自增强厚壁圆筒的弹塑性应力应变分析.pdf
第1 9 卷增刊 1897 年 7 月 力学学报 ACTA M CEHN IACASIN ICA 19 , July , S t jp 198 了 自增强厚壁圆筒的弹塑性应力应变分析 朱务学查子初 (华东工学 院应用力学 系) 提要本文考虑了材料的应变强化和B ao s ci hng e r效应 , 导出了自增强厚 壁筒应 力的解析解 . 根据材料实验 , 将单轴拉压的 应力应变关系作了筒化 . 对开端 自增强的情况 , 本文给出了一个理 论修正系数 . 本文的 理论结果与实验符合较好 . 关键词厚壁筒 ; 混合强化核型 ; 应 力 ; 解析解 . 1 . 引言 厚壁圆筒自增强技术 , 2, 目前还是以理想弹塑性材料模型为理论基础 . 而一般材料 , 尤 其是高强度钢 , 总存在一定的应变强化和明显的B a u s c hing e r 效应 , 所以理论计算结果与实 际差别较大 t”4 . 许多研究者为解决此问题做了很多工作 . 现在用的较多的方法是采用经验 修正 系数来考虑B o u s c h ing er 效应的 影响山 一 或采用数值法来计算自增强厚壁筒的残余应 力你 6 , 但计算繁琐 , 得到的数值结果不利于推广应用 . 文9勺考虑了实际材料的性能 , 导 出了一个残余应力的计算公式 , 但所作的假设过于简化 , 得到的公式比较繁杂 , 应用起来也 不大方便 . 因此建立 更接近于实际材料的模型 , 导出比较简单的残余应力计算公式 , 同时顾 及到应用的方便 , 具有很重要的实际意义 . 本文采用更接近于实际材料的混合强化模型 , 通过理论分析和推导 , 得到了厚壁筒自增 强过程中加压应力 、 卸压应力及残余应力的解析表达式 , 且形式简 一 单 , 便于分析和应用 . 与 实验结果比较表明 , 理论与实际符合较好 . 2 . 理论模型 混合强化模型是等向强化和j奔功 强化的组合 01, 它构成了更一般的模型 , 能较好地反映 实际情形 , 其数学表达式为 1 f丫 、, , 一a , ) 二 F(q) ( 1) 式中伪 , 代表屈服面 中心的平移 , 它依赖于塑性变形量 . 参数 q为单元所经历的塑性变形量的 累积 r 二二; f 2万不八 - 印一 J “ 二 JV了 “行“几 ( 2) F是与材料有关的函数 . 与变形历史有 一 关 取厂为M is e 、 屈服函数 , 则(1 )式成为 3 , , 。 , 万 “ , 一 a , 夕( “ , 一a , 少二 才 (l t户 (3) 一般自增强厚壁筒是广义平面应变问题 . 由于受到约束 , 轴向塑性变形较小 , 所以在计 本文于1984年1 2月2 1日收到 . (1987 年 ) 第 19 卷 算中略去 , 得 z ,= 0 , 尽 p二 一场 尹 ( 4) 由于 口i,只依赖于褚 乙 , 所以有 a : = U口 r =一口夕 ( 5) 从 而可堆得 1 , 口:=不厂(口;十 叮夕少 乙 ( 6) 上式对闭端条件较为准确 , 且对其端面合力条件精确满足 , 但对开端条件精确性差一些 . 经推导 , (1) 式可化为 , ( 1 ,、,、 _ 1 ,、, 、 、 。 / 2 r l , 八 f !音(踢 一。 ; ) 一a , ( 。, , ) , 0 , 一 音( a,一。 。 ) + a 。 (。 ,。 ) = F 子粉 户 I八 , ( 7) 护 狡2 -。 - / 一 一呷 一 2 一硬 “ 一” 一尸 J 一 侧 3 J!一l / 上式中的函数关系可通过以下材料试验模拟得到 . 由纯阻试验可得剪应力与塑性剪应变的关 系为 := 、 . (: , ) ( 引 另 , 至咽阻状态应满足 (f) 式;所以得 f 一(合 : ) , 0 , 一 (合 : ) = F (六j d 毛 ) ( 9 ) 比较 (7) 式和 (9) 式可琳只要将告 。 。,一。 , 少 , “ , 分另。与: 、 z , 相对应 , 贝 。 两式在形式上 完全一致 . 所以合 。 , 一 ; 少毕 , 的关系就可采用 (8)的函数关系 a。一a ; ) 二 g , (2 , ) (10) 上式即可作为计算 自增强厚壁筒内应力应变的重要关系式 , g , 函数由乡困丑转试验得到 . 