第5章 点的一般运动和刚体的基本运动理论力学.pdf
1 第 5 章 点的一般运动和刚体的基本运动 5.1 主要内容 5.1.1 点的运动的表示法点的运动的表示法 研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。 物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。这一 特点称为运动的相对性。通常以地球为参照系。 在同一参照系上， 可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。 如本章 讨论的各种坐标系。 点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。 对于不同的坐标系， 将有 不同的形式。 1矢量式 trr 其中r是点的矢径。此式主要用于理论推导。 2直角坐标形式用于轨迹未知的情形 建立直角坐标系Oxyz，动点 M 的位置由其在坐标系中的 x，y，z 坐标确定。 tftzztftyytftxx 321 , 上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。如果消去时间参数 t，即可得到轨迹的曲线方 程，它是下列两空间柱面方程的交线。 0,yx 0,zy 3弧坐标形式（自然法）用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以 s 为弧坐标。 tftss 点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。 点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。 1矢径法 r rv ar r v 2 2 d d d d , d d ttt 2直角坐标法 2 z t z v y t y v x t x v z y x d d d d d d z t z t v a y t y t v a x t x t v a z z y y x x 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d ， kjivzyx，kjiazyx 222 zyxv， 222 zyx a 3弧坐标法 vvs t s d d a as t v d d nnan n a v 2 0 b a bn aaaa 22 n aa a 切向加速度 a只反映速度大小随时间的变化，法向加速度 n a只反映速度方向随时间的 变化。 0va：加速运动 0 va：减速运动 几种特殊运动 （1）直线运动 , 0 n a （2）圆周运动 常数（圆的半径） （3）匀速运动 0 a （4）匀变速运动 常数 a 5.1.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。 是刚体运动的最简单形态， 刚体的复 杂运动均可分解成若干基本运动的合成。 刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体 3 上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。 刚体绕定轴转动用角坐标确定定轴转动刚体的位置。 运动方程 )()(ttf 角速度 td d 角加速度 td d 转动刚体上各点的速度分布 Rv 转动刚体上各点加速度分布 Ra 2 Ran R为点到转轴的距离。 矢量表示法矢量表示法 k 为 在z轴上的投影； k 为 在z轴上的投影。 定轴转动刚体上各点速度v及加速度a的计算： rv vra ra ， 切向加速度； van ， 法向加速度。 n aaa 其中r为由转动轴上任一点引向该点的矢径。 5.2 基本要求 1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动轨迹，能熟练地求解 与点的速度和加速度有关的问题。 2熟悉刚体平动和定轴转动的特征。能正确判断作平动的刚体和定轴转动的刚体 3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有 关的问题。熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。 4 5.3 重点讨论 三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。如果将矢径法中的矢量r、v、a用 解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴上的投影，就得出自然法中的速度与加速度。 直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考体上，可 用来确定每一瞬时动点的位置。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系(切向轴 、法向轴 n及副法向轴b)，因此，不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧 坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。 用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一阶和二阶导数， 得到速度和 加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将弧坐标对时间取 一阶导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度，物理概念清楚， 和 分别反映 了速度大小和速度方向改变的快慢程度。 在点的运动学中，问题的类型一般分为三类。 1 已知运动方程，求轨迹、速度、加速度运动量。这类问题首先要建立点的运动方程， 通过求导数运算计算速度和加速度。 2 已知动点的速度或加速度的变化规律， 求运动方程。 这类问题可通过积分运算求得 运动方程，积分常数由运动的初始条件确定。 3 综合问题。给出用直角坐标法表示的点的运动方程，需求点沿轨迹的运动方程，点 的切向加速度、法向加速度、全加速度及点的曲率半径等。这类问题表明，可用不同的方法 描述同一点的运动问题。 在刚体的基本运动中，首先要判断刚体作何种运动(平动或定轴转动)，然后根据刚体的 运动选用相应的方法。 