向量法证明正弦定理(3页).doc

-向量法证明正弦定理-第 3 页向量法证明正弦定理证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R2如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)在向量等式两边同乘向量j,得·j·AC+CB=j·ABjACcos90°+jCBcos(90°-C)=jABcos(90°-A)asinC=csinAa/sinA=c/sinC同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得c/sinC=b/sinBa/sinA=b/sinB=c/sinC2步骤1记向量i ，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,ca+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90)+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinAa·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。