将文6的实骚吉 果与本文实验结果相比较 , 可见材料的单轴拉压试验曲线与纯扭转试验 曲线在形式上非常相似 . 由于材料单轴拉压试验易于实现 , 在实际中便于应用 , 所以本文考 虑以单轴拉压试验州以 代替至屯 阻试验 . 由单轴拉压试验得单轴应力与单轴塑性应变的关系为 叮 = g( , )(11) 、 和单轴拉压两者的应力强度分别为丫子 、 一等效塑性应变为分 , 、 今根据应力强度 和等效塑性应变的对应关系 , 由 (8)和(n) 得 “ 1 分 (六 ) , 一六 : (六 。 , ) (1 2) 所以 ( 1 0) 式可化为 (13) 图1是一根试样的单轴拉压试验曲线及简化图 . 对拉伸塑性段 , 应力应变关系采用线性 增刊 朱务学等 : 自增强厚 壁圆筒的弹 塑性 应 力应变分析 。 实验点 .、 个 ! 电 卜,卜 朴 p十七 寸 . 丰 |夕、l 八1 1八 1 1nn八月 研 Z /勺 一一弓 - 一 夕 厂厂 / / / “ _“ 刀 : : : 芍芍 g“ / 丈 言 ) g“ “ “ 100 00 , ( 尸) 20 000 图 之 川服园 卜径的 变化曲线 近似 叮二口,十 H马 (14) 反 向压缩时 , 其反向属服阶段也采用线性近似 。 =“ 广+H + H , 。工 (15) 其 中H 二 石 l (/ l 一 E , / E) , H 二 石 2 ( / 1 一 石 2/ E) ,了、 嵘分别表示由卸载和反向加载而引起的 单轴应 力和单轴塑性应变的减少量 , 川是屈服园直径 , 它随拉伸塑性变形量的不同而改变 . 根 据 文12的实验 曲线及本文的实验结果 (见图2) , 对可采 用如下近 似表达式 不罗 r , 、 乙( J l ( , ) 一 H : , ) C产 、 C那 , 少 ,。 (16) 上式实际上是对。 , 。, 。 段作线性拟合 , 易。一般较小 . 氏丫氏是此拟合直线在纵轴的截距 . 设拉 伸终了时应力应变为 。 、 。 , 征二汁 ,、的情况下 , (15 ) 式化为 。 * = 2了 。 、。 一 H Z。 二) + H 。弃 (17) 由 (13 ) 、 ( 14 ) 及 (1 7) 式得园筒的夕力应变在加压塑性区内满足 2 丙 一 “ = 万育寸 4 , 十二丁矛 了6 刃。 j (18) 在反向屈服区内满足 武 一 。 卜 典 心3 a 一普 H Z,+ 音 H 。苏 (19) 式中嵘 , 对应于加压终了时筒壁内的切向塑性应变 , 、 时和 , 表示由于卸压筒壁内的切向应 “ 、 径向应“ 和 切向塑性应变的减少量 (9 , 式只有当壳引 ;二。 沁 / 时才有效 , 其中、 反向屈服区半径 . ( 18 ) 、 ( 19 ) 分别是计算加压塑性区内和卸压反向屈服区内应力应变的重要关 系式 . 力学学报 (8917 年 ) 第 19 卷 3 . 公式推导 设厚壁筒内半径为 R , , 外半径为R 2 . 加压时屈服区由内向外扩展 , 屈服区内平衡方程和协调方程必须得到满足 d a r 屈服区判聂为 b . 在 一刁 下 二= a一 叮 / d肠 _ _ 一芍一 E, 一肠 “ r (2 0) (21) 弹性应变分量和应力满足广义虎克定律 . 取轴向应力与弹性状态时相同 , 即 :。: = 灯丙 +a r 少 , 对开端条件 、 闭端条件和平面应变 、 k的取值分别为。 、 l左 和产 , 则有 、. . . . . . .吸 ! k 一 + 一 ,. . 一E 产 一 一一 , 夕 , = 夕 .d ; 一 月 2“, 肠 。 = 月 、。, 一 刀 Za ; (22) 声 . = 1 一 k产 E 应变分量满足下面的关系 乙 ,= , , 一; , (23) 联解 (r s ) 、 ( 2 0) 、 (21) 、 (22 )和 (2 3) 式 , 再结合塑性区边界条件得加压塑性区内应力 , 塑性 应变解为 _ _ 2氏 f l 口一一 一了 = 子, l丁-吮-一一 以3 以 +a、 , n含一 钟 一 韵 六 + ( 1 一 翻 2氏 r l 了 、 . 