第5章 无源网络综合.docx

第五章无源网络综合§5. 1网络分析与网络综合网络分析网络综合(a)(b)图5.1网络分析与网络综合 网络综合：争论科学的数学的设计方法。 网络分析与网络综合的区分：1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析那么肯定是有解的)。而“设计” 问题的解答可能根本不存在。0.25Q 布七 无源k>lV RLCM QIC+0.5V图5.2网络综合解答不存在状况一4axI24x0.250 52= 1W<P =- = 2.5WL 0.1(a)图5.3网络综合解答不存在状况二2 “分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。(a)(b)(c)图5.4网络综合存在多解状况3 “分析”的方法较少，“综合”的方法较多。网络综合的主要步骤：(1)根据给定的要求确定一个和实现的靠近函数。Ks(s2 + :)(52 +。；)K(s2 + co：)(1 + CD；)尸(s) = N(S), D(5) = Ks(s - M )(s + M)=N(s)、D(s)或为奇函数或为偶函数。偶奇偶实数虚数奇虚数实数(4) Z(jG)= jX(。)，纯虚数，电抗性质。5Z(s)的零、极点交替消失在j轴上。所以N(s)、O(s)必为一偶一奇一Z(s)为s 的奇函数。"口"+©(:+心£(/ + %)(/ +%).叱 K(、 K.sK s=K,s + 3+, ,+-+ 。+oo?299S S + 69 1S + CD.pipiZ(jG)= jKw-凡 + + + . = jX 一一 %一”dX(= kK° 凡(%+疗) (+*da) “ co2 (耳一 # y( - a)2 y示意图如下：(2)P(s)为偶函数一 P(j。)为实数；P(s)为奇函数一P(j。)为虚数。x(M a(b)图5.10 LC导抗函数的零极点分布图 综上得LC导抗函数的充要条件：1 z(s)或丫为正实函数；2零、极点均位于j口轴上且交替消失。二LC 一端口的Foster综合(基于局部分式绽开)1 Foster第一种形式串联形式，用Z(s)图5.11 LC导抗函数的Foster第一种综合形式Lg = Kg, C° = l/K。, G = 1K，Lj = KJ说七=lim ZQ", k。= limZ(s)s, & = lim Z(s)S8 §S-0Sfj 例2 Foster其次种形式并联形式，用丫y(s)= > Z(s)o y(s)C =K“K09K；S=降5 + 7+ £ 2工/)2/I Si=i S + CD：fIe工V/、1(1%)S3 匕(s) =厂=厂3 L "；+s? +r 4 i sct lg图5.12 LC导抗函数的Foster其次种综合形式【例】5.2分别用Foster第一和其次种形式综合阻抗函数【解】【解】Z(s) =(1)对Z(s)进行绽开Z(s) =8(/+1)(1+3)5(?+2)(52+4)K(、 K,s K,s +H+ .s s- + 2 s-+43 2s 3s5 + 52 +(V2)2 + 52 +2224Ka = lim Z(s)s = = 3,0 2。8Y+2 c=2s§2 + 4K,=limZ(s)= 3f 2§o图5.13例题5.2的Foster第一种综合形式Co= = -F, C=-F,右=S=1H, C2=-F,乙2=与=" 0K031 K, 2 q22 K2 32*4对Y(s)进行绽开31V,、15(？ + 2)(52+4) h K；s K2s 116 s 16 sZ(s) 8(/ +1)(/ +3)?+l / + 3 8 s2+l s2+3QC,七Gr（5） Q 二01图5.14例题5.2的Foster其次种综合形式尸 _1口_ 3，_ 1 _16Cg - K F, G - F, 11 -； - H88 8 I ；161 K, 3一， 、 1 1C9 = -7 = F, L = -r = 16H一局 48 一 K2三Cauer（考尔）综合（基于连分式）sLxsLsL,Z(s) = sL、+ Z(s) = sL、+ =，、 Z(s) = sL、+-I 升(s)sC1 + n (s)sG + -sl2 + Z3(5)s f 8为X (s)的极点s -> 8为Z2的极点S f 8为X (的的极点1 Cauer第一种形式（特点：逐次移出Sf 8处的极点。