概率统计实验.docx

§13.6 概率统计实验学习目标1 会用Mathematica求概率、均值与方差；2 能进行常用分布的计算；3 会用Mathematica进行期望与方差的区间估计；4 会用Mathematica进行回归分析。 概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。本节介绍Mathematica自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。一、 样本的数字特征1. 一元的情况Mathematica的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。它们在标准扩展程序包集的Statistic程序包子集中，位于目录D：Mathematica4.0AddOnsStandardPackagesStatistics下。通过查看Help，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。在程序文件DescriptiveStatistics.m中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有： SampleRangedata 求表data中数据的极差（最大数减最小数）。 Mediandata 求中值。 Meandata 求平均值。 Variancedata 求方差（无偏估计）。 StandardDeviationdata 求标准差（无偏估计）。 VarianceMLEdata 求方差。StandardDeviationMLEdata 求标准差。实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。例1 给出一组样本值：6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。 解：In1：= << Statistics DescriptiveStatistics In2：= data = 6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3； In3：=Lengthdata Out3=7 In4：=Mindata Out4= 3.8 In5：=Maxdata Out5= 6.6 In6：=SampleRangedata Out6= 2.8 In7：=Mediandata Out7= 6. In8：=Meandata Out8= 5.75714 In9：=Variancedata Out9= 0.962857 In10：=StandardDeviationdata Out10= 0.981253 In11：=VarianceMLEdata Out11= 0.825306 In12：= StandardDeviationMLEdata Out12= 0.908464 说明：在上例中，In1首先调入程序文件，求数据个数、最大值与最小值使用内部函数。2. 多元的情况 在程序文件MultiDescriptiveStatistics.m中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常用的有： SampleRangedata 求表data中数据的极差。 Mediandata 求中值。 Meandata 求平均值。 Variancedata 求方差（无偏估计）。 StandardDeviationdata 求标准差（无偏估计）。 VarianceMLEdata 求方差。 StandardDeviationMLEdata 求标准差。 Covariancexlist，ylist 求x，y的协方差（无偏估计）。 CovarianceMLExlist，ylist 求x，y的协方差。Correlationxlist，ylist 求x，y的相关系数。实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。例2 给出4个样本值：1.1，2.0，3.2，1.3，2.2，3.1，1.15，2.05，3.35，1.22，2.31，3.33，计算样本个数、均值、方差、标准差等。 解：In1：= << Statistics MultiDescriptiveStatistics In2：= data = 1.1，2.0，3.2，1.3，2.2，3.1， 1.15，2.05，3.35，1.22，2.31，3.33； Lengthdata Out3=4 In4：=SampleRangedata Out4= 0.2，0.31，0.25 In5：=Mediandata Out5= 1.185，2.125，3.265 In6：=Meandata Out6= 1.1925，2.14，3.245 In7：=Variancedata Out7= 0.00755833，0.0200667，0. In8：=VarianceMLEdata Out8= 0.00566875，0.01505，0.010325 In9：=CentralMomentdata，2 Out9= 0.00566875，0.01505，0.010325 In10：=x=dataAll，1；y=dataAll，2； z=dataAll，3； In11：=Covariancex，y Out11=0.0093 In12：=Covariancez，z Out12=0. In13：=CovarianceMLEy，y Out13=0.01505 In14：=Correlationy，z Out14=0. In15：=Correlationx，x Out15=1.二、 常用分布的计算 在计算机出现以前，统计计算总是依赖一堆函数表。