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第3 期刘延柱 : 关于茹科夫斯基凳63 x + y = 0, y + y = 0(8) 这个方程也没有 Lagrange 表示. 但是, 它在 Lagrange 力学 逆问题和 Birkhoff 力学的发展中有重要地位. 2.2 Hojman-Urrutia 方程的 Birkhoff 表示 Hojman-Urrutia 方程可表示为 Birkhoff 方程. 令 a1= x, a2= y , a3= x, a4= y 文献 2 给出 R1= a2+ a3, R2= 0, R3= a4, R4= 0 B = 1 2(a 3)2 + 2a2a3 (a4)2 (9) 文献 3 给出 R1= 0 R2= a1 a4 (a2+ a3)t+ (a2sint + a4cost)cost R3= a1 a4 (a2+ a3)t R4= (a2sint + a4cost)sint B = (a2sint + a4cost)2 (10) 此外还可以有 R1= a2+ a3, R2= a1 R3= a4 a1, R4= a3 B = 2a2a3+ (a3)2 (a4)2 (11) 2.3 Hojman-Urrutia 方程的分数维表示 首先, Hojman-Urrutia 方程可当作一个分数维梯度系 统, 其势函数为 V (x1,x2,x3,x4) = 1 2(x3x 2 1+ x4x 2 2 x4x 2 3 x2x 2 4) (12) 其中 x1= x, x2= y , x3= x, x4= y 其次, 在分数维力学中, 可 Lagrange 化为 L = x2+ y2 y2 x y + ix(1/2)y(1/2)(13) 3结 论 Whittaker 方程和 Hojman-Urrutia 方程是分析力学发 展中的重要方程.这两个方程有些相似, 它们都不能 La- grange 化, 它们都可 Birkhoff 化, 它们都可当作分数维梯 度系统, 都可在分数维力学中找到相应的 Lagrange 函数. 参 考 文 献 1 Riewe F. Mechanics with fractional derivatives. Phys Rev E, 1997, 55(3): 3581-3592 2 Santilli RM. Foundations of Theoretical Mechanics II. New York: Springer-Verlag, 1983 3梅凤翔,史荣昌,张永发等 . Birkhoff 系统动力学.北京: 北京理工大学出版社, 1996 4 Tarasov VE. Fractional Dynamics. Beijing: Higher Educa- tion Press, 2010 5 Hojman S, Urrutia LE. On the inverse problem of the cal- culus of variations. J Math Phys, 1981, 22(9): 1896-1903 (责任编辑:刘俊丽) 关于茹科夫斯基凳 刘延柱 1) (上海交通大学工程力学系,上海200240) 摘要 茹科夫斯基凳是理论力学课程演示动量矩守恒原理的 实验装置. 本文讨论引起茹科夫斯基凳能量变化的外力和内 力功, 说明茹科夫斯基凳也能成为动能定理的应用范例. 文 中还在更广泛意义下讨论准刚体的质量几何变化与能量的关 系. 关键词 茹科夫斯基凳, 准刚体, 动量矩守恒, 动能定理 中图分类号: O313文献标识码: A 文章编号: 1000-0879(2012)03-063-03 DOI：10.6052/1000-0879-12-174 茹科夫斯基凳是理论力学课程演示动量矩守恒原理的一 种实验装置. “茹科夫斯基凳” 的名称来源于原苏联理论力学 教材, 是一种可绕垂直轴自由旋转的转台. 站立在转台上的 人改变手握哑铃的双臂位置, 使转台和人所组成系统的惯性 矩发生变化 1(图 1). 沿垂直方向的重力不构成绕转轴的力 矩. 如阻尼力矩也忽略不计, 则绕转轴的外力矩为零, 系统的 动量矩守恒. 因双臂位置在演示过程中发生变化, 系统不满 本文于 20111101 收到. 1) 刘延柱， 教授，主要研究方向为动力学与控制. E-mail: 64力学与实践2012 年 第34 卷 足刚体的定义, 但对于每个固定姿势, 可以利用刚体的动量 矩公式 2. 