串臂为电感，并臂为电 容）图5. 15 Cauer第一种形式原理图/ + 【例】5.3设Z（s） = -o试用Cauer第一种形式综合。3s3十【解】Sf8为Z的零点，故首先用Y（s）。“ 、31 + 12s1y（s）=2 I =3s + irs +11.1s +9 9s使用长除运算得到上式。（多项式按降幕排列）52+ 1)3? +125(353- +3sO1一a=3F 二二mnq=9F9s)/+l(s/9 比 2 ° 52+0图5. 161）9s（9ssC29s02 Cauer其次种形式（特点：逐次移出s=0处的极点。串臂为电容，并臂为电感）11Z(s)=十 -S、G Y(s)Z(s) =+ $G 1 1 1sL、 Z2(s)5 = 0为八(5)的极点=0为匕(S)的极点5 = 0为22(5)的极点图5. 17 Cauer第二种综合原理52 +1例5.4设Z(s)=-o试用Cauer其次种形式综合。3?+125【解】 1 1Z(s) = + 77T 161S X4s使用长除运算得到上式。(多项式按升幕排列)12s + 3s3)l + s2(i/(i2s)l/(sG)1 + $2/43s2/4)12s + 3T(16/s l/(sL)+ 0353)3?/4(l/(45)-l/(5C2)3s2/40G =12F C9 =4FoIb-TILL) =H1 16 o图 5.18S)/+5/+6/+7?+9练习1试确定以下驱动点阻抗函数能否用LC 一端口来实现?5(?+1)(?+16) (52+9)(? + 25)(c)53 +1.5s/+3?+2/+10r+9试用Foster两种形式综合阻抗函数Z(s)=(Y+IXY+S)s(Y + 2)试用Cauer两种形式综合阻抗函数Z(s)=4s3 + 6s"5/+44设计一个LC 一端口网络，要求啰= 20,40md/s时，阻抗为零; G = 30,50rad/s时，阻抗为无限大；G = 10rad/s时，阻抗为200Q。参考答案2Z(s) = s +1.5 0.5s1S 5 + 2丫二rm1HtFII(l/2)s (l/2)s52+l +52+32Fs(/ + 2) (s2 + 1)(s2+3)Cauer 141+65)/+51+4(s/4/ + 1.5/3.51+4)41 + 65(85/7 4?+325/70rrpL- JJ8 / 7)HJ1 (5 /14 )H(1/4)F (49/20)F105/7)3.552+4(495/203.514)105/7(55/14105/7Lf 430 口 H49Cauer 226s+ 41)4 + 51 +54(一G, 8 2 3sL4 + t-3.s2 + s，)6s + 4s十至o3A 18 ?6s As710 3 7 24/ 49s )-s +s (7330s34)%(W7 7s10 3一S'70§5.6 RC 一端口的实现一 RC一端口的性质（必要条件）1全部零极点位于负实轴上，而且是一阶的。解释：假设不位于实轴一冲激响应振荡一同时存在LC元件;假设位于正实轴一冲激响应发散。以上对无源RC网络是不行能的。证明：（1）位于负实轴：%(s) = 0,取）=/WQ+4（江令ZS）=。得一筮土。丫二忌F*）+溪匕'令 y（sl = 0 得、令 y（sl = 0 得、9<0一z（s）= i/y（s）零极点是一阶的零极点是一阶的Z(s)= E+JX=看F。+ 黑外（S）+b%（S）/（b2+Q2）外（S）+b%（S）/（b2+Q2）MG）一切匕（s）|/|（5）|2"+。2）（X与0反号）设P为n阶极点，那么sf P1时，Z（5）«37。（s-Pi）令 K_n = Kej（p, s = reJ°（O <0 < 2"）KkK得 Z（5）eji<pn0 = cos（p - n0）+ j sin（p - nO）X = &sin（p-几 6） = 一与 rsin（6）=-与 （ =1,。=。时） rnrr故 =1,° = 0（K_ = K> 0,留数为正）2极点留数为正实数（它们与R、C值成比例）3最低的临界频率（即最靠近原点的零极点）为极点，原点处要么是极点，要么是 常数。