解直角三角形三角函数.docx
解直角三角形（三角函数）ABP北东 图1例1.如图1，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?解：过P作PCAB于C点，根据题意，得ABP北东CAB18×6，PAB90°60°30°，PBC90°45°45°，PCB90°，PCBC 在RtPAC中，tan30°， 即，解得PC ABOCD1500m45°60°6，海轮不改变方向继续前进无触礁危险 例2.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°与45°求隧道AB的长(1.73)解：OA， OB=OC=1500， AB=(m). 答：隧道AB的长约为635m.例ABCD图1 图23.如图是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD的长度（参考数据：sin20°0.3420,cos20°0.9397,精确到0.1m）.由题意可知：ABBC在RtABC中, sinACB=AC= = = 4.39mCD = AC+AD= 4.39+0.5 = 4.89 4.9m答：木板的长度约为4.9m.例4.九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A处到笔直的南岸的距离进行测量他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A处测得南岸的一尊石雕C在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B处，又测得石雕C在其南偏东30°方向你认为此方案BADC北东西南能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？解：此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离过点A作南岸所在直线的垂线，垂足是点D，AD的长即为所求在中，在中，由题意得：，解得答：该公园的湖心亭A处到南岸的距离约是13.7米例5.如图，一巡逻艇航行至海面处时，得知其正北方向上处一渔船发生故障已知港口处在处的北偏西方向上，距处20海里；处在A处的北偏东方向上65°37°北北ACBD求之间的距离（结果精确到0.1海里）参考数据：解：过点A作，垂足为D在中，3分在中，（海里）答：之间的距离约为21.6海里例6.如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线ADCB到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地已知BC=12km，A=45°，B=37°桥DC与AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km参考数据：，sin37°0.60，cos37°0.80）解：过C、D分别作CNAB,DMAB垂足分别为N，M 在RtBCN中，sin37°=, CN=12×0.60=7.20cos37°=, BN=12×0.80=9.60(2分)在RtADM中， A=45°CN=DM=AM=7.20Cos45°= AD=1.41×7.20=10.15(AD+DC+BC)-AB=(AD+DC+BC)-(AM+MN+MN)=(AD+BC)-(AM+BN)=( 10.15+12)-(7.20+9.60)=5.355.4 答：从A地到达B地可比原来少走5.4路程例ABCD7.如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC10米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB14米试求旗杆BC的高度 解：延长BC交AD于E点，则CEAD在RtAEC中，AC10， 由坡比为1: 可知：CAE30°， CEAC·sin30°10× 5AEAC·cos30°10× 在RtABE中，BE=11 BEBCCE， BCBECE11-56（米） 答：旗杆的高度为6米 例8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子.（1）小华利用测角仪与皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点与塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出、两点的距离为m,自身的高度为m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）.（第22题）图1图2（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： 在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； 要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ 解:（1）设的延长线交于点，长为，则.,解得.太子灵踪塔的高度为(2) 测角仪、皮尺； 站在P点看塔顶的仰角、自身的高度.(注：答案不唯一) 例10如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间.(1) 作BHPQ于点H, 在RtBHP中,由条件知, PB = 320, ÐBPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200, 本次台风会影响B市. (2) 如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束.由（1）得BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200, 所以P1P2 = 2=240, 台风影响的时间t = = 8(小时). 例9.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.解：过M作MNAC，此时MN最小，AN1500米第 6 页