、 _ : 、 1了 、 夕、 口、 l r , b , 、 丙 = 万万 二 Li下五丁火 宁 川习 一 万火 一 下尹 r不石丁 万. 丫 7刀 (2 4) 厂 务击 ,n 奇 韵 一 韵 六 创箭 一 ) 2氏1一k产 了 扩 _ 八 钾 一 万了万八下不了火万 / 式中a l 4 , = 气刃 . 了才 3 l 一 k产 E 利用 (2 1) 、 (22 ) 式可求得其它应变分量 . 上式 当a , = o 时 , 即与用 理想弹塑性模型解得的结果一致 . 对卸压清况 , 由于一般材料的B a u s hig n e r效应比较显著 , 所以自增强厚壁筒的反向屈 月 价 清形是普遍的 . 设当内压减小值为扩时 , 反向屈服区半径 _ 为* b . 由于实际中过 应变量较大 , 而反向屈服区较小 , 所以一般都能满足粤 , * 夕 。 . 将( 24)式中的。 , 作尔 , 认致 19) 习 JI厂二。 中 , 得 叮言一 叮犷 二 而心 a , /扩 八 、4H * I一二,一一 一! .二了 + 11 + -二二一场 , 1 +a r r一 /夕 j (2 5) z= 。 ,。 a / , , _ 4H 2 a , 一 - - 下了 - - 3 1一k产 E 同丰 翔 护、 坑满足平衡方程 、 协调方程以脉犷 、 。九 满足广义虎克定律 . 与上面一样的推导得反 向屈服区内卸压应力和塑性应变的解答 为 增刊 朱务学等 : 自增强厚壁圆筒的弹 塑性应力应变分析 429 a 育 二 J ; = 2 r ( 1 +a . ) +a Z ( 1 +a . () 1 +a , ) 1 奋 一 犷一 六 (子 一 l )(卜哥) t一 口2 1十 a , /b Z 二 、 t(1+ a. ) + a: 、/ , * b 2 、 l下爪r 了一1声一下尸了-了一户- T丁不一丁吮尸 、 l !上一一甲下一声 r D 一 /(1十口胜入1 十a3户 夕 r 一 /夕 了 r 吸、. ! r 、. r/ 2r(1 +a , ) +a Z / , ,_ / 、 _ r , 一气下一甲-一 ,芍言一丫一- 丁 . 吸 1了 1 1皿丁万 I正一 1 + “ I产1十 a3户D /又 口2 1+ a, 护 一 1 b 2 1一 里 R三 t一 岛 /b Z 八 z(1+ a , ) + a Z) /* b 2、 飞 . ,二二一 l,一 111十 -一 ,一 .李 l +a 八 b 一 /(l +a l火1+ 伪 ) ) 一 广/) (26) ,广 r子 r. 甲卜 一 , d r e s 卫 气 r卜 工一们 嘴七 Z口.l lJ 2 。 、 r匹二旦鱼三垫里 -, 方 一 /方 , 、/b , p = 万了飞 万不砚而不不了 ” 兀 十 t 一 石不气 了 一土户 J气 l 一 诃/ r a , /扩八 r( 1+ a , ) +a , 、/b * 2 八、 十 t 了一 石石丁戈 了 十上)一 石不瓦下了而万J火 河 一上少 J 2(l 一k 产) r( 1 +a , ) +a Z (1+ a .) ( 1 +a 3 ) /b * 2 八 气 了 一 l ) 式中 a ,二 嘴 , = 4H * 3 Z J : 叮 丁 E 1 一 k群 E 卸压终了后 , 厂 = 厂 , 所以由 (24 ) 、 (26 ) 两式得卸压终了后反向 屈服区 空件 径扩与加压终了的塑性区半径b 的关系 击 , 佘普望箭 异兴哥 l 釜 =一 ,一 六(纂 一 , )(荟 一 葡 十 韶守半备(等 一 1 ) f l ( 一 劲 + 六 创箫 一 1 ) (2 7) 园筒自增强处理后的残余应力由加压应力和卸压应力两者之差求出 ;丛了工 .。 兰 俪飞 】干可 ” b n歹一 万 / 、 b Z、 厂 a , 吸 l一 代二渭 !十l,一 一 入主/ 贬 1十产 / b Z 、 气了 一土) ) ( 卜 影 合 外 一 铆 一 Z一 击(声 一今一 总黯洲( 卜 铆 R , 簇 r (b * a 挤 斋击 ,n 含 一 韵 一 劲 六 + l ( 一 黝 + ,一 击(孚 一 1 )簧 (务 一 , ) (2 8) -鱼呵 _ 少 , 上 * b , f , “ , 汀丁l 玄可 天;七 石石头姗(鲁 一1 ) 、 凡 刹击( + , 含) 一 架器兴斋( l+ , 奋) 一 合(卜氦 2 ) + , a 2 l +a. 子 一 l )(卜荟) 击 合( l + 答) 一 ,- Q, 1 +a l 夕八 万下下十1, D 一 / 力学学报 (1987年) 第 19 卷 一 半器招翻( l 带) 刹低 , (卜 , 劲 一 钟 一 韵 合 外 匀 一 ; 一 击(条 一 1) 备(笋 l ) 刹责 一 翻 ,一 六(奈 一 姗(笋 1 ) (29) ,、. . . . . . . . . . . . . 一一 , 只 口介 a 径化简得残余应力(嵘 一 衅)的表达式如下 斋 一 2 嗯令黔(答 一l ) 一 招兴韶长召( 斋 击(答 一 ) 一 /一 念(杀 一 1) 攀 一 ) * b未 r 命 的要求 . 数据处理见表1 . 此材料的泊松比 产 = 0 . 2 7 . 由实验结果知材 料的卸载弹性模量 E * 随拉伸变形量的增加而 减小 , 在残余应力的计算中 , 一般不考虑* E 的这种变化的影响 , 但在计算内压 一外切 向应 变关系时 , 必须考虑 , 否 则将会给计算结果 带来较大的误差 . 图 3 两根试样的 。 一 : 曲线 E E E E E氏氏E 1 1 1 从从 厂 E 之之 H H H H 中中 司司 2 2 2 . 04 3 义 10 4 4 4 12 8 8 836 3 3 3572 2 21 x 10 4 4 4 37 0 0 01 . 959 9 980 . 8 8 8 2) 圆筒的自增强试验 实验用圆筒的内径为3 0 mm , 夕 限为6 0 mm , 壁厚比为 2 , 端面条件为开端 , 这样由表 2 的数据及k = 0 , 计算得 a ,= 0 . 024 6 , a Z = 0 . 0 38 4 , a。= 1 . 28 , r=0 . 63 1 . 由本文理论考虑 修正后的内压 一 外切向应变关系为 ZR/ . , 1/ J R子、 p、 几 =l 土l氏 万、 l 一 灭遭/ 场 况 2二 (34) 又 几 Ps P 夕之 . 尸 石 ZR 尾 一 R p < “ 二 . l l 1 a s ( t 一 六倦 一1 )(卜篇 , 号 玉 ,一 合(条 一 1) 臀 , 夕,; (3 5) 了 . . . .夕 、. . . .、 一一 R 土式中口是考虑材料* E的变化而引入的 , 其值可由圆筒的内压 一外切 向应变关系的卸压弹性 段用 ( 35 ) 的前一式来确定 , 实验只是验证 (34 ) 和 (35 ) 的后一式 . 实验过程用外切向应 变来控制 . 图 4 一 7 给出了圆筒的内压和外切向应变关系的测定结果和理论计算结果的比较 . 各圆筒的实验参数见表 2 . 表 3列出了外表面切向残余应变的测量值和理论计算及偏差 . 实验和理论的比较表明两者基本上是符合的 . 252(1987年) 第19卷 10 0 00 10 0 0 0 8000 800 0 6 0的 40 0 0 (飞灿曳 哥 r lJ 八U . L F. I .L 臼 心 U 少 ! 引钊 0阅 别 n U r 甲.且 2 2000 2000400 06 0 00 10( 0 ) 君口 , : (尸君) 30 0 0 e一: (声e) 5000 图 41号筒内压 一外表面切 向应变的 实测值与理论值的比较 计算值 + 实验值 10000r-e s 一 . - - . 一 -一- 一 - 3号筒内压 一外表面切向应变的 实测值与理论值比较 一一计算值 + 实验值 8000 8000 0 0 o o6 04 0 ( 、暇 安 /、闷)叭 Unn Unn Un t暇 暇 / 闷)叭 20 0 0 20 00 400 0 6000 , , (尸) 20 0 0 一, : (召君) 4 000 图6 4号筒内压 一外表面切 向应变的 实测值与理论值的比较 计算值 十+ 实验值 图 76号筒内压 一 外表面 切向应变的 实测值与理 论值的比较 计算值 十 十 实验值 表 2 各圈简的实验参数 试试样号号 l l l3 3 34 4 46 6 6 外外表面最大大 4 239 9 93922 2 2524 0 0 04 020 0 0 切切向应变(产刁 刁刁刁刁刁 过过应变量 (%) ) ) 56 . 1 1 1 50 。 2 2 273 . 6 6 652 . 1 1 1 表 3 外表面切向残余应变的 理 论值与实验比较 试试样号号夕 嚎面切向残余应努 产习 习 偏差差 实实实验值值理论值值值 1 1 1 1 19 52 2 2 93 1 1 1 佗. 2% 3 3 3 3 3778 8 8784 4 4 一.0 8 % 朱务学等 : 自增强厚壁圆筒的弹塑性 应 力应变分析 续表 2 各圆筒 的实验参数 试试样号号 1 1 1 3 3 34 4 46 6 6 最最大 实验值值 9 011 1 18966 6 696 64 4 489 85 5 5 内内压 . ( ( (kg / c , ) 理论值 值 9198 8 8895 2 2 29 7 4 4 4 49033 3 3 偏偏偏 差 2 . 08% 一 0 . 1 6%0 . 8 3%0 . 5 3% 续表 3 外表面切向残余应 变的 理论值与实验比较 试试样号号外表面切向残余应变(p动 动偏差 差 实实实验值值理论值值值 4 4 4 4 41 719 9 91674 4 4 一 2 . 6少 少 6 6 6 6 68 30 0 08 1 6 6 6 一 1 . 9; ; ; 5 、 讨论 对壁厚比万2 、 开端条件的圆筒 , 图8给出了圆筒内表面残余应力关于过应变量的曲线 况 : /月 ,二 心 0 . 6 、 电 . 七 1 0 . 4 任 , Un曰 ” 勺 公 . 1/ 1 . 锅 勺l R : /盆 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . (6 一 R 、 )八R ,一 R 、 ) OL w e e e 召认2 址一一 一一一 一一一一_ -一 二 0 . 3 0 . 40 . 50 。 60 。 7 0 . P/a . 图 8 内表面残余应力关于过 应变量的变化 曲线 由图中可看 出当过应变量超过7 0%后 , 残余应 力值就增加不多了 , 所以实际中过应变量达到 7 0%就可以了 . 图g是内表面残余应力关于自 . 增强压力 P 的变化曲线 , 并且给出了理想弹塑 一 性材料按T r e s “ 屈服条件计算的结果 , 当尸在 0 . 6。 到0 . 7。 , 之间时 , 两者内表面残余应 力的 比值御 . 6 0 到0 . 6 3之间 , 这与实际结论是符合 的 . 图1 0给出了筒壁内残余应 力(。梦 一。 月的 分布情况 , 在形式上它与实际测量的结果 “ ” 较为一致 . 由图9和图10可看出用理想弹塑性 模型计算的结果其误差是比较大的 . 在 (27 ) 式中令* b = R , 凡/ R: = 2 , 则可 求得壁厚比为 2 的圆筒不产生反向屈服 的最大 加压过应变量为1 3 . 4% , 此说明在自增强问题 中 , 反向屈服是普遍存在的 , 所以在计算中必 图 9 内表面残余应 力关于最大内压 P的 变化曲线 -一 理想 弹塑性模型的i十算值 一一一本文计算值 R R R : /况 .二 2 / / / / / / / / _ _ _ / / / / / / / / . . . 尸 严架架 协协沪丈. 1 6 汤. . . 2 产产羔 二 n / / / / / 一一 / / / I I I/ / / , , , , 润 勺 ( 叭 勺l ,D) 图1 0 筒辟内残余应 力 氏的分布 一一一本 文计算值 -一 理想弹 塑性模 型的 计算值 力学学报 (1 9 87年) 第 1 9卷 须考虑它的影响 . 同样在 (27) 式中令* b = R , b = R Z, 则可求得凡/风的值为1 . 2 3 , 它说明此种材料的圆 筒不产生反向屈服的极限壁厚比为1 . 2 3 , 此与用理想弹塑性模型求得的凡/ R ,二 2 . 2 2结论差别 很大 . 6 、 结论 1 )本文的研究表明 , 材料的应变强化和B aus c hing er 效应对 自增强圆筒的残余应力影 响较大 , 所以计算时必须考虑其影响 . 2 ) 本文提供了一种能反映材料实际性能的厚壁圆筒自增强计算方法 . 经实验验证 , 所 得到的圆筒自增强加压和卸压应力公式是正确的 . 3) 本文还给出了实际中有用的残余应力计算公式 (30 ) 和 (3 1) . 以及反向屈服区半径 计算公式 ( 2 7 ) , 其形式简单 , 便于分析和应用 . 4) .由实验知, 材料屈服后卸载弹性模量尸有改变 , 本文在计算圆筒残余应力时未考虑 此种影响 , 这 匕 问题有待进一步的分析和研究 . 华东工学院的韩育礼 、 黄毓秀两同志参加了本文的自增强实验工作 , 南京汽轮机厂罗书 尚和华东工学院材力实验室的冯思艳 、 李海文等同志对材料试验给予了大力协助 , 在此表示 感谢 参考文 献 厂1 2 3 Niehols . R . W . 、 Pres s ue r Ve s s e l Engine eringT ee hn ol og y (197 1) 45 1一45 3 . 通用机械研究所 , 压 力容器国外技术进 展 I _ 4 仁5 V in C e nt W alled 庄德恩 , P eteF C M11!一g an . R . , TheInlue n c e Cyl inder s . AD 71 7 2 4 8 , o e之 . 自紧圆筒实际 强度预测计算问题 , (1974) , 2 0 6一26 6 . 0fthe Ba usehinger Eff e et i n R evers e Yi eld ingof T h iek (19 70) . ,妇d,口n,口a T . C he n , Th e F i i rte Elem e nr 中国兵工学会论文选编 2( 总 6 期) . An alv sis of E lastie 一 P la stieThiek 一Wa l led Tube s , AD 6 82 7 (19 73) . Fra nk 】 i一1 . G C a 】 eulation 5 1d ebot !om , J Aut ofrettage o fCylinde r头 Pr edietio n o fPr e s s ur e . E xternal E x a P n sion C urves o f Residu al St肥s s es , Po r e . In stn . M ech . E ngr s . , 17 4 . 35(1 96 0) . 0 , M二U nloa d ing o fT h ick 一 w alle dCylind e rs T hatH ave Be enp la st一e ally D e fo r爪 乙8刀 仁9 10) 仁11 12 ed . E x 沐 rime nta lM e e h . , 1 5 , 12 (197 6) , 张永昌 , 材料非线性混合硬化模型及自紧身管残余应力 、 应变的计算 , 兵工学报 , 坦克装甲车辆和发动机分册 , 3 ( 198 2) . 才鸿年 , 液压自紧炮身 (半精加工) 的应力与强度 , 兵工学报 , 4 (1980 ) . 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Ae e od ri ng tothe expei r m e ntso f m ate rials , the uniax ial te n sion 一eo mpr es si o nst r e - - s s sta r i n r ela tion sh iP 15 simP lified . o n the e onditionofo P en一en d auto fret tag e , the o f rmu la e a r em odii fed with a the o retieal a f etor . The thooretieal res ultsa r e ingo od a gr e e m ent with the ex Pe rime nta l r e sults . KEY WOR DS thiek 一 w a lled ey li nde r s , mi xed ha rde ning m ode l , stre s s , analytie a l 5 01u tion s .