OCZ0y-y-O-：T oII（a）（b）图 5.204最高的临界频率为零点，在sf 8处要么为零点，要么为常数。5零极点交替消失在负实轴上。（除国0）Z（s）=鼠+%+ +工-S S + （T|S +甯二号+工二卜。1全部零极点位于负实轴上，而且是一阶的。2 Y（s）的极点留数为负实数，而Y/s的极点留数为正实数。3最低的临界频率为零点。4最局的临界频率为极点。5零极点交替消失。三Foster综合（基于局部分式绽开）1 Foster第一种形式（并串联形式）Z(s)= Kg + 8+ + + + Ss + (J S +(Kg,K,>0)OIZZIII- aG1T ' s + l/(RC)图5.22 Foster第一种综合形式七="l l/Ko，R = Ki0，G = 1/K,Foster其次种形式（串并联形式）绽开V=K8s+§+力3 z=lKjS + <TZ得 丫（$）=皤$+K0+力i=由于3=高曷所以对号进行绽开一o图5.23 Foster其次种综合形式(1/3)F(1/2)FQ F44)/4。 "RlI/K。G = K,/5，Rj=l/Kj【例】5.5试用Foster两种形式综合Z(s)= 2" +1)($+ 3) s(s + 2)【解】(1) Foster第一种形式3 I绽开Z(s) = 2 + +S 5+2(2) Foster其次种形式/为)5 + 21/41/4绽开，=+S 2(5 + 1)( 5 + 3) 5+1 5 + 3Foster 1Foster 2图5.24例题5.5图四Cauer型综合（基于连分式）Cauer第一种形式（串臂为电阻，并臂为电容），由Z（s）性质4得z（s）=与 +!j$G+7氏2 +j+ , ICauer 1图5.25 Cauer第一种形式多项式用降幕排列。1 Cauer其次种形式（串臂为电容，并臂为电阻）。由Y（s）性质3得(2)查找一个具有上述靠近函数的电路。§5.2网络的有源性和无源性输入一端口网络N的功率从任何初始时刻办到看,该网络的总能量WQ) = W«o)+ f%(r)z(r)dr式中卬伉)为在初始时刻务时该一端口储存的能量。假设对全部务以及全部时间(2/0，有W(O>O,Vv(r),z(O(1)那么此一端DN为无源的。假如一端口不是无源的，达就是有源的。就是说，当 且仅当对某个激励和某一初始值%以及某一时间/ 2务，有W<0,那么此一端 口就是有源的。换句话说，假如一个一端口是有源的，就肯定能找到某一激励以 及至少某一时间式(1)对这个一端口不能成立。在以上有关无源性的定义中必需计及初始储存能量W(%)。例如，对时不变的线 性电容，设它的电容值为C,那么有r v(z)w=W(%) + = W0) + Cf vdv九Ju«o)=W%)+ _ ； Cv2 (?o)=l 02 乙乙乙1 9式中W«o)= CV «o)。所以。>0时'，电容元件为无源的，而当。<0时(线性负电容)，那么为有源的。但是，如不计及式中的初始能量项，那么1 9 1 9卬0)二户2。2&)卬为从到/输入网络的能量。这样即使C。，W在某些时间将小于零。 事实上充电的电容有可能向外释放储存的能量，但是计及初始能量，它不行能释 放多余原先储存的能量。为了考虑这种状况，引入了有关“无损性”的概念。设一端口的全部 从8为“平方可积”，即有:r(5)=i+1 .sG 1 ,1R?_ + .+_L_G X+JR _L图5.26 Cauer其次种形式多项式用升幕排列 【例】5.6试用Cauer两种形式综合队）=磊贵。【解】（1） Cauer 1s2 + 65 + 8Z(s) = -=1 + 5+45 + 3 1 ,A s +2s2 + 65 + 8Z(s) = -=1 + 5+45 + 3 1 ,A s +24-+31I1 .5s +A f 030.5F-CZI(4/3)。-CZI(1/3)。1.5FsC2图5.27用Cauer 1综合结果Cauer 1 的长除过程52 +4s + 3)§2 +6s + 8(1R|s2 + 4s+ 3Is + 5)s2 + 4s + 3(0.55 ,$G s2 + 2.5s1.5s + 3)2s + 5(4/3& 2s+ 4-1)1.5s + 3(1.5ssC2 l.5s3)l(l/3 & 0-Cauer 2y（s）=y（s）=3 + 4s + §2S + 6s + s232 一+7s人1sG49188+ 968|14 引+ 0I 1 41瓦-4 .