求曲边梯形的面积.ppt
-求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积王智敏王智敏和曲线和曲线 所围成的所围成的图形称为曲边梯形。图形称为曲边梯形。 曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：由直线由直线 0),(,ybabxax)(xfy 曲边梯形的概念zxxk2xy 案例探究案例探究 1xyo如何求由直线如何求由直线 与抛与抛物线物线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 S？2xy 0, 1, 0yxx看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？探究新知，归纳总结不规则的几何图形可以分割成不规则的几何图形可以分割成若干个规则的几何图形来求解若干个规则的几何图形来求解魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?-割圆术割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示? 以“直”代“曲”无限逼近案例探究案例探究 2xy 1xyo如何求由直线如何求由直线 与抛与抛物线物线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 S？2xy 0, 1, 0yxx思考1：怎样“以直代曲”？能整体以“直”代“曲吗？思考2：怎样分割最简单？思考3：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？nininii, 2 , 1,1 个区间为记第nninix11:长度y=x2xyO11 1、分割、分割这样这样0,10,1区间区间分成n个小区间： 1 ,1,2,1,1, 0nnnnn对应的小曲边梯形面积为SininSSSSS 211ininy=x2把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, , 在每个分点作底边在每个分点作底边的垂线的垂线, ,1n2n1nn案例探究案例探究 zxxk2( )( )iifnn2( )( )iifnn2 2、近似代替(以直代曲）方案方案.方案方案.方案方案xyO11ininy=x2211()()iifnn方案方案.案例探究案例探究 思考3：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？yx0221111,1,2,iiiiSfxxinnnnn i-1n)(yxfini-1()nf第i个小曲边梯形方案方案12 2、近似代替(以直代曲）y=x2xyO1Sinini 1案例探究案例探究 3 3、求和、求和y=x2xyO1nini 1nnnnnn1111102222231211nn12ninSSSSS n等分时案例探究案例探究 yx0221,1,2,iiiiSfxxinnnnn nini 1i-1n)(yxfin第i个小曲边梯形方案方案2y=x2xyO1Si2( )( )iifnn2 2、近似代替(以直代曲）案例探究案例探究 3 3、求和、求和nnnnnnn112112222223211nny=x2xyO1nini 112ninSSSSS 案例探究案例探究 211()()iifnn2211111 ()( )()( ) ,1,2,22iiiiiSffxinnnnnn i-1nin第i个小曲边梯形方案方案32 2、近似代替(以直代曲）2( )( )iifnnyx2( )yf xx方案方案3y=x2xyO1nini 1Si案例探究案例探究 12ninSSSSS 3 3、求和、求和22222221 1112231( )( )( )( )( )()( )2nnnnnnnnnn2222311212nnn 23121162nnnnn2111111126236nnnn2111111126236nSnnnny=x2xyO1nini 122111()( ) ,1,2,2iiiSinnnn案例探究案例探究 4 4、取极限、取极限n n当当分分割割无无限限变变细细，即即x x 0 0( (亦亦即即n n + +) )时时，1 11 11 11 1S S = = l li im m1 1- -1 1- -= =3 3n n2 2n n3 31 1即即所所求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为. .3 3例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积。 n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: :2xy 因此因此, , 我们有理由相我们有理由相信信, , 这个曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为: :lim111lim1261.3nnnSSnn n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy 归纳概括归纳概括 一般曲边梯形的面积的表达式一般曲边梯形的面积的表达式 niinfnabS1lim分割近似代替求和逼近以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：OyxOyxOyxOyx归纳概括归纳概括 1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积1、分割将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形分割梯形分割定义域“等分” 1 ,1;.;3,2;2,1;1, 0nnnnnnn“等分”区间长度：n1i-1n)(yxfini1i-1()Sfnn第 个黄色矩形i-1()nf10( )0Sfnn第1个黄色矩形3111( )Sfnnn第2个黄色矩形3124( )Sfnnn第3个黄色矩形231n-1(n-1)()Sfnnn第n个黄色矩形2、近似代替第i个小曲边梯形32n) 1i ( S黄色部分3、求和12n.SSS第 个黄色矩形第 个黄色矩形第 个黄色矩形3222n) 1n(.3213232323232n1)-(n.n1)-(i.n2n1n0S曲边梯形31(1)(1) 12(1) 16limnnnnnS曲边梯形4、取极限S黄色部分limnS黄色部分3222n) 1n(.3213222nn) 1n(.321lim31(1)(1) 12(1) 16limnnnnn2111lim()326nnn2111limlimlim326nnnnn131lim3nSS曲边梯形黄色部分i-1n)(yxfini-1()nf第i个小曲边梯形i-1n)(yxfin第i个小曲边梯形阅读课本42页 探究，思考从小于曲边梯形的面积来无限逼近从大于曲边梯形的面积来无限逼近区别？的函数值来计算有没有上的左端点和右端点在区间nini,1i-1n)(yxfini1i( )Sfnn第 个黄色矩形i( )nf3111( )Sfnnn第1个黄色矩形3124( )Sfnnn第2个黄色矩形1n1( )Sfnnn第n个黄色矩形2、近似代替32ni3、求和S黄色部分12n.SSS第 个黄色矩形第 个黄色矩形第 个黄色矩形3222nn.32132323232nn.ni.n2n131(1)(21)6limnn nnn4、取极限S曲边梯形S黄色部分S曲边梯形limnS黄色部分3222nn.3213222nnn.321lim2111lim()326nnn2111limlimlim326nnnnn1331(1)(21)6limnn nnn1lim3nSS曲边梯形黄色部分i-1nin)(yxf第i个小曲边梯形)(ifi个矩形第iS)(n1iifS个矩形第S黄色部分12n.SSS第 个黄色矩形第 个黄色矩形第 个黄色矩形)(n1.)(n1)(n1n21fff)(n1in1if)(n1in1inlimf上任意一点为区间i,1iinn端点右一般用左为了便于计算)(,黄色部分曲边梯形SSnlim2yx求曲边梯形的面积；其中曲边为函数y=x2练习：练习：1、分割 将区间等分成 n 个小区间2、以直代曲 对于区间i-1n,1n 作和 S=s1+s2+n=i 小结作业：作业：42练习，练习，45 练习，练习，