当动量矩 L 为常值时, 惯性矩 J 的变化必引起 角速度 的变化 = L J (1) 图 1 表示握哑铃人的 3 种姿势: (a) 双臂平举, (b) 双 臂收缩至胸前, (c) 双臂下垂. 当状态 (a) 转变为状态 (b) 或 (c), 即双臂平举变为双臂收缩或下垂时, 惯性矩 J 减小，转 速 升高. 反之, 如状态 (b) 或 (c) 转变为状态 (a), 即双臂 收缩或下垂变为双臂平举时, 惯性矩增大, 转速降低. 演示茹 科夫斯基凳的上述现象, 就能直观地解释动量矩守恒的力学 概念. 图 1 茹科夫斯基凳 (引自文献 1) 除了解释动量矩守恒原理之外, 茹科夫斯基凳的能量 变化也是一个值得讨论的问题. 利用刚体的动能公式 T = J2/2, 将式 (1) 中的角速度 代入, 化作 T = L2 2J (2) 可看出, 在动量矩 L 为常值的条件下, 动能 T 也随惯性矩 J 的变化而改变. 当惯性矩 J 减小使角速度增大时动能也 随之增大. 反过来也是如此. 根据动能定理, 质点系动能的 变化是外力和内力作功的结果. 因此在握哑铃人改变姿态的 过程中, 必然有外力或内力的功存在. 茹科夫斯基凳的外力 是哑铃的重力, 内力是手对哑铃的握力. 后者不仅要克服重 力, 而且要克服转台旋转引起的惯性力, 包括离心力和科里 奥利力. 其中重力功 Wg的正负号很容易确定, 向下运动时 作正功, 向上运动时作负功. 内力功 Wi则必须根据握力和 运动方向是一致还是相反来作出判断. 外力和内力所作总功 W = Wg+ Wi的正负号决定了能量是增大还是减小. 以下具体分析握哑铃人在凳上运动的两种情况： 情况 1：减小惯性矩, 角速度和动能均增大. 当状态 (a) 转变为状态 (b), 即双臂平举变为双臂收缩 时, 重力功 Wg= 0. 为克服离心力使哑铃产生向内运动的 加速度, 握力与运动的方向一致, 内力功 Wi 0. 满足总功 W 0. 当状态 (a) 转变为状态 (c), 即双臂平举变为双臂下垂 时, 重力功 Wg 0, 为使双臂产生下垂的加速度, 握力必须 小于重力, 所作的负功必小于重力的正功. 双臂为克服离心 力向内收缩所作的功是正功. 仍满足总功 W 0. 情况 2： 增大惯性矩, 角速度和动能均减小. 当状态 (b) 转变为状态 (a), 即双臂收缩变为双臂平举 时, 重力功 Wg= 0, 为克服离心力的握力和运动方向相反, 但产生向外运动加速度的握力和运动方向一致. 后者应小于 前者, 使 Wi< 0, 才能保证总功 W < 0. 当状态 (c) 转变为状态 (a), 即双臂下垂转变为双臂平 举时, 重力功 Wg< 0, 向上提升的握力必须超过重力, 才能 产生向上的加速度, 其正功必大于重力的负功. 但为克服离 心力向外运动的握力作负功, 仍可能满足总功 W < 0. 通过以上具体分析, 对于茹科夫斯基凳运动过程中的能 量变化就有比较完整的认识. 由此可见, 茹科夫斯基凳不仅 能演示动量矩守恒原理, 也能成为能量定理的应用范例. 可 使学生在分析和讨论过程中巩固与动力学普遍原理有关的基 本概念. 从而加深理解质点系的动量或动量矩变化只能由外 力或外力矩引起, 内力不能改变动量或动量矩, 但内力的功 和外力的功同样影响系统的动能. 在工程技术和日常生活中, 常有这种不能满足刚体严 格定义但足够刚硬的物体. 例如物体内部有微小的质量移 动或微小的弹性变形. 严格的分析必须用多刚体系统, 或 带弹性体的多体系统等更复杂的模型替代刚体的简化模 型.但理论分析的难度也随之增加.于是出现了 “准刚 体”(quasi-rigid body 或 near-rigid body) 的力学概念. 是 指不严格满足刚体定义, 但可以利用刚体的动量、 动量矩和 动能公式描述的刚硬物体. 其中表示刚体质量几何的参数, 如惯性矩和惯性积允许在运动过程中改变而不是常值. 以 上对茹科夫斯基凳的分析就是在准刚体概念的基础上进行 的. 实际上理论力学课程在讲授碰撞问题时就已经触及准 刚体概念, 因为碰撞物体在接触点位置存在局部弹性变形 而不符合刚体的严格定义. 在轨道内运行的带弹性天线的自旋卫星是典型的准刚 体. 在动量矩守恒状态下, 天线的弹性变形引起能量耗散. 根 据式 (2) 判断, 能量降低必导致动量矩增大.由于细长形刚体 对横轴的惯性矩大于对细长轴的惯性矩. 因此原来绕细长轴 旋转的卫星将逐渐转变为绕横轴旋转. 这正是 1958 年美国 的绕细长轴旋转的第一颗人造卫星探险者一号 (Explorer-1) 因天线振动的内阻尼而翻转 90的失败原因 (图 2). 