使用本节介绍的函数可以取代查表，为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。1. 离散分布 程序文件DiscreteDistributions.m中，含有用于离散分布计算的函数。其中常用的离散分布有： BernoulliDistributionp 贝努利分布。 BinomialDistributionn，p 二项分布。 GeometricDistributionp 几何分布。 HypergeometricDistributionn，M，N 超几何分布。 PoissonDistribution 泊松分布。 DiscreteUniformDistributionn 离散的均匀分布。 NegativeBinomialDistributionn，p 负二项分布。 以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式，并不能返回任何其它结果。真正进行计算的是下面的求值函数，它们使用以上的分布表达式作为一个参数。 常用的求值函数有： Domaindist 求dist的定义域。 PDFdist，x 求点x处的分布dist的密度值。 CDFdist，x 求点x处的分布函数值。 Quantiledist，q 求x，使CDFdist，x达到q。Meandist 求分布dist的期望。 Variancedist 求方差。 StandardDeviationdist 求标准差。 ExpectedValuef，dist，x 求Ef（x）。 CharacteristicFunctiondist，t 求特征函数（t）。 Randomdist 求具有分布dist的伪随机数。 RandomArraydist，dims 求维数为dims的伪随机数的数组。例3 观察下面二项分布的各种基本计算。 In1：= << Statistics DiscreteDistributions In2：= b=BinomialDistributionn，p Out2=BinomialDistributionn，p In3：=Meanb Out3=np In4：=Varianceb Out4= n（1-p）p In5：=CharacteristicFunctionb，t Out5= (1-p+e it p）n In6：=b=BinomialDistribution10，0.3 Out6= BinomialDistribution10，0.3 In7：=Domainb Out7= 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 In8：=PDFb，4 Out8= 0.200121 In9：=CDFb，3.9 Out9= 0.649611 In10：=CDFb，4 Out10= 0.849732 In11：=Varianceb Out11= 2.1说明：在上例中，首先调入程序文件。In2用b表示具有符号参数的二项分布，这一步只是为了后面输入时方便，并非必需的，也可以使用嵌套省略这一步。In3In5进行的是符号运算，可以得到期望、方差等的一般公式。这是本程序与一般统计软件的不同之处，充分表达了Mathematica的特色。接下来给出具体的参数值，进行数值计算，这些计算取代了查表。以下是一些更广泛、深入的例子。例4 观察下面离散分布的各种计算。 In1：= << Statistics DiscreteDistributions In2：= h=HypergeometricDistributionn，M，N； Meanh Out3= In4：=Varianceh Out4= In5：= p=PoissonDistribution5； PDFp，2 Out6= In7：=N% Out7=0.0842243 In8：=PDFp，20 /N Out8=2.64121×10-7 In9：=NCDFp，20，20 Out9=0.999999912 In10：=ExpectedValuex2，p，x Out10=30 In11：=RandomArrayp，2，10 Out11=3，4，6，10，2，5，7，2，5，5， 4，3，2，11，5，4，2，2，4，6说明：在上例中表明，超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示，这里求出的期望与方差公式就与教科书上的相同了。In5中给出的参数是准确数5，Mathematica在下面进行的仍是符号计算，得到准确结果。如果参数改为5.0 ，则计算结果就都是近似值了。In10是求E2，ExpectedValue是一个很有用的函数，务必注意。除了以上介绍的内容外，还有些不常用的函数本书没有列出，有兴趣的读者可以浏览Help。2. 连续分布 程序文件ContinuousDistributions.m 中，含有用于连续分布计算的函数。其中常见的连续分布有： NormalDistribution， 正态分布。 UniformDistributionmin，max 均匀分布。 ExponentialDistribution 指数分布。 StudentTDistributionn t分布。ChiSquareDistributionn 2分布。 常用的求值函数与离散分布相同，这里不再列出。例5 计算：（1）N（0，1），求：P（1.96），P（ -1.96），P（-1<2）。（2）N（8，0.5），求：P（10），P（7<9）。 解：In1：= << Statistics ContinuousDistributions In2：= n=NormalDistribution0，1； In3：=CDFn，1.96 Out3=0.975002 In4：=CDFn，-1.96 Out4=0.0249979 In5：=CDFn，2.