均值不等式和柯西不等式(13页).doc
-均值不等式和柯西不等式-第 13 页武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象孙嘉钰授课教师杨鹏授课时间5-5授课题目不等式（二）课 型复习使用教具讲义、白纸教学目标灵活的运用均值不等式和柯西不等式求最值教学重点和难点重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题参考教材网资教学流程及授课详案一、 柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立.三维形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：2、均值不等式及使用条件：均值不等式，若，则（1）是正数；（2）和（）或（）为定值；（3）当且仅当时，取等号。在运用均值不等式解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件。但有的题目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转化、变形，才能求得正确的最值。 二例题：1、 柯西不等式向量求最值 1、设，试求的最大值与最小值。答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为15。2、设，试求之最小值。答案：考虑以下两组向量 = ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式，就有 即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。3、设，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。Ans：4 设x，y，z Î R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为解： 2x + 2y + z + 8 = 0Þ2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 £ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)Þ(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ³= 95设x, y, zR，若，则之最小值为_，又此时_。解： Þ2x - 3(y - 1) + z =( )，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：最小值6 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a + b + c)Þ()9 ³ (2 + 3 + 4)2 = 81 Þ³ = 97、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ，最小值为18 等号发生于 故 又 2、均值不等式几种常见的方法一、凑正值例1 设x<1，求函数的最值。分析：欲用均值不等式来解。因，则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。解：因为，即，所以，则。当且仅当，即时，y有最大值，且，y无最小值。评注：（1）本题通过“凑”，利用条件将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件。否则就会出现，则的错误。（2）对于分式函数，常常等价转化为的形式再求最值。常用的转化方法有分离系数法、换元法等。二、变定值例2 求函数的最小值。分析：因并非“定值”，故不能直接运用均值不等式，为此需对原式按拆（添）项重组。解：原函数化为因为所以。当且仅当即x=1，x=1时，。评注：通过拆（添）项，“变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基准”（如本题中以为基准）来拆、添、配、凑，做到有的放矢。例3 求函数的最大值。分析：因定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式，为使其余因式与（）之和为定值，需以（）为准将拆成，这时就有定值。解：。当且仅当，即时，。评注：一般说，凑“和”为定值较难，它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。三、找等号例4 求函数的最小值。错解：直接利用均值不等式，得所以。这种解法之所以错误，原因是，即取不到“等”的条件。正解：原函数拆项，得因为，当且仅当即时等号成立，又因为所以，当且仅当时取等号。上面两式同时取等号，故。评注：错解中取不到等号成立的条件是当时，则，这是不可能的。本例也告诉我们，在用均值不等式求三角函数最值时，既要考虑等号，又要考虑三角函数的有界性，使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。四、综合变换例5 求函数的最小值，下列解法是否正确？为什么？解法1：，所以。解法2：当，即时，。评注：所给两种解法均有错误。解法1错在取不到“等”，即不存在x使，解法2错在不是定值。正解：对原函数合理拆（添）项，得当且仅当，即时，。通过以上几例我们体会到：均值定理真重要，用于最值有诀窍，正确理解“正、定、等”，合理进行拆、拼、凑。练习：1. 已知x>0，y>0，且，求的最小值。2. 若a>0，b>0，且，求ab的最小值。3. 求的最大值。答案与提示：1. 由（定值），又知x>1，y>9，故当且仅当x1=y9=3，即x=4，y=12时，。2. 由，得3. ，此时，故当时，。一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。3. 分离例3. 求的值域。二、整体代换例4. 已知，求的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。四、取平方例6. 求函数的最大值。练一练1. 若，求的最大值。2. 求函数的最小值。3. 求函数的最小值。4. 已知，且，求的最小值。5 设是满足的正数，则的最大值是( )6若，且恒成立，则a的最小值是( )78 已知函数f(x)=,x1,+(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x1,+,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围9已知，且，则的最大值为10设且，求的最大值11求的最小值。12、设x，y，z Î R且，求x + y + z之最大值，最小值。13、已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范围.14、设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.时间分配及备注 家长签名：