图5.28用Cauer2综合结果Cauer 2 的长除过程8 + 6s + s 2 )3 + 4s + s 之(§ 75 2、q /2/21 s + s )8 + 6s + s (48 °C 7s sC8 +57225 2/491s + s ) s + s (74888 凡749 2s + s4883 2、229681s ) s + s (447 2k sC222-一s72、3.31)s (a)(b)Z(s) =/ + 7s + 12/ + 3s2 + 3s + 1(c) Z(s) = ；*s"7s + l。53 + 11.552+39 + 36s2 + ls+ 12(c)丫 =(d) y(s)=l：6/+1s + 6 /+4s+ 3.752试用Foster两种形式综合RC阻抗函数Z(s) =(s+ 2)(s +6)(5+1)(5+ 4)444463试用Cauer两种形式综合RC导纳函数y（s）=y（s）=s(s + 2)(s+ l)(s +3)4 一个阻抗函数的零极点分布如图5.29所示，Z（0） = 8Q o试用梯形电路实现此函数。4 j-CX842 1图 5.29题2答案 Foster 1 5/34/3Z(s) = l +5+1 5+4OCZ_o1Q -(57351(3/5)F"oT5O-,(3/4)F题2答案 Foster 2y(5)_(5+ 1)(5+ 4)s s(s + 2)(s + 6)题2答案 Foster 2y(5)_(5+ 1)(5+ 4)s s(s + 2)(s + 6)1/3+ s题3答案o( 11 11。 _L 4。 _0.5FT(1/6)FoCauer 1题3答案o( 11 11。 _L 4。 _0.5FT(1/6)FoCauer 1一(2/3)F 力(2/25)F 力(5/4)0 1oCauer 2§5.7 RLCM 一端口的实现一定义1不含j0轴上极点的阻抗（导纳）函数，称为微小电抗（电纳）函数。2在jG轴上某一点具有零实部的阻抗（导纳）函数，称为微小实部函数；3假如一个导抗函数同时是微小电抗函数、微小电纳函数，微小实部函数，贝I称 之为微小函数。（微小函数是正实函数）。不例 Z（s）=-s +s + 4极点s=0.5（1 土 j厉）（微小电抗函数），零点%=0-5（-1 土 j、Q）（微小电纳 4/7）2 44I函数）。ReZ（j）=二,=of（o =亚（微小实部函数）。（4 一"厂 +"二从正实函数中分解出微小函数1移出jG轴上的极点：、几2s4 + 3/ + 8s? + 6s + 5攻Z（s） =（s +1）（5 +5 + 4）移出j°上的极点：S +1K = limZ（5）= 1sfj s4（s）= z-3=言詈（在轴上无零极点）。2电阻约简（移出实部最小值）ReZ（jo）= （“I："）+1。当=0时，ReZ1（77y）=l = /?Tnin （469 ） + COZ2（5）= Zj（5）-1 =s2 +s + ls2 +s + 4-微小函数。Z（s） =o（Z（s） >o图5.28从正实函数中分解出微小函数例如 三微小函数的布隆综合设ZG）为微小函数，那么存在外，使得Z|（js）= jX 1以X<0状况为例：提取串联元件Zs（S），使余函数Z2（5）=Z1（5）-Z5（5）5=.=。，即要求J 1Z2（jq） = jX o(1)设串联元件为电容G 。，那么Z2(s) = Z|(s)-O进一步分析如下:sC(a) Z2G)在s=0处存在极点，且极点留数为-l/Ci0,Z2(s)不是正实函数。(b) Zi(s)=Z2(s)+l/(s。)在s=0处存在极点，Zi(s)非微小函数,冲突。故串联元件 不能为电容。(2)设串联元件为电感，那么vZs(jM = jg=jx。一0（a） Z2(s) = 4(s)-% =Z(s) + s|L |两个正实函数之和仍为正实函数。Z2(s) 在s = jq处存在零点(肯定成对消失)，移出之Z2（s） = 1/Y2（s）x' Li咛_T丫2($)=ZzG）K2 = lim s + 丫2（5）>0（丫2是正实函数） 加 Sl2 = i/k2 >0, C2 =坞/；>0图 5.29（b）匕（s）=匕（5）K2s , sf 8 时,S +Z2（5）oo, ,（$） - 0, X（s）f 0（零点）Z3（5）= L = Z4（5）+ 5A：3, K3 =£3 = K3 >0X"）-00 So-乙Z2（s）rwLZ3（S） rm_ 七3图 5.30Z4G)仍为正实函数，化为微小函数后重复上述过程。