高三数学第一轮复习讲解正弦定理和余弦定理.doc

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.2.正弦定理解决的问题有哪两类？提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角3余弦定理解决的问题有哪三类？提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边温馨提示：解斜三角形的类型：(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解(2)已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC中，已知a、b和角A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角图形关系式absin Absin Aababab解个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，absin A时，无解；A为钝角时，ab，ab均无解(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解4三角形面积设ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.(1)Sah(h为BC边上的高)；(2)Sabsin C.1(2013·高考北京卷)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A.B.C. D1解析：选B.在ABC中，由正弦定理，得sin B.2在ABC中，若a18，b24，A45°，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：选B.bsin A12ab.三角形的个数有两个3(2014·兰州调研)在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2C4 D.解析：选C.cos C，sin C，SABCabsin C×3×2×4.4在ABC中，B60°，b2ac，则ABC的形状为_解析：由余弦定理得b2a2c22accos 60°ac，即a22acc20，ac.又B60°，ABC为等边三角形答案：等边三角形5(2013·高考安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.解析：由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.答案：利用正、余弦定理解三角形(2013·高考山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到1(2012·高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解：(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.利用正、余弦定理判定三角形的形状在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120°.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故BC.所以ABC是等腰钝角三角形判断三角形的形状，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2(1)在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为_；(2)在ABC中，若basin C，cacos B，则ABC的形状为_解析：(1)sin2，cos A.由余弦定理，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)由basin C可知sin C，由cacos B可知ca·，整理得b2c2a2，即三角形一定是直角三角形，A90°，sin Csin B，BC，故ABC为等腰直角三角形答案：(1)直角三角形(2)等腰直角三角形与三角形面积有关的问题(2013·高考湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是 a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因为0<A<，所以A.(2)由Sbcsin Abc·bc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，所以a.从而由正弦定理得sin Bsin Csin A·sin Asin2A×.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2 ccos2 b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B60°，b4，求ABC的面积解：(1)证明：acos2ccos2a·c·b，则a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理，得sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即sin Asin Csin(AC)3sin B，sin Asin C2sin B.由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差数列(2)由B60°，b4及余弦定理，得42a2c22accos 60°.(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得ac16，ABC的面积Sacsin Bacsin 60°4.