经常要用到肋效率的概念。肋效率力定义 如下：=实际散热量% 假设整个肋外表处于肋基温度下的散热量 对于等截面直肋，其肋效率为：hP蔡% tanh(机H)anhg“)71f hPHO - mH初dtdt其中三，9,三分别为温度对x,y,z方向的偏导数；分别为x,y,z方dxdydz向的单位矢量。假设引入哈米尔顿(Hamilton)算子V：w d . d . dV =1 + 1 + kdx dydz2-5)那么：grad, = Vt(2-6)2傅里叶定律由第一章可知，当物体内部存在温度梯度时，能量就会通过热传导从温度 高的区域传递到温度低的区域。热流密度定义为单位时间通过单位面积的热流 量，用9来表示，单位为W/m2。经验发现，热流密度和垂直传热截面方向的温 度变化率成正比。热流密度也是矢量，其方向指向温度降低的方向，因而和温 度梯度的方向相反。傅里叶定律的一般形式为：q = -Agradt = -A n dx2-7)式(2-5)又称导热基本定律，或傅里叶定律的数学表达式，它可进一步表示为:dt . dt 12-8)2-8)I HJ Hkdx dy dz这样热流密度在x,y,z方向的投影的大小分别为:1 dtqy 水;dyq-生z Sz2-9)由于热流密度方向与等温线的法线方向总是处在同一条直线上，故热流线 和等温线是相互正交的。应该指出，如上形式的傅里叶定律只适用于各向同性 材料，这时，不同方向上的导热系数是相同的。而对各向异性材料，导热系数 随选定的方向不同而不同。各向异性材料中的傅里叶定律可参考文献1。3导热系数导热系数(即热导率)是出现在傅里叶定律中的比例常数，它表示物质导 热能力的大小，是重要的热物性参数。由式(2-7),导热系数的定义式为：图2-15矩形及三角形直肋的效率曲线故肋效率与(加“)有关，即与肋片的几何参数，材料的导热系数及外表传 热系数有关。由于肋片宽度/比厚度5大得多，可取单位长考虑(/=1),这时：P = 2 + 2 旌 2其中=阳是肋片纵剖面积。这样肋效率少既可表示为根”的函数，也可表 示为2/z/(/L4l)2/尹2的函数。图2-15表示了矩形及三角形直肋的效率曲线。由 图2-15可知，mH愈大,肋片效率愈低。对于矩形肋，由根”的表达式可知影响矩形肋片效率的主要因素有：(1)肋片材料的热导率2：热导率愈大，肋片效率愈高；(2)肋片高度H：肋片愈高，肋片效率愈低，故肋片不宜太高；(3)肋片厚度5：肋片愈厚，肋片效率愈高；(4)外表传热系数九/2愈大，即对流换热愈强，肋片效率愈低。一般总是 在外表传热系数较低的一侧加装肋片。在上面的分析中假设肋端面的散热量为零，这对于工程中采用的大多数薄 而高的肋片来说，用上述公式进行计算已足够精确。如果必须考虑肋端面的散 热，也可以采用近似修正方法11,将肋端面面积折算到侧面上去，这时可用假想肋高"，=" + s/2代替实际肋高H。2)通过环肋及三角形截面直肋的导热对环肋和三角形肋片，理论分析说明，肋效率0也是mH的函数，通常将 力与加H或2/1/(兀4)1/2环/2的关系绘制成图表。三角形直肋的效率曲线见图2-15,环肋的效率曲线见图2-16o(次产也/口局)产2图2-16环形剖面肋片的效率曲线例题2-5如图2-17所示，一厚度为10mm,导热系数为50W/(mK)的不锈钢板两端维持固定 温度50,钢板两端之间的距离为20cm,在垂直纸面方向很长。钢板上外表绝热，下 外表和2(TC的空气对流进行对流换热，外表传热系数为32W/(m2.K),试导出此钢板的中心 的温度。绝热 50°Ch =32W/(m2K)图2-17钢板导热问题解由于对称性，此问题等效为原厚度两倍，长度一半的肋片问题，温度分布为:mx . 2 ml -tnx*8。 i + ./ =8。coshm(x-/)cosh(m/)ml-1hP32=0.8 xO.Ol2h钢板中心处 = I = L12.少。黑箭H22.C故钢板中心温度为：t = 22.39 + 20 = 42.39 例题2-6为了测量管道内的热空气温度和保护热电偶测温元件，采用金属测温套管，热电偶 端点镶嵌在套管的端部，如图2-18所示。套管长/ = 100mm,外径d = 15 mm,壁厚 b = lmm,套管材料的导热系数2=45 W/(mK)。热电偶的指示温度为200,套管 根部的温度砧=50,套管外外表与空气之间对流换热的外表传热系数为/Z = 40 W/(m2.K)。 试分析产生测温误差的原因并求出测温误差。解由于热电偶是镶嵌在套管的端部，所以热电偶指示的是测温套管端部的温度力。测温套 管与周围环境的的热量交换情况如下：热量以对流换热的方式由热空气传给测温套管，测温 套管再通过热辐射和导热将热量传给空气管道壁面。有关套管和周围环境之间的辐射换热引 起的测温误差将在第七章进行讨论，这里只考虑套管的导热。