Z,G)在Sf 8处无极点。(c)解决负电感问题学习电路等效变换:MOerrzLp*cm.LUL2=ML3 = Ls - mLonnno0增加互感Lp = L + L2Ls = L2 + £3M = L2图 5.31消去互感可实现的（、Ls、用必需满意条件:Lp > 0, Ls > 0, Q<M< Lp + Ls 9 OWM LpLs，0<k = =<l (1) 2yl LPLS由图5.30得当sf 8时，4(S)=%+ 1 1 =/也丁 ”也)=% (Z/S)为有限值)S f 8+L2 + L3sL sL§由于Z1(s)是微小函数，在Sf 8处无极点，所以Kg验证条件（1）Lp = L、+ L? =I- L2 = > 0P 12 L2 + L. 2 L. + L.Ls = L? + L3 > 0_M =NO,22(L2 + L3)L?y/ LpLsJ L'L? + LJ3 + 44 + /3=1（全耦合）全部满意条件（1）。 H l r、FL r/ 、8$, + 6T + 16S + 5s + 7. 人、,【例】5.7设Z(s) =7o试综合N。(3s + s + 2)(s + 1)【解】1移出j。轴上的极点。L、= 1H, G = IFz（s）= * + ZG）， &=吧-Z（s） = l,zg)= z一品81 + 3s + 73sl +5 + 22电阻约简n rrz/. q 24694 - 34691+ 14 人 dzRqZ（jo）=1，令,ReZ（jo） = Oi#（2 3。） +co do69 =助=1 , ReZ （j 助）2Q = Rmin2 W 2 + r 4- 3Z2（5）= 4 （S） - 2 = :_ 一微小函数22 （j 外）=-j 3s +s + 2%=-lH%=-lH3 Z§ （j 69） = _ j = j 助 £3 ,（S = ±j为零点）（S = ±j为零点）7（、 7（、 7（、 2s2 +5 + 33/ + 352 +35 + 3Z.） = Z2（5）- Zs （s）=一不 + s =3/+S + 224 Y3（s） = - = -+Y, K4=Um上±X（s） = 1/3 /3（s） s +1s£4 =1/AT4 =3H, C4 =3/3=（i/3）f5 匕（s）= K（s）_ F =5+15 匕（s）= K（s）_ F =5+123s+ 3Z4（s） =一 = l.5s + l.5 = sLs + &,£s =L5H, R, =1.5。4 YAs）5555Lirm o1 I ILirm o1 I Iz;nu5R:1：2： 3 ：4：5I图 5.32消去负电感后得< 5 HL L 3 + + = 勺 4 4 all = % 4M时 O > X 2C9 + CoC?(C9 + C)L/=1L2 >0, L；=2 _VL >0G <0L；=_Jl <0, C7'=S>0G - C + c3图 5.34消去负电感4'。Z,Lp = £,'+L2'= (C2C3)2L2>0,Ls =乙2'+乙3'= (T)22 >。/丁l>o,人 r=i- C； -图 5.35、- s' + 3s 3 + 4s ? + 4s + 1练习试综合Z(s)= ；s + 3s + 3s + 1参考答案:0.25Q0.25QZ =+3s + 1 工=s +3s + l1 s3+3s2+3s + i' 225 + 1_ 2.5s +1_ 0.2553 - 2s + l '4 " 5 + 0.52 试综合Z(s)= s： + s + 45 +5 + 1参考答案:/力<00,假如对任何初始时间办，下式成立w =W&) +v(r)z(r)dr = 0式中W(%)为在初始时刻小时该一端口储存的能量，那么称此一端口为无损网络。以上关于V。)和平方可积的条件，也即V(GO)= v(co) = z(oo) = z(00)= 0就是说，一端口在1=00和1=TX)时均为松弛的。假设一端口在 = -0时无任何存储能量，那么无源性可按下式定义W(t) = f v(r)z(r)dr > 0> -oo (2)J00以上关于有源性的定义可以推广到N端口。