图 2 探险者一号卫星 第3 期马少鹏等 : 力学虚拟实验系统及其在实验力学教学中的作用65 地球也是一个巨大的腾空状态准刚体. 因为地球虽然足 够刚硬, 但海洋的潮汐运动、地壳的变动和岩浆的流动每时 每刻都在改变地球的质量分布. 潮汐摩擦所做的内力功引起 能量耗散使地球的自转速度趋于变慢. 每隔一个世纪自转周 期大约增长 12ms. 按照以上分析, 由于动能减小是在动量 矩守恒条件下发生的, 转速的减小必伴随惯性矩增大. 幸而 略显扁平的地球极轴已经是最大惯性矩主轴了, 因此不会出 现如细长卫星那样的翻转现象. 这倒是值得地球居民为之庆 幸的大好事. 参 考 文 献 1Butenin NV,Lunc ?L,Merkin DR.Kurs Teoretiqesko$ i Mehaniki.Moskva,Nauka, 1985 2 刘延柱, 朱本华, 杨海兴. 理论力学 (第三版). 北京: 高等教育 出版社, 2009 (责任编辑:刘俊丽) 力学虚拟实验系统及其在实验力学教学中的作用 1) 马少鹏 ,2) 水小平 马沁巍 严冬 李江城 刘战伟 谢惠民 (北京理工大学宇航学院力学系，北京 100081) (清华大学航天航空学院工程力学系，北京 100084) 摘要 力学实验教学中普遍存在的仪器和师资不足的问题严 重影响了实验教学效果. 本文发展了一套基于虚拟现实技术 的力学虚拟实验系统， 不仅能仿真实验结果， 而且能仿真实验 仪器和实验操作过程. 系统可实现光弹性、电子散斑干涉、 几何云纹、 投影条纹、 数字图像相关以及应变片实验共 6 个 实验的仿真模拟. 力学虚拟实验系统可作为常规实验力学教 学的重要补充， 在很大程度上缓解实验力学教学中存在的问 题，改进教学效果. 关键词 实验力学教学，虚拟实验系统，虚拟现实技术 中图分类号: O348文献标识码: A 文章编号: 1000-0879(2012)03-065-03 DOI：10.6052/1000-0879-11-208 实验力学教学是力学和机械类专业本科生及研究生培养 中一个重要环节. 实验力学教学应以学生动手实验为主，这 是各种指导性大纲及绝大多数实验力学教教师的共识， 但目 前大部分学校在教学实践中还很难达到这一要求: 只讲课不 做实验，或仅做演示实验，或十几个学生一组做实验的情况 非常普遍，这严重影响了实验力学的教学效果 1. 导致上 述问题的主要原因有两方面: 第一是实验仪器台套数上的不 足，第二是实验教学师资力量，尤其是实验技术人员上的不 足. 然而， 以上两方面的不足很难在短期内得到解决或缓解. 目前， 基于计算机仿真和虚拟现实技术， 很多领域都建立先进 而实用的仿真系统， 如虚拟装配系统、 虚拟训练系统等 2， 如利用这项技术建立力学虚拟实验系统， 则有助于解决上述 问题 3-4. 实验力学教学人员以往也常用一些多媒体课件或更复 杂的软件仿真力学实验的结果， 但这些课件或动画只仿真结 果， 实验操作者感受不到真实的仪器， 也不能进行自主操作， 因而与真实实验有很大区别， 对实验教学的促进作用有限. 本 文发展一种基于虚拟现实技术及三维模型操控技术的新型力 学虚拟实验系统， 系统除对各种实验方法实现结果仿真外， 最重要的是实现了仪器的真实再现和操控. 操作者除了用鼠 标代替手进行实验操作外， 整个实验过程与真实实验没有区 别. 因而， 此虚拟实验系统可作为实验教学的强有力的补充， 甚至在一定程度上替代真实实验. 力学虚拟实验系统包括光 弹性、 电子散斑干涉、 几何云纹、 投影条纹、 数字图像相关及 应变片实验共 6 个模块， 每个实验模块都能够对相应实验方 法的仪器装置、实验操作、实验结果和数据处理实现全方位 模拟. 力学虚拟实验系统的造价和运行成本低，可在网络上 开放， 因此可在很大程度上缓解由于仪器台套数和师资不足 而导致的实验力学教学中存在的问题， 从而大大促进实验力 学教学. 1力学虚拟实验系统的实现 力学虚拟实验系统的特点体现在: 用三维显示技术真实 再现实验仪器，实现了实验场景的真实化；用立体模型操控 技术实现仪器的个性化操作， 解除对具体实验过程的步骤化 限制，实现了实验操作过程的真实化；用高性能算法完成实 验结果的真实再现与实时显示， 进一步加强了实验过程的真 实化. 图 1 给出了虚拟实验系统中各实验模块的结构及其 实现方法，模块的实现可分为 5 部分:实验界面、虚拟 实验仪器及模型、虚拟实验操作、虚拟实验结果生成和实 20110519 收到第 1 稿, 20111025 收到修改稿. 1) 工程力学国家级教学团队 (北京理工大学, 2007) 经费资助. 2) E-mail:
