圆锥曲线解答题基础练习题(23页).doc

-圆锥曲线解答题基础练习题-第 17 页圆锥曲线解答题基础练习1求曲线的离心率。2若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，且离心率为，一条准线的方程为，求椭圆的标准方程。3已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两个焦点的距离分别为和，过作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。4设是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值。5求椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标及准线方程。6试证明：椭圆与曲线有相同的焦点。7求以椭圆的两顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程。8已知椭圆的长轴是短轴的倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。9已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围。10已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的方程。11分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，求的值。12已知点与椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为，求点的轨迹方程。13求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。14已知椭圆经过点，求椭圆的标准方程。15已知椭圆的两焦点为和，并且过点，求椭圆的方程。16椭圆的离心率为，长轴长为，在椭圆上有一点到左准线的距离为，求点到右准线的距离。17设是椭圆的一个焦点，相应准线为，离心率为。（1）求椭圆的方程；（2）求过另一焦点且倾斜角为的直线被曲线所截得的弦长。18（本小题满分14分）椭圆与直线相交于两点，且（为原点）.（1）求证：为定值；（2）若离心率，求椭圆长轴的取值范围。19椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，求椭圆的离心率。20已知中，且三边的长成等差数列，求顶点的轨迹。21如果椭圆的一个焦点坐标为，求的值。22如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。23根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）与双曲线有公共焦点，且过点；（2）经过点和点24已知方程表示焦点在轴上的双曲线，求的范围。25已知的双曲线与椭圆有相同焦点，求双曲线的方程。26求焦距为，的双曲线的标准方程。27已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求此双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：。28椭圆与双曲线且有相同的焦点，求值。29已知椭圆的标准方程为：，一个过点的双曲线的长轴的端点为椭圆的焦点，求双曲线的标准方程。30已知双曲线的一个焦点坐标为，双曲线上一点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程。31设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为，求双曲线的方程。32的两个端点是,另两边所在的直线的斜率之积等于，求顶点的轨迹方程。33经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，与双曲线交于两点，求：（1）；（2）的周长（是双曲线的左焦点）。34 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线的方程。35已知双曲线的离心率，虚半轴长为，求双曲线的方程。36过点的直线交双曲线于两个不同的点，是坐标原点，直线与的斜率之和为，求直线的方程。37求经过点且的双曲线的标准方程。38已知双曲线，双曲线存在关于直线对称的点，求实数的取值范围。39已知直线与双曲线交于两点，（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值。40如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围。41双曲线的一条准线是，求的值。42在双曲线的一支上有不同的三点，它们与点的距离依次成等差数列。（1）求的值；（2）求证：线段的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。43若双曲线的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率的取值范围。44求的准线方程。45在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为又直线的一个方向向量且过点，与交于两点，求的长46（本题满分12分）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合，直线过点F交抛物线于A、B两点（1）求抛物线C的方程；（2）若直线交y轴于点M，且，m、n是实数，对于直线，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由47(本小题满分13分)已知抛物线上一动点,抛物线内一点,为焦点且的最小值为。求抛物线方程以及使得|PA|+|PF|最小时的P点坐标;过(1)中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点,直线CD是否过一定点? 若是,求出该定点坐标; 若不是,请说明理由。48（本小题满分12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.XOBYAF（）证明：为钝角.（）若的面积为，求直线的方程;49(本小题13分)曲线上任意一点M满足, 其中F(-F( 抛物线的焦点是直线yx1与x轴的交点, 顶点为原点O.（1）求，的标准方程；（2）请问是否存在直线满足条件：过的焦点；与交于不同两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 50已知抛物线C的准线为x =（p>0），顶点在原点，抛物线C与直线l:y =x-1相交所得弦的长为3，求的值和抛物线方程参考答案1【解析】由得，。2【解析】，椭圆的方程为。3椭圆的方程为或【解析】设两焦点为，且，由椭圆的定义知：，。，由题意知为直角三角形，在中，。因为焦点可以在轴上，也可能在轴上，椭圆的方程为或。4当时，最小，为【解析】由定义得，由三角形的性质，当、共线时取“=”号，+得，同样，设，=，当时，最大为，当时，最小，为。5略【解析】把已知方程化为标准方程，这里，因此椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦点坐标为，椭圆的四个顶点为，准线方程为：。6证明略【解析】证明：当时，表示焦点在轴上的双曲线，与椭圆有相同的焦点；当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时曲线也与有相同的焦点，综上，曲线与有相同的焦点。7【解析】椭圆的焦点为，顶点、，而，故所求的双曲线的方程为8椭圆的方程为：或【解析】解法一：若椭圆的焦点在轴上，设方程为由题意得：，解得，椭圆方程为；若焦点在轴上，设方程为，由题意得：，解得，椭圆的方程为，综上得：椭圆的方程为：或。解法二：设椭圆的方程为：，则由题意得：或，解得：或，所以椭圆的方程为：或。9【解析】由题意得，解得。名师点金：与原题中的焦点在轴上相比，变式中焦点在轴上，相应地求得的的范围发生了变化，另外，本题也可以改成：方程表示椭圆，求的范围，则相应地应分两种情况，所得的的范围恰好是原题的解集与变式解集的并集。10【解析】椭圆方程可化为：，左焦点为，由解得：，所求的椭圆方程为。11【解析】设，由是正三角形，知点的坐标为。，所以。又点在椭圆上，即。，又，即。12【解析】由知：两焦点的坐标分别为：，设，则由题意知：，即，化简得：，这就是点的轨迹方程。名师点金：原题和变式可以合写为：已知点与点，的距离之比为一定值，求点的轨迹方程，这里要分开进行讨论。13【解析】椭圆可先化为：，焦点为、，且过点，而点到、的距离之和为：=，椭圆方程为14【解析】不能确定椭圆的焦点在哪个轴上，若焦点在轴上，可设方程为，将点，分别代入方程得，看成是和的二元一次方程组，解得，椭圆方程为，若焦点在轴上，可设方程为，把两点的坐标代入后同样可以得到（舍去），所求椭圆的方程为：。15【解析】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设其方程为，焦点为和，椭圆方程可改写为，把点的坐标代入后解得：，椭圆的方程为：。名师点金：把原题中的焦点在轴上换成了焦点在轴上并将这一条件与焦距为合写成一个条件：两焦点为和，再通过代入一点得出椭圆的方程。虽然两者的本质都是利用待定系数法求椭圆的方程，但是变式对能力的要求更高。1610【解析】，两准线的方程为，两准线之间的距离为=，又到左准线的距离为，到右准线的距离为，即点到右准线的距离为。17【解析】（1）设椭圆上动点，由圆锥曲线的共同性质知，化简得：。（2）椭圆的另一焦点为，过的倾斜角为的直线方程为，与椭圆方程联立得，设，则，由焦半径公式=。18（1）略 （2）【解析】（1）由，得，设，即，又， 代入，得，故 （2），而 代入得 所以椭圆长轴的取值范围是. 19【解析】由题设得：，又，展开后等式两边同除以得：，即，即，。20【解析】。设点的坐标为，则，化简得。21【解析】。椭圆的方程可以化为：，而焦点的坐标为，所以，。22【解析】方程化为标准形式，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，故23【解析】（1）方法一：双曲线的焦点为，=，方程为，方法二：焦点为，只须，因此可设双曲线的方程为，将点代入得或，将舍去，所以所求方程为。（2）方法一：若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入方程解得（舍去）。若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入方程解得，所求双曲线的方程为：。方法二：设所求双曲线的方程为：，将点的坐标代入方程得：，所求双曲线的方程为：。24【解析】由题意得得。本题可以改为：方程表示椭圆，求的取值范围。这时除了外，还应当注意到。25双曲线的方程为。【解析】由得，椭圆焦点（也就是双曲线的焦点）为，又，又焦点在轴上，双曲线的方程为。26当焦点在轴上时，方程为；当焦点在轴上时，方程为。【解析】，当焦点在轴上时，方程为；当焦点在轴上时，方程为。27略【解析】（1）由离心率得，设双曲线方程为，将代入得，此双曲线的方程为。（2）将代入双曲线方程，得，则。28【解析】由得，焦点在轴上，。29【解析】方法一：由椭圆的标准方程为知：椭圆的长轴端点为和，所以，双曲线的焦点为，焦点在轴上且。设所求双曲线的标准方程为：，由双曲线的定义知，=。，又，。双曲线的标准方程。方法二：由椭圆的标准方程是，知椭圆长轴的端点为和，所以，双曲线的焦点为，焦点在轴上且。设双曲线的标准方程为：，又双曲线过点，。又，舍去，双曲线的标准方程。30【解析】双曲线的焦点在轴上，所在设双曲线的方程为：，所求双曲线的方程为：。31【解析】椭圆的焦点为，椭圆与双曲线的一个交点是代入，得，解之得或（舍去），所以所求的双曲线的方程是。32【解析】设点，化简得顶点的轨迹方程为：。333，【解析】（1）右焦点的坐标为，直线的方程为，把代入并整理得：。（2）由方程得：，两点在双曲线的两支上，不妨设，。的周长是。34同解析【解析】双曲线可化为，焦点的坐标为，离心率为，渐近线的方程为。35【解析】，所求的双曲线的方程为。36直线的方程为【解析】设直线的方程为代入中可得，当时，设，则，又，于是有，解得，并验证这个结果是符合的约束的，直线的方程为。37【解析】，又双曲线过点，双曲线的焦点在轴上，设其方程为（），则，双曲线的标准方程为。名师点金：此题的答案与变式的答案是相同的，变式的目的是帮助掌握等轴双曲线的离心率为，另外，本题若改为：求经过点且两渐近线相互垂直的双曲线的方程，结果仍是一样的。38的取值范围是。【解析】当时，显然不成立，当时，由，可设直线的方程为，代入中得：，显然，即-，由根与系数的关系，得中点的坐标：，在直线上，即-，把代入式得：，解得：。，即。的取值范围是。39【解析】，应该将坐标化，再结合韦达定理来求解。（1）由消去得：，依题意得：，即。（2）设，则，以为直径的圆过原点，即，即，满足。40【解析】联立消去得方程：，由题意，这个方程有两个不等的正根，即，解得：。41【解析】双曲线为，且，解得。42证明略【解析】（1），为上焦点，上准线方程为，根据圆锥曲线的共同性质有：，由知。（2）设的中点为，则，因此点的坐标为，在双曲线上，作差得，故，的垂直平分线的方程为，令得，故的垂直平分线恒过定点。43【解析】设点在双曲线的右支上，依题意，点到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即，则，但是，。44【解析】，又焦点在轴上，准线的方程是。455【解析】试题分析：解 由抛物线的定义知，动点的轨迹是抛物线，方程 3分直线的方程为，即 6分设、，代入，整理，得 8分所以 12分考点：直线与抛物线的位置关系点评：主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用，属于基础题。46（1）（2）m+ n为定值-1【解析】试题分析：（1）椭圆的右焦点抛物线C的方程为 3分（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于由， 5分， 7分又由即m=,同理， 9分 11分所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1. 12分考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系的判定和应用，和向量的坐标运算.点评：遇到直线与圆锥曲线位置关系的问题，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零.47 (2,2). 过定点。【解析】试题分析：(1)过A,P分别做准线的垂线,设垂足为,则|PF|=|PH|,由图象可知,当|PA|+|PF|取最小值即是点到准线的距离,此时P点为AA0与抛物线的交点.故,此时抛物线方程为, P点坐标为(2,2). (2)设,直线即即, 由PAPB有得代入到中，有,即即,故直线AB过定点。考点：抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与抛物线的综合应用。点评：抛物线的定义在考试中经常考到，我们要熟练掌握。此题的第一问解答的关键是：利用抛物线的定义把“的最小值”抓化为“点A到准线的距离。”48(I)见解析；()直线方程为。【解析】试题分析：(I)依题意设直线的方程为：（必存在），设直线与抛物线的交点坐标为，则有，依向量的数量积定义，即证为钝角() 由（I）可知: , , 直线方程为考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系；弦长公式。点评：利用一元二次方程根与系数的关系，结合数量积的坐标运算，将问题进行了等价转化。49 (1) 的方程为：， 的方程为：。（2）存在直线满足条件，且的方程为或【解析】试题分析：（1）由题意结合椭圆的定义和抛物线的焦点坐标，得到关系式。（2）假设存在这样的直线，设其方程为，联立方程组，结合韦达定理和向量数量积得到。解：(1) 的方程为：， 的方程为：。（2）假设存在这样的直线，设其方程为，两交点坐标为，由消去，得，将代入得，解得所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或考点：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及图像的变换，以及向量的数量积来表示垂直关系的运用。点评：解决该试题的关键是能利用图像变换准确得到曲线的方程然后利用向量的数量积来求解得到参数的值。50，抛物线方程为。【解析】由题意，可设C的方程为，C与直线l:y =x-1相交于A、B两点，由此可得 所以，= 因为p>0，所以解得， 故抛物线方程为