假如全部端口的电压电流允许 信号对是真实的，且对全部人输入端口的总能量为非负的，那么此N端口为无源 的，即对全部，28,有W(t) = f v7(r)/(r)dr>0这里设 t = -CO 时，V(-OC)= 0, l(-GO)= 0 O假如对某些信号对，且对某些r>0,有州力=/gdxOJ-oo那么此N为有源的。假如对全部平方可积有限值允许信号对，有/，du = 0J-oo那么称此N端口为无损的。一个无损的N端口将最终把输入端口的能量全部 返回。线性(正)电阻元件、电容元件、电感元件均为无源元件。例如，对二端 电阻，按式(2)有可见,只要H>0,对全部K WQ)总是非负的。同理,对于非零的V。)和，«),WQ)将是，的单调非递减正值函数，因此当r=8时，WQ)不行能是零值，所以线性电阻是无源的、非无损的。线性负电阻、负电感、负电容是有源元件。对于抱负变压器，有22H 0按式(1-25)匕(哂(r) + v2(r)z2(r)d r = 0匕(哂(r) + v2(r)z2(r)d r = 0W)=J -oo所以抱负变压器是无源的且是无损的。练习：争论回转器和负阻抗变换器的有源性和无源性。回转器:0-r,负阻抗变换器:vi2§5. 3归一化和去归一化归一化定义：用一些合适的系数（常数）按比例换算全部电量，而不转变电路性质。 例如，用50作为电阻的换算系数（归一化常数），那么R = 75。（实际值）变成Rn =75/50 = 1.5。（归一化值）。归一化值、实际值、归一化常数之间的关系4二瑞'二|，尺弓T fTn ， fN , g）nT0 八 f°对实际值适用的物理关系,CD。对归一化值网络应保持不变，因此得R:L:C:f：G)：实际值Z(s) = Z(s) = RZ(s)= sL5 = a+ jco归一化值Zn(s)=-Zn(s) = RnZn (s) = s JnA Z(S)二 乂A Z)"Z(s) _ RZ0(s) Ro» Z(s) _ s LZ()(s) s。L。A Z(s)=ZoG) sCA J A/o T0 c fA = 271 -0 fos a . coA = + J-s。 4归一化常数AS(A = z()(s)s（）CoA °。=/o共七个关系式。综上得知，只有两个独立的归一化常数，假设选择多于两个，那么有可能破坏电量之 间的关系。通常选择Z。和人。此时Ro=Zo, Lo = Zo / /0, Co = 1/（ZO/O）, To = / fo, So=g = /o，Yo = 1 / Zo【例】图5.5(a)所示电路归一化电压转移函数为H（sC =H（sC =0U 1（S N）S N + S N +2中心角频率为血。(1)如要求中心频率为10kHz,求网络函数。如固定R=1O,求3 Co(3)如固定 C=0.1|nF,求 R, L。图5.5归一化例题图【解工(1)频率归一化常数为1yo = s（）= g = 2'° = 4.4429 x 104将L=二代入的"(S')得: s()4.4429 xlO4 5U （s） s 2 + 品5 + 2s： 52+ 4.4429 xl045 + 3.9479 x 109R° = i = z（）, L。= z。/ f0, co =Kn，o7oL=LAZL0 = 22.508 pH, C = C/VC0 = 11.254 pF_ C _=G=_ C _=G=A 1 x 1 0-61= 2x107, Z0= 112.539, /?0 =Z0 =112.5390.5° f°C°°°% =z。/人= 2.533x103, R=RqRn =112.5390, L = L0LN = 2.533mH§3.4正实函数1定义 设/（S）是复变量5 =。+上口的函数，假如（1）当Ims = 0时，ImF（5） = 0；（2）当Res2 0时,ReF（5）>0o那么称/G）为正实函数，简称PR函数。正实函数的映射关系如图5.6所示。（1）当Ims = 0时，ImF（5） = 0；（2）当Res2 0时,ReF（5）>0o那么称/G）为正实函数，简称PR函数。正实函数的映射关系如图5.6所示。2正实函数的性质（1）尸的全部极点位于S平面的闭左半平面，尸（S）在S的右半平面是解析的。