对于平动刚体的问题，可归结为点的运动学问题； 对于定轴转动刚体的问题，可归结为两类问题。 1给出刚体转动方程，依次对时间求导数，得到刚体的角速度、角加速度，并求出刚 体上任一点的速度、加速度。 2给出转动刚体的角加速度，经过积分运算，求刚体的转动方程，但需给出初始条件。 5.4 例题分析 例 5-1例 5-1 已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。 DECD 。在AB段，加速度为a = g， 在 BCE段，切向加速度 cosga ；求 小环在 C、D 两处的速度和加速度。 5 解解 在 AB 段，由ga s v v t v a d d d d 作积分 sgvv RvB dd 00 得 gRvB2 2 在 BCE段，由 cos d d d d g R vv t v a 作积分 dcosd 0 gRvv v vB 得 sin2 22 gRvv B 在C点处，gRvC2, 2 ， gaaag R v a n cCC Cn C 4, 0,4 2 在D点处， 22 )()(,)22(, 2 2 ,848. 1, 4 3 D n DD n DDD aaagagagRv = 3.487g。 例 5-2例 5-2 A处抛一石刚能过仓库，取重力加速度g = 10m/s2； 求 l为多大可使初速度 v0最小？不计空气阻力。 解解 石块的运动方程为 2 0 0 2 1 sin cos gttvy tvx 消去t得轨迹方程 )tan1 ( 2 tan 22 2 0 x v g xy 将B、C两点坐标代入，分别得 )tan1 ( 2 1 tan20 22 2 0 l v g l (1) )tan1 ()40( 2 1 tan)40(20 22 2 0 l v g l (2) 图 5-1 图 5-2 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 6 由式（1） 、 （2）消去（1+tan2）得 20 )40( 240 tan ll l (3) 由式（1）式（2） ，得 tan 1 tan)20( 2 0 lgv 将式（3）代入上式，令0 d d 0 l v ，得l2 + 40l800 = 0 解得 l = 14.64m时最小 例 5-3例 5-3 半径为r的车轮在直线轨道上滚动 而不滑动，如图5-3示。已知轮心A的速度u是 常量，求轮缘上一点M的轨迹、速度、加速度 和轨迹的曲率半径。 解解：取Oxy坐标系如图示。令0t时，M点 位于坐标原点O， 轮心A位于Oy轴的A0点。 设 在t瞬时， 轮心和M点位于图示位置。 由于轮只 滚不滑 utAAMCOC 0 (a) 又 r ut r MC (b) M点的x、y坐标都是角的函数 sinrOCBCOCOBx (c) cosrrAEACMBy (d) 将式（a） 、式（b）代入式（c） 、 （d） r ut rutxsin (e) r ut rrycos (f) 这就是M点的运动方程。消去时间参量t，得M点的轨迹方程 r y ryryx1arccos2 这就是旋轮线或摆线方程。 图 5-3 7 式（e） 、式（f）对时间求一阶导数得速度的投影 r ut uvxcos1 (g) r ut uvysin (h) M点的速度的大小和方程余弦为 MD DE r ut v v MD ME r ut v v r ut u r ut r ut uvvv y x yx 2 cos 2 cos,cos 2 sin 2 sin,cos 2 sin2sincos1 22 22 jv iv (i) 可见，速度v恒通过车轮的最高点D。 式（g） 、式（h）对时间求一阶导数得加速度的投影 r ut r u t v a x x sin d d 2 r ut r u dt dv a y y cos 2 M点的加速度的大小和方向余弦为 MA AE r ut a a MA ME r ut a a r u aaa y x yx coscos,cos sinsin,cos 2 22 ja ia 常量 (j) 可见，加速度 a 恒通过车轮中心A。 式（i）对时间求一阶导数，得 M 点的切向加速度 r ut r u dt dv a 2 cos 2 (k) 式（j） 、式（k）代入式（5-21） ，得 M 点的法向加速度 r ut r u aaan 2 sin 2 22 由式（5-20）得轨迹在 M 点处的曲率半径 8 r ut r a v n 2 sin4 2 由此可见，当 r ut (对应轨迹的最高点)，曲率半径最大，)(2,4 max uvr )( 2 r u a；当0 r ut 或2 时(M 点在轨道上)，曲率半径最小，, 0, 0 min v )( 2 r u a。轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点不连续的尖端点。 例 5-4例 5-4 已知 OA = 1.5m，AB = 0.8m。机构从 = 0开始匀速转动，运动中 AB 杆始终 铅垂， B 端速度 vB = 0.05m/s;求 转动方程 = f ( t)和点 B 的轨迹。 解解 AB 杆平动， BA vv0.05m/s， 30 1 OA vA rad/s， tt 30 1 rad B 点的坐标为 cosOAx ABOAysin 消去，得其轨迹方程为 222 5 . 1)8 . 0( yx（圆） 例 5-5例 5-5 已知 = b sin t，O1A = O2B = l，AB = O1O2，轮2 的半径为 r2；求 s 2 t时，轮2的角速度2和角加速度2。 解解 刚体ACB平动， D点是轮2上与轮B啮合的点， 其速度为 tlblvv AD cos 加速度为 2 2 2 ,sin r v atlblaa Dn DAD 当s 2 t时， 2 , 0, 0 blaav D n DD 所以 2 22 2 2 2 , 0 r lb r a r v DD 例 5-6例 5-6 已知上题机构从静止开始运动， 轮2的角加速度2为恒量； 求 曲柄 O1A 的转 动规律。 解解 参照上题的分析，得 A 点的切向加速度和 O1A 杆的角加速度 图 5-4 图 5-5 9 2 2 22 , l r l a ra A DA 积分得 O1A 的角加速度和转动方程 2 2 2 0 2 2 0 2 d,dt l r tt l r t tt 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报： 奉献教育（店铺）