- CDFn，-1. Out5= 0.818595 In6：= n=NormalDistribution8，0.5； In7：=CDFn，10 Out7=0.999968 In8：=CDFn，9- CDFn，7 Out8=0.9545 说明：在上例中，由于In2没有使用小数点，这时在In5中需要使用小数点才能得到近似值，否则得到符号解。反之，由于In6使用了小数点，后面的计算则不必再使用小数点了。如果使用人工查表的方法求In7，还需要首先转换成标准正态分布，这里就显得方便了。例6 绘制2分布在n分别为1，5，15时的分布密度函数图。 解：In1：= << Statistics ContinuousDistributions In2：=PlotPDFChiSquareDistribution1，x， PDFChiSquareDistribution5，x， PDFChiSquareDistribution15，x，x，0，30， PlotRange0，0.2得到如图13-46所示的函数图形。图13-46 2分布的分布密度图 说明：上例中的绘图语句使用了函数嵌套，其中的函数名较长，最好自制统计函数模板。 因为这些统计计算都可以是符号的，所以能用于查询各种公式。以下是一个实例： In1：= << Statistics ContinuousDistributions In2：=PDFNormalDistribution0，1，x Out2= In3：= n=NormalDistribution，； Meann Out4= In5：=Variancen Out5= 2 In6：= e=ExponentialDistribution； Meane Out7= In8：=Variancee Out8= In9：=ExpectedValuex2，e，x Out9= 三、 区间估计1. 总体数学期望的区间估计 程序文件ConfidenceIntervals.m 中，含有用于总体参数区间估计的函数。其中用于总体数学期望的区间估计的函数是： MeanCIdata，KnownVariancevar 已知方差var，由数据表data求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。 MeanCIdata 由数据表data求总体数学期望的置信区间（方差未知、基于t分布）。 其中参数KnownVariance也可以改为 KnownStandardDeviation，即已知标准差。 以上两个函数由样本数据表data直接求置信区间。但有时已知的是样本平均值，这时改用以下函数： NormalCImean，sd 标准差已知，且sd=，由样本平均值mean求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。 StudentTCImean，se，dof 用于方差未知，由样本平均值mean求总体数学期望的置信区间（基于t分布），其中，se =，而dof是自由度（等于n - 1）。以上函数都有可选参数：ConfidenceLevel 置信度，默认值为0.95。例7 已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）服从正态分布，现测得5炉铁水的含碳量分别是：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。如果已知标准差为=0.108，求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为0.95）。 解：In1：= << Statistics ConfidenceIntervals In2：= data=4.28，4.4，4.42，4.35，4.37； MeanCIdata，KnownVariance 0.1082 Out3=4.26934，4.45866 例8 假定新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名男婴，测得体重分别是（单位：g）：3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试求新生男婴平均体重的置信区间（置信度为0.95）。解：In4：= data=3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320， 2880，2600，3400，2540； MeanCIdata Out5=2818.2，3295.13 例9 在例7中如果改为已知测得9炉铁水的含碳量的平均值是4.484，其余条件不变，再求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为0.95）。 解：In6：=NormalCI4.484，0.108 / Out6=4.41344，4.55456 例10 铅的比重测量值服从正态分布，测量16次算出=2.705，S=0.029。试求铅的比重的置信区间（置信度为0.95）。 解：In7：=StudentTCI2.705，0.029/Sqrt16，15 Out7=2.68955，2.72045 当调入程序文件ConfidenceIntervals.m时，为了计算各种统计量，这个程序会自动调入程序文件DescriptiveStatistics.m。因此，也可以首先由数据计算函数StudentTCI的各个参数，如下所示： In1：= << Statistics ConfidenceIntervals In2：= data=2.1，1.2，0.7，1.0，1.1，3.2，3.2，3.3，2.1，0.3； m=Meandata Out3=1.82 In4：= se=StandardErrorOfSampleMeandata Out4=0.354275 In5：=StudentTCIm，se，Lengthdata-1，ConfidenceLevel0.9 Out5=1.17057，2.46943 说明：上例中，In4利用数据直接求出se，而不是像教科书上先求S，In5示范了设置置信度为0.9的方法。