证明思路：设尸（s）在s的右半平面存在极点，级数绽开，尸变号，与正实函数 冲突，假设不成立。位于jG轴上的极点是一阶的，且其留数为正实数。（包括。和±8）（3）正实函数的倒数仍为正实函数（对正实函数的零点也做了规定）。（4）设/"+ ”, =。那么|加一 区1, |上一/区1。at sn H-ats D（s）由于/7hlim 尸（s）=） 丁一,lim 尸（s）= s"，28 an2。 a在s f 8和s = 0处为一阶极点（零点）。无源RLCMb条支路3布隆定理（Otto Brune 1931年提出）4G)! 乂灯IInnn_oRkck Lkz（s）=i/y（s）(b)(b)(a)图5.7布隆定理的证明1b对图 5.7（b）,q（s）=（凡 +sLk + =）4（s） + £sMJ（s）sCk>2k并k定理：当且仅当Z（s）是s的正实函数时，阻抗函数Z使用集中参数的RLCM元 件（非负值）才是可实现的。必要性的证明：（充分性留在后续各节）1 *Z(s) =-U Xs) IMIAWI2 111 b*万而心）（由特勒根定理）(5.1)1 h1b=7K Z 叫+sLk + 丁) 4 +E sM 3 4 (s)I AU) I k=2SCkj=2j*k=看出+三+皿其中b耳(s) = Z凡匕/。k=2b 1K(s) = Zt4(s)/n。k=2 " bb b% (s) = Z 414 (s) I2 +z z M J(s) I k(s)k=2k=2 j=2jrkb hm>J(s)4(s)20k=2 y=2bk=2由式(5.1)得当Ims = O时，ImZ(5) = 0o (2)设s = cr+ jco, crNO那么R'4s) =看% + 占 + bM。(s)2。所以Z（s）是正实函数。4等价的正实条件一(1)当s为实数时，/s)也是实数；(2)对全部实频率G, ReF(j69)>0；(3)尸(s)的全部极点位于s平面的闭左半平面，位于j轴上的极点是一阶的，且 具有正实留数。以Z(s)为例解释如下：(1) CfLtsL、RfR。所以Z(s)中为的系数%肯定是实数，即 sCZ(s)是s的有理实函数。在正弦稳态下，一端口的等效电路为它消耗的平均功率为2=/；氏=/：12。啰)2 0(由于是无源网络)所以 ReZ(jG)NO。(3)设4(s) = l,即彳=5«),那么冲激响应电压为% =L- Z(sR(5) = L- Z(s) =+ £(kj° + + 51尸)决一阶高阶7假设Res>0或Res/>0，那么/D发散；假设Res/ = O(位于j。轴上)，那么”对应高阶极点的响应项发散。以上对无源RLCM网络是不行能的。5等价正实条件二设尸(s) = M(s)/N(s)(1) M(s)、N(s)全部系数大于零；M(s)、N(s)的最高次幕最多相差1，最低次嘉最多也相差1;尸(s)在j轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；ReF(jd?)>0； M(s)、N(s)均为Hurwitz多项式。例5.1推断以下正实函数是否为正实函数。2s + 3、 / + 2s + 25(a) a(s)=F； Z2(s)="4解(a)明显满意(1)、(3)o 又(j4)= 2j- + 3,ReZI(j。)= 2# +3 ,满意 jG + 169+1(2), 4G)是正实函数。2(b)明显满意(1)、(3)o 但 ReZ2(j g)=_27 +1°0<0(当0250)。3 +16Z2G)不是正实函数。乂+以§5.5 LC 一端口的实现LC 一端口: R = O,M=O,耳(s) = O,Z(s) = 774TILI小)=高筲+5一 Z(s)或Y(s)的性质图5. 9图5. 91在s=0处或是一零点或是一极点。SjL = O=> 短路；1/(S。) - 8=> 断路。端口处 要么等效为短路，要么等效为断路。分别对应Z(s) 的零点和极点。2在Sf 8处或是一零点或是一极点。解释同上。3Z(s)的全部极点和零点位于jG轴上。(因此是一阶，留数大于零)LC 一端口，R=0,冲激响应不衰减(由于无损)，等幅振荡，故全部极点位于j轴±o z(s)的零点就是y(s)的极点，也应位于j轴上。极点(零点)成对消失。4 Z(s)为 S 的奇函数，即 Z(s) = Z(s)。解释3