2. 总体方差的区间估计 对总体的方差进行区间估计的函数是： VarianceCIdata 由数据表data求总体方差的置信区间（基于2 分布）。 ChiSquareCIvariance，dof 由无偏估计样本方差variance，求总体方差的置信区间，其中dof是自由度（等于n - 1）。例11 试求例8的新生男婴体重方差的置信区间（置信度为0.95）。 解：In1：= << Statistics ConfidenceIntervals In2：= VarianceCI3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560， 3320，2880，2600，3400，2540 Out2=70687.2，406072. 例12 设炮弹速度服从正态分布，取9发炮弹测得无偏估计样本方差S2=11（m/s）2，求炮弹速度方差的置信区间（置信度为0.9）。 解：In3：= ChiSquareCI11，8，ConfidenceLevel0.9 Out3=5.67474，32.2033 四、 回归分析 对于线性回归，如果只想得到回归方程，只要使用函数Fit就行了。例13 已知某种商品的价格与日销售量的数据： 价格（元） 1.0 2.0 2.0 2.3 2.5 2.6 2.8 3.0 3.3 3.5 销量（斤） 5.0 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 试求线性回归方程，再求价格为4时的日销售量。 解：In1：=data1.0，5.0，2.0，3.5，2.0，3.0，2.3，2.7， 2.5，2.4， 2.6，2.5，2.8，2.0，3.0，1.5， 3.3，1.2，3.5，1.2； Fitdata，1，x，x Out2=6.43828-1.57531x In3：=% 2 / . x4 Out3=0.137029 以上函数虽然能用最小二乘法求出回归方程，但是没有相关性检验。 程序文件LinearRegression.m中，含有实现多元线性回归的专用函数，具体调用格式如下： Regressdata，funs，vars 由表data的数据，求由基函数表funs中函数的线性组合构成的回归方程，其中funs中函数的自变量由表vars给出。 其中表data的一般形式为x11，x21，y1，x12，x22，y2，表funs的一般形式为f1，f2，而表vars的一般形式为x1，x2，其实这里的表示法与函数Fit相同，具体表示式的例子可以参看前面的例子，这里不再重复。例14 使用Regress重解例13。 解：数据已经在解例13时输入，这里使用Regress继续求解。 In4：= << Statistics LinearRegression In5：=Regressdata，1，x，x Out5=ParameterTable Estimate SE TStat PValue 1 6.43828 0.236494 27.2239 3.57135×10-9 x -1.57531 0.0911754 -17.2778 1.28217×10-7 RSquared0.973901，AdjustedRSquared0.970639 EstimatedVariance0.0397359，ANOVATable DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue Model 1 11.8621 11.8621 298.524 1.28217×10-7 Error 8 0.317887 0.0397359 Total 9 12.18 以上生成回归分析报告表，这与我国教材所讲的步骤一致。一般教科书上讨论的非线性拟合与非线性回归，都是经过变换能线性化的。在Mathematica的Statistics程序包子集中，有直接解决非线性问题的程序文件NonlinearFit.m，其中含有实现多元非线性拟合与非线性回归的专用函数：NonlinearFit与NonlinearRegress。函数的参数与用法与线性的情况有许多是相似的。习题13.61 某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：mm）：13.26，13.63，13.13，13.47，13.40，13.56，13.35，13.56，13.38，13.20，13.48，13.58，13.57，13.37，13.48，13.46，13.51，13.29，13.42，13.69 求以上数据的样本均值与样本方差。2 设X N（1.0，0.62），求：P（X > 1.96）与P（0.2 < X < 1.8）。3 从自动车床加工的同类零件中抽取16件，测得长度值为（单位：cm）：12.15，12.12，12.01，12.28，12.09，12.16，12.03，12.01，12.06，12.13，12.07，12.11，12.08，12.01，12.03，12.06 设零件长度服从正态分布，求方差的置信区间（取置信水平为0.05）。4 有一大批袋装化肥，现从中随机地取出16袋，称得重量（kg）如下：50.6，50.8，49.9，50.3，50.4，51.0，49.7，51.2，51.4，50.5，49.3，49.6，50.6，50.2，50.9，49.6 设袋装化肥的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信区间与总体方差2的置信区间（置信度分别为0.95与0.90）。5 对某矿体的8个采样进行测定，得到该矿体含铜量x（%）与含银量Y（%）的数据如下，试建立回归直线方程。x3734414341344045Y1.92.41012103.61013第 99 页